梯形优秀教案在集体教案评比中被评为二等奖Word文档格式.docx
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梯形的中位线平行于上下底边，等于上下底和的一半
（三）常用辅助线
三：
典型例题
例1：
如图，四边形ABCD是等腰梯形，其中AD=BC，若AD=5，CD=2，AB=8，求梯形ABCD的面积.
分析：
梯形的面积公式：
S=
（a+b）h.
本题的上底、下底是已知的，要求面积，关键是求高.如何求高呢？
由于梯形是一个轴对称图形.因此我们可知两线段AE、BF相等，应用勾股定理，即可求出.
解：
过点D、C作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，根据等腰梯形的轴对称性知：
AE=BF.
AE=
（AB－EF）=
（AB－CD）=3
在Rt△ADE中，DE2=AD2－AE2=52－32=42
∴DE=4
∴S梯形ABCD=
×
（8+2）×
4=20
例2：
已知如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠B=60°
，AD=10，BC=18,求梯形ABCD的周长.
过A、D点分别作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，根据梯形的轴对称性知：
BE=CF
BE=
（BC－AD）=4
∠BAE=30°
AB,即AB=2BE=8
∴AB=CD=8
L梯形ABCD=10+8+18+8=44
例3：
如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别为CD和AB的中点，且MN⊥AB.
求证：
四边形ABCD是等腰梯形.
判定四边形ABCD是一个等腰梯形，要在已知梯形的前提下证明它的两腰相等或同一底上的两个角相等.本例中已知ABCD是梯形，只要证明第二步骤即可.
证明：
过点C作CE⊥AB于E，过D点作DF⊥AB于F.
∵AB∥DC，MN⊥AB
∴四边形DFNM和CENM是矩形.
∴DM=FN,CM=EN且DF=CE
又DM=CM，∴FN=EN
而N是AB的中点，∴AF=BE
又∠DFA=∠CEB，DF=CE
∴△DFA≌△CEB，∴AD=BC
即：
四边形ABCD是等腰梯形
例4：
如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DE∥CB，梯形的周长为22，EB＝4，求△AED的周长．
∵AB∥DCDE∥CB
∴四边形DCBE是平行四边形
∴DE=CBDC=BE
=22-4-4
=14
例5
如图16-3-2，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝70°
，∠C＝40°
，AD＝6cm，BC＝15cm，求CD长．
分析：
关键是作出辅助线，将线段AD平移到BC上，再利用角度的关系找到DC=EC
解：
过D作ED∥AB交BC于E，则∠DEC＝∠B，
∵四边形ABED是平行四边形，AD＝BE，
∵∠B＝70°
，∠DEC＝70°
．
∵∠C＝40°
，∴∠EDC＝180-∠DEC-∠C＝70°
，
∴∠DEC=∠EDC＝70°
，∴CD＝CE．
又∵CE＝BC-BE=BC—AD＝15—6＝9．∴CD＝9（cm）．
反思：
梯形常通过作辅助线分成—个平行四边形和—个三角形．
例6
如图16-3-3，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线AC⊥BD，AD＝4cm，BC＝10cm，求梯形的面积．
欲求梯形面积必须先求高，根据已知对角线，可以作辅助线构造平行四边形和三角形，从而利用平行四边形和三角形的知识来解决问题．
过D作DF∥AC交BC的延长线于F，作DE⊥BC于E．
∵四边形ACFD是平行四边形，∴DF＝AC,CF＝AD＝4．
∵AC⊥BD，AC∥DF，∴∠BDF＝∠BOC＝90°
∵AC＝BD，∴BD＝DF，∴BF＝BC+CF＝14，DE＝÷
BF＝7．
作对角线的平行线把梯形转化成平行四边形是常见的引辅助线方法．同时梯形的面积也等于△DBF的面积．
例7：
如图16-3-7，梯形ABCD中，AB∥CD，且BM⊥CM，M是AD的中点，试说明AB+CD＝BC
关键是将AB、CD转化到一条直线上去，再通过中心对称的知识将问题解决．
延长BM交CD延长线于N点．
∵M是AD的中点，AB∥CD，∴△ABM与△DNM关于点M成中心对称，
∴AB＝DN，MB＝MN，∵BM⊥CM，∴CB＝CN，CD+ND＝BC
∵AB＝DN，∴AB+CD＝BC．
遇到梯形腰的中点，往往连结顶点与一腰的中点并延长交底的延长线于一点，构成中心对称的两个三角形．
四：
课堂检测
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列说法中，不正确的是（）．
（A）有三个角是直角的四边形是矩形;
（B）对角线相等的四边形是矩形
（C）对角线互相垂直的矩形是正方形;
（D）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
2．已知一个四边形的对角线互相垂直，那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形是（）．
（A）矩形（B）菱形（C）等腰梯形（D）正方形
3．用两个全等的直角三角形拼下列图形：
①矩形；
②菱形；
③正方形；
④平行四边形；
⑤等腰三角形；
⑥等腰梯形．其中一定能拼成的图形是（）．
（A）①②③（B）①④⑤（C）①②⑤（D）②⑤⑥
4．如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠C=60°
，BD平分∠ABC．如果这个梯形的周长为30，则AB的长为（）．
（A）4（B）5（C）6（D）7
（1）
（2）（3）
5．如图2，矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F点处，如果∠BAF=60°
，那么∠DAE等于（）．
（A）15°
（B）30°
（C）45°
（D）60°
6．如图3，在菱形ABCD中，∠ADC=120°
，则BD：
AC等于（）．
（A）
：
2（B）
3（C）1：
2（D）
1
7．如图4，四边形ABCD是正方形，延长BC至点E，使CE=CA，连结AE交CD于点F，则∠AFC的度数是（）．
（A）150°
（B）125°
（C）135°
（D）112．5°
8．如图5，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD相交于点O．有下列四个结论：
①AC=BD；
②梯形ABCD是轴对称图形；
③∠ADB=∠DAC；
④△AOD≌△ABO．其中正确的是（）．
（A）①③④（B）①②④（C）①②③（D）②③④
（4）（5）
9．一张矩形纸片按如图甲或乙所示对折，然后沿着图丙中的虚线剪下，得到①，②两部分，将①展开后得到的平面图形是（）．
（A）三角形（B）矩形（C）菱形（D）梯形
10．小许拿了一张正方形的纸片如图甲，沿虚线对折一次得图乙．再对折一次得图丙．然后用剪刀沿图丙中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角．打开后的形状是（）．
二、填空题（每小题3分，共30分）11．既是轴对称图形，又是中心对称图形的四边形是_________．
12．把“直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形”填入下列相应的空格上：
（1）正方形可以由两个能够完全重合的_________拼合而成；
（2）菱形可以由两个能够完全重合的_________拼合而成；
（3）矩形可以由两个能够完全重合的________拼合而成．
13．在
ABCD中，若添加一个条件________，则四边形ABCD是矩形；
若添加一个条件_______，则四边形ABCD是菱形．
14．已知正方形的面积为4，则正方形的边长为________，对角线长为________．
15．已知矩形的对角线长为4cm，一条边长为2
cm，则面积为________．
16．菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则菱形的边长为_____，面积为______．
17．如图6，在四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠AED=______，∠AEB=______．
（6）（7）（8）
18．如图7，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=8cm，∠B=60°
，则AB=_______cm．
19．现有一张长53cm，宽28cm的矩形纸片，要从中剪出长15cm，宽12cm的矩形小纸片，则最多能剪出______张．
20．如图8，在菱形ABCD中，∠BAD=80°
，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连结DF，则∠CDF的度数=________．
三、解答题（40分）
21．（6分）如图，在菱形ABCD中，∠A与∠B的度数比为1：
2，周长是48cm．求：
（1）两条对角线的长度；
（2）菱形的面积．
22．（8分）已知：
如图，
ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：
四边形EFGH是矩形．
23．（8分）如图，适当地改变方格图中的平行四边形的部分位置，并保持面积不变，先使其成为矩形，再将矩形向下平移3个格后，继续改变其中某些部分的位置并保持面积不变，使其成为菱形．说明在变化过程中所运用的图形变换．
24．（8分）已知：
如图，在正方形ABCD中，AE⊥BF，垂足为P，AE与CD交于点E，BF与AD交于点F，求证：
AE=BF．
25．（10分）如图，要剪切如图①（尺寸单位：
mm）所示的甲、乙两种直角梯形零件，且使两种零件的数量相等．有两种面积相等的矩形铝板，第一种长500mm，宽300mm（如图②）；
第二种长600mm，宽250mm（如图③）可供选用．
（1）填空：
为了充分利用材料，应选用第______种铝板，这时一块铝板最多能剪甲、乙两种零件共_______个，剪下这些零件后，剩余的边角料的面积是______mm2．
（2）画图：
从图②或图③中选出待用的铝板示意图，在图上画出剪切线，并把边角余料用阴影表示出来．
答案:
1．B2．A3．B4．C5．A6．B7．D8．C9．C10．D
11．答案不唯一
12．
（1）等腰直角三角形
（2）等腰三角形（3）直角三角形
13．AC=BD；
AB=BC
14．2；
2
15．4
cm2
16．5cm；
24cm2
17．15°
；
30°
18．2
19．4
20．60°
21．
（1）BD=12cm，AC=12
cm
（2）S菱形ABCD=72
cm2
22．略
23．图略
24．提示：
只要证明△ABF≌△DAE
25．提示：
（1）选用第一种铝板，最多能剪甲、乙两种零件各2个，共4个，
如图所示．S阴=300×
500-2×
200-2×
150=10000（mm）2
（2）剪切线如图所示:
五:
课后作业
一、选择题
1.（2002.荆州）如图1,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=2∠B,AD=a,CD=b,则AB等于（）
A.a+
B.
+bC.a+bD.a+2b
（1）
（2）（3）（4）
2.（2003.南通）梯形的上底长为a,下底长是上底长的3倍,则梯形的中位线长（）
A.4aB.2aC.1.5aD.a
3.（2003.仙桃市、潜江市、江汉油田）如图2,线段AC、BD相交于点O,欲使四边形ABCD成为等腰梯形,满足的条件是（）
A.AO=CO,BO=DOB.AO=CO,BO=DO,∠ACB=90°
C.AO=DO,BO=CO,且AO≠COD.AO=DO,∠AOD=90°
4.（2004.河北）如图3,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD,且AC=12,BD=9,则此梯形的中位线长是（）
A.10B.
C.
D.12
二、填空题
1.（2003.黄冈）四边形ABCD各角的比为∠A:
∠B:
∠C:
∠D=1:
2:
3:
4,则这个四边形为___.
2.（2004.云南）如图4,在△ABC中,DE∥BC,
则
=_____.
3.（2002.重庆）如图,已知AB∥DC,AE⊥DC,AE=12,BD=15,AC=20,则梯形ABCD的面积为_______.
4.（2003.潍坊）已知等腰梯形的两条对角线互相垂直,中位线长为8cm,则它的高为_______cm.
5.已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=60°
BD=2
AE是梯形的高,且BE=1,则AD=______.
三、解答题
1.（2003.隋州）已知:
如图,梯形ABCD中,AD∥BC,DC⊥BC,沿对角线BD折叠,点A恰好落在DC上,记为A′,若AD=4,BC=6,求A′B.
2.（2003.杭州）如图,EF为梯形ABCD的中位线,AC平分∠DAB交EF于M,延长DM交AB于N,求证:
△ADN是等腰三角形.
3.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,BC-AD=2cm,∠B=90°
∠C=45°
BC+AD=10cm.
求梯形ABCD的面积.
能力提高练习
一、开放探索题
1.如图,四边形ABCD为直角梯形,AB∥CD,AD⊥AB,点P在腰AD上移动,要使PB+PC最小.
（1）则应满足（）
A.PB=PCB.PA=PDC.∠BPC=90°
D.∠APB=∠DPC
（2）试求出P点的位置.
2.如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,M、N分别为AD、BC的中点,E、F分别是BM、CM的中点.
（1）求证:
四边形MENF是菱形;
（2）若MENF是正方形,那么梯形的高与底边BC有何关系?
二、学科内综合题
3.（2004.长沙）如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3cm,BC=7cm,∠B=60°
P为下底BC上一点（不与B、C重合）,连结AP,过P点作PE交DC于E,使得∠APE=∠B.
△ABP∽△PCE.
（2）求等腰梯形的腰AB的长.
基础达标验收卷
一、1.C2.B3.C4.C
二、1.梯形2.
3.1504.85.2
三、1.解:
∵△ABD和△A′BD重合,
∴△ABD≌△A′BD.
∴∠ADB=∠CDB.DA′=DA=4.
∵∠ADC=∠C=90°
∴∠BDC=∠ADB=45°
.∵AD∥BC,
∴∠DBC=∠ADB=45°
∴DC=BC=6.
∴A′C=CD-DA′=6-4=2.
由勾股定理,在Rt△A′BC中,得A′B=2
.
2.证明:
∵EF为梯形ABCD的中位线,AC平分∠DAB,
∴EF∥AB,∠EAM=∠EMA=∠NAM.
∴EA=EM,可得AD=2EM.
又∵EM为△DAN的中位线,
∴AN=2EM,∴AD=AN.
∴△ADN为等腰三角形.
3.解:
过D作DE⊥BC,垂足为E.S梯形ABCD=10cm2.
1.
（1）延长CD至C′,使C′D=CD.连结BC′交AD于P点,P点即为所求.
∵DP垂直平分CC′,
∴PC′=PC,∠C′=∠C′CP.
∵C′C∥AB,∴∠C′=∠PBA.
∴∠C′CP=∠PBA.
∴∠APB=∠CPD,故选D.
（2）略.
2.
（1）提示:
由四边形ABCD是等腰梯形可证△ABM≌△DCM,
∴BM=CM,∴EN
CM=MF.
同理NF
BM=ME.
又∵BM=CM,
∴NE=MF=NF=ME.
∴四边形ENFM是菱形.
（2）连结MN,∵BM=CM,BN=CN,
∴MN⊥BC.
∵四边形MENF为正方形,
∴∠EMF=90°
∴△BMC为等腰直角三角形.
∴MN=
BC.
即:
梯形的高等于底边的一半.
3.
（1）证明:
由∠APC为△ABP的外角,得∠APC=∠B+∠BAP.
又∵∠B=∠APE,∴∠EPC=∠BAP.
又∵∠B=∠C,∴△ABP∽△PCE.
（2）过A作AF⊥BC于F,由已知易求得BF==2（cm）
在Rt△ABF中,∠B=60°
BF=
=2（cm）,
∴AB=4（cm）.
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