三角形全等的判定方法SSA.docx
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三角形全等的判定方法SSA
三角形全等的判定方法一一SSA
――探究SSA三角形全等的判定方法的可行情况
通过学习三角形全等，我们可以知道，三角形全等的判定方法只有“SSS、“AAS、
“SAS、“ASA四种，“SSA的判定方法是不可行的，但是在某些情况下，“SSA是成
立的，下面开始分类讨论。
一、直角三角形的SSA全等判定有一个特殊的名字一一“HL”定理
1、定理内容：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
2、定理证明
HL定理可以用勾股定理证明
如图，已知Rt△ABC与Rt△DEF,/B=ZE=90°,AC=DF,AB=DE
在Rt△ABC中，BC=..i」,
在Rt△DEF中，EF=」Ij,•/AC=DFAB=DE.
•••BC=EF在厶ABC与△DEF中
[AC=OF
鹉:
•△ABC^ADEF（SSS
这样HL定理成立了，我们在后续证明中需要运用到HL定理。
那么，当两个三角形都为锐角三角形时，SSA成立吗锐角三角形有三种情况，但三种情
况都是相同的，所以在这里只选择一种证明。
二、锐角三角形
如图，已知锐角△ABC与锐角三角形DEF中，/A=ZD,AB=DE,BC=EF
证明△ABC^ADEF作AGLBC,EFUDF•/AG丄BC,EHLDF•••/AGB=zEHD=90在厶ABG与△DEH中
fZAGB=ZEHD
"=
ZD
AB二
DE
•△ABG^ADEH（AAS
•BG=EH（全等三角形对应边相等）
在Rt△BGC与Rt△EHF中
BC=EF
BG=EH
•••△BGC^AEHF（HL）
•••/C=ZF（全等三角形对应角相等）
在厶ABC与△DEF中
rzc=zf
•-zo
■（AB=DE
•••△ABC^ADEF（AAS
通过上述证明，我们可以知道，在两三角形都为锐角三角形的情况下，SSA成立。
那么
问题来了，在直角、锐角三角形中都成立的SSA证明方法在钝角三角形中会不会成立呢因为钝角三角形有三条高，且位置各不相同，所以需要分类讨论。
三、钝角三角形（情形）
GBHE
如图，已知△ABC与△DEF,/C=ZF,AC=DF,AB=DE
证明△ABC^ADEF
作AGLGC,DHLHF
•/AG丄GC,DHLHF
•••/AGC/DHF=90
在厶AGCW^DHF中
fZAGC=ZDHF
••（ZC=ZF
■（AC二OF
•△AGC^ADHF（AAS
•AG=DH（全等三角形对应边相等）
在Rt△AGB与Rt△DHE中
[AB=DE
•lAG=DH
•△AGB^ADHE（HL）
•/ABG/DEH（全等三角形对应角相等）
•180°-/ABG=180-/DEH
即/ABC*DEF在厶ABC与△DEF中
zc
ZF
ZABC
ZDEF
AB
DE
•••△ABC^ADEF（AAS
情形
如图，已知△ABC与△DEF,/ABC玄DEF,AC=DF,AB=DE
证明△ABC^ADEF
作AGLGC,DHLHF
•//ABC玄DEF
•180°-/ABC=180-/DEF
即/ABG/DEH
•/AG丄GC,DHLHF
•••/AGB/DHE=90
在厶AGB与△DHE中
fZAGB
ZDHE
ZA6G
ZDEH
AB
DE
•△AGB^ADHE（AAS
•AG=DH（全等三角形对应边相等）
在Rt△AGC与Rt△DHF中
[AC=OF
•/lAB=DE
•△AGC^ADHF（HL）
•/C=/F（全等三角形对应角相等）
在厶ABC与△DEF中
zc
=ZF
ZABC
=ZDEF
AB
二DE
•••△ABC^ADEF（AAS
如图，已知△ABC与△EFG中，AC=EGAB=EF/C=ZG证明△ABC^AEFG
作AD丄EHEHLFG
•/AD丄EH,EHLFG
•••/ADC=zEHG=90
在厶ADC与△EHG中
ZC
ZAOC
AC
EG
•△ADC^AEHG（AAS
•AD=EH（全等三角形对应边相等）
•/AD丄EH,EH1FG
•△ABD与△EFH均为Rt三角形
在Rt△ABD与Rt△EFH中
（AB=EF
TlAD=EH
•••Rt△ABD^AEFH（HL）
•••/B=ZF（全等三角形对应角相等）
在厶ABC"EFG中
ZC=ZGZB=ZF
AB-EF
•△ABC^AEFG（AAS
情形如图，已知△ABC与△EFG中，AC=EGAB=EF,/B=ZF证明△ABC^AEFG
作AD丄EHEH!
FG
•/AD丄EH,EH!
FG
•••/ADC=zEHG=90
在厶ADB与△EHF中
ZB
ZF
ZADC
NEHG
AB
EF
•△ADB^AEHF（AAS
•AD=EH（全等三角形对应边相等）
•/AD丄EH,EH!
FG
•△ADC与△EHG均为Rt三角形
在Rt△ADC与Rt△EHG中
cD
E6EH
•••Rt△ADC^AEHG（HL）
•••/C=ZG（全等三角形对应角相等）在厶ABC与△EFG中
ZC=ZG
••ZB=也F
•,AB二EF
•△ABC^AEFG（AAS
如图，已知△ABC与△EFG中，AC=EGAB=EF/B=ZF
证明△ABC^AEFG
作AD丄EHEH!
FG
•/AD丄EH,EH!
FG
•••/ADC=zEHG=90
在△ADB与△EHF中
ZB=ZF
..ZADC=ZENG
AB二EF
•△ADB^AEHF（AAS
•••AD=EH（全等三角形对应边相等）
•/AD丄EHEH!
FG
•△EHG均为Rt三角形
在Rt△ADC与Rt△EHG中
（AC=EG
TlAD=EH
•Rt△ADC2AEHG（HL）
•••/C=ZG（全等三角形对应角相等）
•180°-/0=180°-/G
即/ACB=/EGF
在厶ABC与△EFG中
fZACB
ZEGF
ZB
ZF
AB
EF
•△ABC^AEFG（AAS
情形
如图，已知△ABC与△EFG中，AC=EGAB=EF/ACB玄EGF
证明△ABC^AEFG
作AD!
EHEH!
FG
•••/ACB玄EGF
•180°-/ACB=180-/EGF
即/ACD=/EGH•/AG丄GC,DHLHF
•/ADC=zEHG=90
在厶ACD与△EGH中
fZACD
ZEGH
ZADC
NEHG
AB
EF
•△AGB^ADHE（AAS
=ZF
ZABC
=ZDEF
AC
二EG
•••△adc^aehg（aas
•••AD=EH（全等三角形对应边相等）
•/AD丄EHEH!
FG
•△ADC与△EHG匀为Rt三角形
在Rt△ADC与Rt△EHG中
（AB=EF
TIAD=EH
•Rt△ADB^AEHF（HL）
•••/C=ZG（全等三角形对应角相等）
在厶ABC与△EFG中
fZC=ZG
••1^8=ZF
'I丽二EF
•△ABC^AEFG（AAS
这样一来，SSA在钝角三角形中也成立了。
综上所述：
当两个三角形都是同一种类型的
三角形时SSA成立。
但是，这并不代表着在证明三角形全等时都可以使用SSA证明方法。
注意
上述证明中，两个三角形都是同一种类型的三角形，要么都是锐角三角形，要么都是直角三
角形，要么都是钝角三角形，没有第四种情况。
所以，当题目没有明确指出需要证明的两个三角形是同一种类型的三角形时，SSA勺证明方法是不可以使用的。
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