58生活中的圆周运动 学案 人教必修2Word格式.docx

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3、圆周运动的连接体

两个或多个物体通过绳子、弹簧、摩擦力连接绕共同的圆点做圆周运动，解题方法同牛顿定律中连接体解题方法，注意整体法和隔离法的应用，注意运用牛顿第三定律。

4、其他几类圆周运动

（1）行星绕太阳运行或卫星绕行星运行（万有引力提供向心力）；

（2）氢原子中电子绕核运动（库仑引力提供向心力）；

（3）带电粒子在匀强磁场中运动（洛仑兹力提供向心力）。

【问题探究】

一、火车转弯问题：

火车转弯是一段圆周运动，需要有力来提供火车做圆周运动的向心力

【问题1】如果内、外轨是等高的，那么火车转弯时是如何获得向心力的?

火车的轮缘与铁轨挤压产生的弹力

【问题2】高速行驶的火车的轮缘与铁轨挤压，后果会怎样?

对火车的轮缘与铁轨的损坏非常大，速度太快会导致火车侧翻

【问题3】那么应该如何解决这一实际问题？

结合学过的知识加以讨论，提出可行的解决方案，并画出受力图，加以定性说明。

由学生陈述自己设计的方案：

将火车铁轨的外侧稍微垫高，使两轨间形成高度差，火车所受的支持力沿水平方向的分力提供火车转弯所需的向心力。

如果火车受到的重力和支持力的合力提供向心力，对内外轨都无挤压，这样就达到了保护铁轨的目的

【问题4】火车转弯时的转弯半径为R，弯道的倾斜角度为α，火车转弯时的速度v0为多大时，才不至于对内、外轨道产生挤压?

当火车正常行驶时，轮与轨道间无侧向压力．火车只受轨道与轨道表面垂直的支持力作用和火车的重力作用．如右图所示．其做圆周运动的圆心在水面内，将FN1分解则有：

二、汽车过桥问题：

汽车过桥可以看做是一个局部圆周运动

1、汽车过拱形桥（只分析在最高点）

【问题5】设拱形桥面所在圆的半径为R，汽车质量为m，在最高点的速度为v，推导出汽车对桥面的压力，并指出汽车对桥的压力比自身的重力大些还是小些？

汽车所受的合外力由重力与桥对汽车的支持力提供的，方向向下，合外力提供向心力，支持力向上，根据牛顿第三定律，汽车对桥的压力比自身的重力小些。

2、汽车过凹形桥（只分析在最低点）

【问题6】设凹形桥面所在圆的半径为R，汽车质量为m，在最低点的速度为v，推导出汽车对桥面的压力，并指出汽车对桥的压力比自身的重力大些还是小些？

汽车所受的合外力由重力与桥对汽车的支持力提供的，方向向上，合外力提供向心力，支持力向上，根据牛顿第三定律，汽车对桥的压力比自身的重力大些。

【典型例题】

例10.5米长的轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，m=1千克，不计一切摩擦，求：

（1）最底点速度为4米/秒时，球能否上升到最高点，如能，则小球受到的杆的作用力为多大？

方向如何？

（2）最底点速度为

米/秒，物体在最底点和最高点受杆力的大小是多少？

（3）最底点速度为6米/秒，物体在最高点受杆的作用力为多大？

[析与解]要判断能否达最高点的方法是：

假设能到最高点，求其速度，如有不为0的解，则假设正确；

如有为0的解，说明刚好达最高点；

速度无解，说明不能达最高点。

（1）设初速度为v0，最高点速度为v，由动能定理得，

v无解，说明到不了最高点。

（2）用同一表达式，可解得在初速度为

米/秒时，最高点速度为v=

米/秒，而此速度小于

，说明小球受到支持力N–mg=mv2/rN=14N

（3）在同一表达式，可解得在初速度为6米/秒时，最高点速度为4米/秒，此速度比

米/秒大，说明小球受拉力作用。

T+mg=mv2/rT=22N

例2如图，物体M=0.6kg，静止在水平面上，另一端通过光滑圆孔O吊着质量m=0.3kg的物体，M与圆孔的距离为0.2m，并知M的最大静摩擦力为2N，现使M在水平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m会处于静止状态？

[析与解]要使m静止，M应与平面相对静止，考虑M能与水平面相对静止的两个极端状态。

当ω为所求范围的最小值时，M有向圆心运动的趋势，水平面对M的静摩擦力方向背离圆心，大小等于最大静摩擦2N，此时对M有

解得ω1=2.9rad/s

当ω为所求范围的最大值时，M有背离圆心运动的趋势，水平面对M的静摩擦力方向指向圆心，大小也等于最大静摩擦力2N，此时有

解得ω2=6.5rad/s

故所求ω的范围为2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s

例3长为L的细线，拴一质量为m的小球，一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆周运动（这种运动通常称为圆锥摆运动），如图所示，当摆线L与竖直方向的夹角是α时，求：

（1）线的拉力F；

（2）小球运动的线速度的大小；

（3）小球运动的角速度及周期。

[析与解]做匀速圆周运动的小球受力如图所示，小球受重力mg和绳子的拉力F。

因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力指向圆心O’，且是水平方向。

由平行四边形法则得小球受到的合力大小为mgtanα，线对小球的拉力大小为F=mg/cosα由牛顿第二定律得mgtanα=mv2/r由几何关系得r=Lsinα所以，小球做匀速圆周运动线速度的大小为

小球运动的角速度

小球运动的周期

[点评]在解决匀速圆周运动的过程中，弄清物体圆形轨道所在的平面，明确圆心和半径是一个关键环节，同时不可忽视对解题结果进行动态分析，明确各变量之间的制约关系、变化趋势以及结果涉及物理量的决定因素。

例4如图所示为一根竖直悬挂的不可伸长的轻绳，下端拴一小物块A，上端固定在C点且与一能测量拉力的测力传感器相连。

已知有一质量为m0的子弹B沿水平方向以速度v0射入A内（未穿透），接着两者一起绕C点在竖直面内做圆周运动。

在各种阻力都可忽略的条件下测力传感器测得绳的拉力F随时间t的变化关系如图所示，已知子弹射入的时间极短，且图中t=0为A、B开始以相同速度运动。

根据力学规律和题中（包括图）提供的信息，对反映悬挂系统本身性质的物理量（例如A的质量）及A、B一起运动过程中的守恒量，你能求得哪些定量的结果？

[析与解]由图可直接看出，A、B一起做周期性运动，运动的周期T=2t0，令m表示A的质量，l表示绳长，v1表示B射入A内时即t=0时A、B的速度（即圆周运动最低点的速度），v2表示运动到最高点时的速度，F1表示运动到最低点时绳的拉力，F2表示运动到最高点时绳的拉力，根据动量守恒定律，得m0v0=（m0+m）v1（此规律以后会学到）

在最低点和最高点处运用牛顿定律可得

根据机械能守恒定律可得

由图可知，F2=0，F1=Fm

由以上各式可解得，反映系统性质的物理量是

【当堂反馈】

1、（05·

江苏徐州模拟）如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动。

现给小球一初速度，使它在竖直平面内做圆周运动，图中Ａ、Ｂ分别表示小球运动轨道的最低点和最高点，则杆对小球的作用力可能是（）

A、Ａ处为拉力，Ｂ处为拉力；

B、Ａ处为拉力，Ｂ处为支持力；

C、Ａ处为推力，Ｂ处为拉力；

D、Ａ处为推力，Ｂ处为支持力。

2、（能力提升题）一小球用轻绳悬挂在某一固定点，现将轻绳水平拉直，然后由静止释放，则小球由静止开始运动至最低位置的过程中，下列说法正确的是（）

A、小球在竖直方向上的速度逐渐增大；

B、小球所受合力方向指向圆心；

C、小球水平方向的速度逐渐增大；

D、小球的加速度逐渐增大。

3、（05·

湖北孝北感模拟）如图所示，木块P放在水平圆盘上随圆盘一起转动，关于物体所受摩擦力f的叙述正确的是（）

A、f的方向总是指向圆心；

B、圆盘匀速转动时f=0；

C、在转速一定的条件下，f的大小跟物体到轴O的距离成正比；

D、在物体与轴O的距离一定的条件下，圆盘匀速转动时，f的

大小跟圆盘转动的角速度成正比。

4、如图所示，将完全相同的两小球A、B用长L=0.8m的细绳，悬于以v=4m/s向右匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触，由于某种原因，小车突然停止，此时悬线的拉力之比FA：

FB为________（g=10m/s2）

5、如图所示，在水平圆盘上有一过圆心的光滑小槽，槽内有两根原长、劲度系数均相同的橡皮绳拉住一质量为m的小球，一条橡皮绳拴在O点，另一条拴在O/点，其中O为圆盘的中心，O/点为圆盘的边缘。

橡皮绳的劲度系数为k，原长为圆盘半径R的1/3，现使圆盘角速度由零缓慢增大，求圆盘的角速度

与

时，小球所对应的线速度之比为v1：

v2=？

【参考答案】

1、AB小球在最低点总是受到杆对其指向圆心O的向心力，即拉力；

在最高点既可能受到指向圆心O的拉力，又可能受到杆对其的支持力，所以A、B选项都正确。

2、CD由极限分析法，起始位置竖直向下的分速度为0，最低点也为0，故A错；

小球在竖直平面内做变速圆周运动，合力方向并非指向圆心，故B错；

小球下落过程中，速度逐渐增大，且与水平方向夹角θ增大，又因为v水平=vsinθ，故C对；

令绳与水平方向夹角θ，则有

①

②

③

由①②③得F合随θ的增大而增大，故D正确。

本题考查圆周运动合力与向心力的区别，运动的合成与分解，机械能守恒定律等知识和运用数学方法解决物理问题的能力。

3、C物体随圆盘一起转动时，所受摩擦力的大小和方向与物体质量和圆盘的转动状态有关，匀速转动时，静摩擦力f指向圆心，提供向心力，大小为f=mv2/r=mrω2；

变速转动时，静摩擦力f不指向圆心，其中一个分力指向圆心改变速度的方向，另一个分力沿运动方向改变速度的大小。

4、[解析]车突然停止，B球同时静止，FB=mg；

A球由于惯性仍以v向右，而悬点静止，则A球即作圆周运动，故有FA-mg=mv2/L，得FA=mg+mv2/L=3mg

答案：

1：

3

5、[解析]当橡皮绳OO1拉伸而OO/刚好被拉直时，设小球做匀速圆周运动的角速度为ω0，

由牛顿第二定律有

当

时，橡皮绳O1O/拉伸，

时，橡皮绳O1O/松驰，

[点评]求解本题时，首无要判断圆盘以不同角速度转动时，橡皮绳是处在拉伸还是松弛状态，为判断橡皮绳是拉伸还是松弛，应求出橡皮绳OO1拉伸而橡皮绳OO/刚好被拉直时地应的临界角速度ω0，将实际角速度与临界角速度ω0进行比较，用牛顿第二定律列出圆盘以不同角速度转动时小球所满足的动力学方程。

物体做变速圆周运动时，必须充分注意到可能发生的离心运动和向心运动两种情况，如果是形变明显的橡皮条、弹簧之类的约束提供向心力时，向心运动和离心运动一定会随着角速度的减小或增大而发生，直至以新的角速度在新的半径上做匀速圆周运动，当然也存在着不会再做圆周运动的可能。

【达标训练】

1、如图所示，质量为m的小球固定在长为L的细杆一端，绕细杆的另一端O在竖直面内做圆周运动，球转到最高点A时，线速度大小为

，则（）

A、杆受到mg/2的拉力；

B、杆受到mg/2的压力；

C、杆受到3mg/2的拉力；

D、杆受到3mg/2的压力。

2、（能力提升题）质量不计的轻质弹性杆P的一端插入桌面上小孔中，杆的另一端套有质量为m的小球，今使小球在水平面内做半径为R、角速度为ω的匀速圆周运动，如图所示，则杆的上端受到球对它的作用力的大小为

A、mRω2B、

C、

D、mg

3、如图所示，一单摆拉至水平位置放手，让它自由摆下，在P点有一钉子挡住OP部分的细绳的运动，在绳子接触钉子的瞬间

A、摆球的线速度突然减小

B、摆球的角速度突然增加

C、摆绳的拉力突然增加

D、摆球的向心力突然减小

4、如图所示，放在竖直面内的半圆DCB，DB是竖直的直径，OC是水平的半径，半圆槽接着另一个圆弧槽AB，A和D等高，槽都无摩擦，从A自由释放小球，则（）

A、小球运动到DC之间某个位置后再沿槽返回

B、小球运动到Ｄ点后自由下落

Ｃ、小球运动到Ｄ点做平抛运动

Ｄ、小球运动到ＤＣ之间某个位置后做斜抛运动

５、如图所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连质量

相等的两个物体Ａ和Ｂ，它们与圆盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加

大到两物体刚好要滑动而又未发生滑动时烧断细线，则下列判断中错误的

是（　　）

Ａ、两物体均沿切线方向滑动　　　　

Ｂ、两物体均沿半径方向滑动，离圆心越来越远

Ｃ、两物体仍随圆盘一起转动，不会发生滑动

Ｄ、物体Ａ仍随圆盘一起转动，不会发生滑动

６、用一木板托着一本书在竖直平面内做匀速圆周运动，先后经过Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点，如图所Ａ、Ｃ和Ｂ、Ｄ处于过圆心的水平轴和竖直轴上，设木板受到压力为Ｎ，对书的静摩擦力为f，则（　　）

　Ａ、从Ｃ　　Ｄ，f减小，Ｎ增大；

Ｂ、从Ｄ　　Ａ，f增大，Ｎ减小；

Ｃ、在Ａ、Ｃ两位置，f最大，Ｎ＝mg

D、在Ｂ、Ｄ两位置，Ｎ均有最大值

７、表演“水流星”节目，如图所示，拴杯子的绳子长为l，绳子能够承受的最大拉力是杯子和杯内水重力的８倍，要使绳子不断，节目获得成功，则杯子通过最高点时速度的最小值为_____，通过最低点时速度的最大值为______。

８、如图所示，圆弧形轨道，上表面光滑，下表面也光滑，有一个质量为m的小物体从圆弧轨道上表面滑过，到达圆弧轨道竖直方向最高点时，对轨道的压力为物块的重力的一半，速度大小为v１，若小物块从圆下表面滑过轨道，到达轨道竖直方向最高点时，对轨道的压力为物体的重力的一半，速度大小为v２，不计轨道的厚度，则v１／v２等于__________。

９、如图所示，质量为m，长为l的单摆用水平线系在Ａ处平衡，此时摆线与竖直方向成60°

角，设线的形变极小，求下列情况下摆线所受拉力大小：

（1）摆线处于平衡状态；

（2）烧掉水平线的瞬间；

（3）到达最低点B时；

（4）升到最高点C时。

10、如图所示，水平传盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零），物体和转盘间最大静摩擦力是其正压力的μ倍，求：

（1）当转盘的角速度

时，细绳的拉力F1；

（2）当转盘的角速度

时，细绳的拉力F2。

11、如图所示，轻杆长为3L，杆两端分别固定质量为m的A球

和质量为3m的B球，杆上距球为L处的O点装在水平转轴上，

杆在水平轴的带动下沿竖直平面转动，问：

（1）若A球运动到最高点时，A球对杆OA恰好无作用力，

求此时水平轴所受的力。

（2）在杆的转速逐渐增大的过程中，当杆转至竖直位置时，

能否出现水平轴不受力情况？

如果出现这种情况，A、B两球的

运动速度分别为多大？

12、如图，在圆柱形屋顶中心天花板上O点，挂一根L=3m的细绳，

绳的下端挂一个质量m为0.5kg的小球，已知绳能承受的最大拉力为

10N，小球在水平面内做圆周运动，当速度逐渐增大到绳断裂后，小

球以V=9m/s的速度落在墙角边，求这个圆柱形房屋的高度H和半

径R。

（g取10m/s2）

【达标训练参考答案】

1、B小球在最高点的速度为

，所需的向心力为FN=mv2/L=mg/2，向心力的方向向下，重力的方向也向下，重力的一半提供向心力，剩余的重力是杆对小球的支持力与其平衡，也就是小球对杆有mg/2的压力。

2、C以球为研究对象，受力分析如图所示，小球受到重

力mg，杆对球的作用力N，二力的合力F为小球做圆周运动

提供向心力，F=mRω2，解直角三角形得：

，故选项

C正确。

3、[解析]抓住碰钉子前后速度大小不变，半径减小进行讨论。

BC正确。

4、D[解析]因球在A点速度为零，则等高处的D点速度也为零，但球在到达D之前的某一位置时，重力沿圆心方向的分力大于向心力，球脱离轨道而作斜抛运动，无论怎样都到达不了D点。

5、A、B、C[解析]当转盘的角速度增大时，两物刚好没有发生相对滑动，也就是两物所受的最大静摩擦力提供它们作匀速圆周运动的向心力，即μ（m+m）g=mω2rA+mω2rB，因为rB>

rA，所以FB>

FA，也就是B物所受的摩擦力不足以提供向心力，而A物所受的摩擦力大于它所需的向心力，这说明了A、B间的绳子有拉力，当绳子断后，A物所受的摩擦力将减小，它相对转盘不动，而B物所受的摩擦力不足以提供向心力，它将做离心运动，即沿着速度方向运动。

6、[解析]书受到重力mg、支持力N、静摩擦力f共三个力，做匀速圆周运动，合力指向圆心且大小保持不变。

从CD，任取一点如图所示，则

f=F合sinθN–mg=F合cosθ

N=mg+F合cosθθ减小，f减小，N增大。

同理，从DA，有f增大，N减小，在A和C两位置，静摩擦力提供向心力，N=-mg

θ=0，在D点N最大，而在B点mg、N合力指向圆心，N=mg-F合，因而N具有最小值。

因此，答案为ABC。

7、[解析]要使水在最高点恰不流出杯子，此时绳子对杯子拉力等于零，杯子和水做圆周运动的向心力仅由其重力mg提供，由牛顿第二定律，在最高点处对杯子和水列方程：

mg=mv12/L，所以，杯子通过最高点时速度的最小值

。

在最低点处对杯子和水应用牛顿第二定律

，当F=8mg取最大值时，速度v2也取最大值，而

，故通过最低点时速度的最大值

8．[解析]物体经上表面最高点时有

，经下表面最高点时有

，由上述两式可得结果。

答案：

9、解答：

（1）在A处摆线处于平衡状态，T1=2mg，如图所示。

（2）烧掉水平线瞬间如图所示，此时小球不处于平衡状态，加速度沿切线a=gsin60°

，

而T2=mgcos60°

=（1/2）mg。

（3）到达最低点，速度为v，如图所示，根据机械能守恒

mgl（1-cos60°

）=（1/2）mv2v2=2gl（1-cos60°

）=glT3-mg=m（v2/l）=mgT3=2mg

（4）升到最高点C时，速度又为零，同

（2）相仿有切向加速度，T4=mgcos60°

=（1/2）mg

10、[解析]绳被拉直时若角速度小于某一个值，绳的拉力仍为零，此时向心力恰由最大静摩擦力提供，求此临界角速度是解答本题的关键。

设绳子张力恰为零时圆盘的角速度为ω0，则

（1）由于

静摩擦力未达到最大，故F1=0

（2）

，则有F2+μmg=mω22r。

11、解答：

（1）A球运动到最高点，以A球为研究对象，由题设条件，杆对A球无作用力，所以A球只受重力，则

A、B绕同一转轴运动，具有相同的角速度，则

以B球为研究对象，B球受到杆竖直向上拉力TB及重力3mg，则

②

联立①②解得TB=9mg③水平轴受到的力大小为9mg，方向竖起向下。

（2）经分析当A球转到最低点，B球至最高点时，水平轴可能不受力，此时杆对A球、B球作用力大小也相等，受力分析如图所示

④

⑤vB=2vA⑥TA=TB⑦

联立④～⑦

12、[解析]设绳断时与竖直方向夹角为α时因为mg=Ｔcosα，所以α=60°

小球在绳断时离地高度h=H-lcosα

小球做匀速圆周运动的半径：

r=LsinαF向=mgtgα=mv02/r所以

据平抛运动规律知：

即有v2=v02+2g（H-lcosα）

代入数据得：

H=3.3m平抛运动时间

水平距离：

圆柱的半径

【阅读资料】

海南汽车试验场

海南汽车试验场内环境优美，花香鸟语，各种试验道路纵横交错，形成一道独特的风景线。

其中，高速性能试验跑道尤为特别，它全长6公里，是我国最长的高速试车道，南北两个环道有如两个环型墙壁绕成一圈，跑道两边高差达5米多，有两层楼高，路面与地平面的夹角成43度多，当汽车在上面驾驶时，有如飞车走壁一般，真叫人惊叹不已。

有机会乘上试验车在高速跑道上奔驰一圈，感受更为奇妙：

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而此时乘客的感觉，象是被一股力量紧紧地吸住，如果挥动双手将有一种沉重感，这种感觉是在一般跑道上无法感受到的。