第三章线性系统状态方程解Word格式.docx
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则
如）=eA,[（si-AV1]
01
【例3.1.1］已知系统的状态方程为i=Q°
x,初始条件为双0）,试求状态转移矩阵
和状态方程的解。
解:
（1）求状态转移矩阵
如）f+亦¥
八…+#八…
此题中：
00
A=
>
—A——A—
所以
【例3.1.2］已知系统状态方程为大=
初始条件为班0）,试求状态方程的
0（/）=eA!
=I+At=
+
0t
=
1t
（2）状态方程的解
「1
X（/）=^.A（0）=
t
•40）
解。
x（f）=eA,•x（0）
（W—矿
（5+1）（5+2）-2
5+15+2
-22
H
-12
+
•••如）=严=r1[CvZ-A）-|]=
2e"
r一严e
_2厂+2宀_严+2k『
s0
■01'
s-1
0S-
-2_3.
2$+3.
故而
x（t）=eArx（0）=
2Q-严宀严
一2旷+2水刀+2e'
2r
-r
x（0）
二、状态转移矩阵的性质
=eAf=I+At+—A2r+•…+—Aktk+…“2!
k\
（1）0（0）=/
%Example3.1・2:
馭ATLABsymsstx;
A=sym（，[0,l;
-2,-3]'
）;
I=eye
（2）;
L=inv（s*I-A）lap=ilaplace（L）x=lap*x
（2）0（/）=A0（/）=0（r）A
0（0）=A
（3）04±
r2）=0（/J0（±
『2）=飒七2）0（G
证明：
0（片+t2）=eAi，l±
，2i=eA（ll）-eA（±
l2i=）^（±
r2）=^（+t2）
（4）0"
（r）=0（_f）,0"
（_r）=0（f）
0（0）=0（f-r）=0⑴°
（-r）=/=>
0J（『）=0（-r）
（5）X（/）=0（f—/（））■¥
（“））
x（t）=^（r）x（0）
x（G）=如0）x（0）=>
x（0）=©
J（『（>
）•Wo）,代入上式
・•・x（t）=0（/）0"
（r0）•X（t0）=0（f-tQ）x（t0）
证毕。
（6）0（『2-厶）=0（『2-"
）0（"
-G）
x（r2）=^（r2-r（））x（r0）
（1）
心）=州f）x（m）
（2）
X（t2）=0（『2一fl）X（F]）=0（『2一/]）处1一K『o）•（3）
比较
（1）、（3）式，有<
j）（t2一Zo）=一人）。
（/[一/（））成立。
（7）[0（"
=0（竝）
=[eAl]k==/側）=0伙f）
（8）若AE=BA,则e^B},=eA,-eB,=eBt-eA,
若ABHBA,则严即H•』W』•eA,
（9）设0（/）为x=Ax的状态转移矩阵，引入非奇异变换x=Px后的状态转移矩阵为:
孔）=p-\/P
'
^x=Px^Kx=Ax中，有
X=P'
}APx0（/）=»
口4刊
el，~'
APt=I+P~lAPt+-^P'
lAP）2t2+--+-^P'
lAP）ktk+…
^2!
k!
=P~[P+P~lAPt+丄（pTAP）2/2+…+丄（PTAP）S+---k!
=pT（/+A/+—A2t2+・・・+—Aktk+…）P
=P~leA,P
:
.=P^eAlP.证毕。
（10）两种常见的状态转移矩阵
①设A=diagg，几2，血］,
即A为对角阵，且具有互异元素。
0（f）=
②设A为mXm约当阵
t则0（/）=
__!
_严/（加一1）!
一1一严2/（加-2）!
nrx；
«
【例3・1.3]
已知状态转移矩阵为
试求0"
（r）和A。
解：
（1）根据状态转移矩阵的性质4,可知
e1-e2t—R+2e1!
（2）根据状态转移矩阵的性质2,可知
12J+2eJ
-宀2f
-01■
2c'
1-4e~21
宀4e~
r=0-
-2-3
A=0（0）=
【例3.1.41已知
4x4
sin/
cost
-cost
禾
1用性质
（1）
0（0
）=
=1
cos/
—
-cos?
sin
t=0
-1
【例3.1.5］验证如下矩阵是否为状态转移矩阵。
1所以该矩阵不是状态转移矩阵。
试求状态转移矩阵
根据状态转移矩阵的性质10,可知
1力
—te
2
6
0（/）=eA,=
teh
/
【例3.1.6】已知系统状态方程为x=Av,
时,
当x（O）=
M）=
试求系统矩阵A和状态转移矩阵o
由性质
（2）可知：
A=0（0）
由已知，有
x（t）=eA,-x（0）
2e^1+2水"
_2"
+4f
o
2'
h-2e®
f=0
—1
-3_
.・.A=0⑴厲
3-2线性连续定常非齐次状态方程的解
线性泄常非齐次状态方程：
x=Ax+Bu,求x（r）。
1、直接积分法
x=Ax+Bu左乘e~Ar,有
e~At（x-A.x）=e~A,Bu
由于—（e-At-x）=e~A,（x-Ax）
所以—（e-A,-x）=e-A,Bu.两端同时积分，有
e~A,x（t）-x（0）=£
不山•Bu{T）dr
・•・x（/）=/U（0）+£
•Bu（t}cIt
=0（f）x（O）+[）<
/>
（t-r）-Bu（r）dr
注意：
若取5作为初始时刻，积分可得：
e~A,x（t）—e~A，ax（tQ）=fe~Ar-Bu（T）dr
X（r）=（/°
）+「RF・BlKCdT
2、拉氏变换法
x=Ax+Bu,两边同时取拉氏变换
sx（s）-x（0）=Ax（s）+Bu（s）
（si-A）x（s）=x（0）+Bu（s）
则x（s）=（si一A）"
1x（0）+（si一Ay1Bu（s）
x（t）=L[（si一A）"
1]x（0）+L[（si一A）"
1B"
（s）]
由拉氏变换卷积立理：
LIR（s）.F2（s）]=£
/,（r-r）.f2（r）Jr
在此（si-A）-'
视为F,（5）,Bu（s）视为F2（5）o则
x（t）=eArx（O）+£
ew•Bu{T}dT
【例3.2.1】
已知系统状态方程为°
1A+°
a，输入w（r）=l（r）,
—2—31
初始条件为x（0）=X,（0）,试求解此非齐次状态方程。
山（0）」
由已知有
x（t）=0x（0）+£
•Bu{T}dT
（1）先求由前面例题可知
一2占+2戶『一旷+2戶『
（2）求］严
=4
Jo
严Y）
严门
一严F
+2严°
dr
d（t-T）
+丄严门
W•昨T
Le—ee—eu1
-2e-（,~n+2e-2（,~n_「"
+2水J|_1_|处
x（t）=
飞（0）'
1，1"
一_「+—严
22
「+2e~2,_
七（0）
占一严
2宀严
—2H+2fJ
特别说明：
若班0）=卜7］则血）=|-^"
+2H（o）」L°
J［宀严
其状态轨迹图可以MABLAB绘出:
%Example3・2・1matlabprogram：
grid;
xlabelC时间轴'
）；
ylabel（'
x代表xl»
*代表x2'
t=0:
10;
xl=（-t）+*exp（-2*t）;
x2=exp（-t）-exp（-2*t）;
plot（t,xl,'
x\t,x2,、*）
end
3-3状态转移矩阵F的计算
K直接幕级数法
I1x1
eAl=I+At+—A2t2+…+—AY+•・・=，—Akt
k\徐
2、拉氏变换法
eM=L[（"
—A）7]3、利用性质，釆用对角化的方法
【例3."
已知系统状态方程为寸’试利用对角化的方法求几
解出特征值人=-1,
det（/7-A）=（2+1）（2+2）=0,
选用变换阵P，使P'
[AP对角化。
由于A为友矩阵，故P可选为:
■11'
■11-
2]
-1-2
21
-1-1
根据严⑷=P^eAtP可推出：
严=PeKAPlP^
4.利用Caylay-Hamilton定理计算（待定系数法）
（1）Caylay-Hamilton定理
设n阶矩阵A的特征多项式为：
/
（2）=国一內=才+勺_&
1+……+务兄+q
则A满足其特征方程，即
f（A）=A,r+如占+……+a{A+aQI=0
（2）推论1
矩阵A的k（k>
n）次幕，可表示为A的（n-1）阶多项式
Ak=，,k>
n
121
【例如】己知A=，求AI<
M）=?
A的特征多项式为:
・f“）=W_冲=才_2兄+1
根据Caylay-Hamilton定理，有
/（A）=A2-2A+/=0,•••屮=24-/^A3=AA2=A（2A-/）=2A2-A=2（2A-7）-A=3A-27
屮=AA3=A（3A-2I）=3A2-2A=3（2A-/）-2A=4A-3/
依次归纳，有：
=化4_伙_1）/
所以有：
A*00
=1004—99/=
100
200]「99iooj_j_o
01T1200
99J[01
（3）推论2
状态转移矩e”可表示为A的（n-1）阶多项式
/I-1
宀m⑴八
//M）
式中，5（r）,aI⑴,…,a”-（/）均为幕函数。
.0］・
【例3.3.2］已知系统状态方程为丘=x,
-2_3.
试利用Caylay-Hamilton定理求。
（1）求系统矩阵A的特征值
det（刀一A）=0=>
（几+1）（A+2）=0,解岀几］=—1,人=—2
（2）一般情况下，对于n个互异的特征值人，人,…，九,写出如下方程组:
6/q+Aj+G分石++%-1几；
1=/'
（Iq+q入+心兄；
++勺?
_1几；
1=£
“
5+a{A,n+心尤++=八，
并解出色，5……，©
即可。
对于本例：
a04-q2,=eA-'
aQ—2q=e~2t
解出a。
=2e"
-e~2t,q=厂-严
（3）对于系统具有n个互异的特征值人，儿，…，血的情况，按下式计算/'
：
eA'
=a。
/+①A+A~++a”_/z
对于本例有:
=a0I+a{A=
・2"
-八-
._2“+2不"
_宀2产［
3-4离散系统状态方程的解
一、由差分方程建立动态方程
线性离散系统的动态方程可以充分利用差分方程建立，也可以利用线性连续动态方程的离散化得到。
SISO线性左常离散系统的差分方程一般形式为：
y伙+n）+%』伙+/?
-1）++axy（k+1）+aoy（k）
=bnu（k+n）+bn_xu（k+n-1）++bgk+1）+伙）
式中，k表示kT时刻：
T为采样周期：
y（k）、u（k）分别为kT时刻的输出量和输入量：
①、
S（i=0,1,2,……,n,且心=1）为表征系统特征的常数。
考虑初始条件为零时的Z变换关系有：
Z[y伙）]=y（z）,Z[y（k+n）]=z"
y（z.）
对上边式子两边取z变换，并整理为：
G⑵=凹=恥”+也占+……+恥+切）
（z）z"
+d“_]Z"
T++"
忆+。
=]卜0“-忆"
T++0忆+00
Z+%z++alz+aQ
按连续系统的方法，对N（z）/D（z）做串联分解，最后可得到离散系统状态空间表达式的一
种形式:
F伙+1）
x2伙+1）
£
_|伙+1）
、［伙厂
0'
⑹
-
无1伙）
J
伙）
y伙）=［炕A色…0心卜伙）+加伙）
简记为：
x伙+1）=Gx（k）+hi（（k）y（k）=cx（k）+〃"
MIMO线性宦常离散系统的动态方程为:
x伙+1）=Gx（k）+Hic（k）y（k）=Cx（k）+Du（k）
■
离散系统的一般结构图
【例3.4.1］设某线性离散系统的差分方程为^
y（k+2）+y（k+1）+0.16y伙）=u（k+1）+2u（k）
试写出系统的状态空间表达式。
解：
离散系统的状态空间表达式为：
x（k+1）=Gx（k）+hu（k）
y伙）=cx（k）+du（k）
其中：
G=_o.l6一1
二、线性定常连续系统动态方程的离散化
线性左常非齐次状态方程x=Ax+Bu/£
xM及"
⑴作用下的解为:
x（/）='
x（/0）+JeA，l~n•Bii（r）dr或x（r）=处一r0）x（r0）+J0（/-r）•Bu（r}dr
令q=kT,则x（/（））=x（kT）=x（k）
t=（k+1）T,则x（t）=兄伙+1）T]=x（k+1）
u（k）=u伙+1）=常数，于是
（•（Ar+nr
x{k+1）=0[伙+1）T一kT]x{k）+[0[伙+1）T一订・Bdt・u（k）
「4+1）7*
=（fi（T）x（k）+[。
[伙+1）T一t]・Bdr・u（k）
JkT
记H（T）=「0[（R+1）Ty]・M
令伙+l）T-r=rz,则代换后有
h（t）=£
ea‘）BdT‘=£
故离散化状态方程为：
x伙+1）=G（7＞伙）+H（J）u{k）
输出方程为：
y（k）=Cx（k）+Du（k）
G（T）=^（T）=^/）|z=rH（r）=£
呱
【例3.4.2］试写出连续时间系统
X+
-2_
_1_
x=
采样周期为T的离散化状态方程。
先求/
（/>
（t）=eA,=L-,[（5/-Ar1]=L-1
G（T）=%T）=0（/）|t=
所以:
]
s（s+2）
5*+2_
$1-厂）
-2t
1扑宀
dr=f
0严.
H（T）=fj（r）BdT=f（）
厂1
T
r
11一*
—T+—e-•
-T-
11-27
-+-e
24
44
1-2r
—p
1z,-2T
L2J
_2
2J
x（k+1）=G（T）x（k）+H（T）u伙）
旺伙+1）心伙+1）
）州伙）
心伙）
11」t
11^27
3.4.2连续系统离散化MATLAB程序:
%Example3・4・2:
Continuoustodiscretesystem
A=symC[0,1;
0,-2]'
）
B二sym（'
[0;
l]‘）
T=r[G,H]=c2d（A,B,T）
%example3.4.2的另一种MATLAB程序:
symsstT;
A=sym（'
[0,l;
B=symC[0;
l]f）;
I=eye
（2）;
L=inv（s*I-A）
lap=ilaplace（L）
G=subs（lap,Tr）
H=int（symmul（lap,B）,O,T）
三、离散系统状态方程的解
两种解法：
递推法和Z变换法。
递推法：
又称迭代法，对于泄常和时变系统都适用。
z变换法：
只适用于定常系统。
1、递推法
依次令k=0,1,2,…，从而有
k=0x（l）=G（7>
（0）+H（T）u（O）
k=1x
（2）=G（7）x（l）+H（7>
（1）
=G2（厂）x（0）+G（T）H（T）u（0）+H（T）u⑴
k=2x（3）=G（T）x
（2）+H（T）u
（2）
=G3（厂）x（0）+G2（T）H（T）u（0）+G（T）/7（7'
）m
（1）+H（7>
（2）
依此类推。
递推公式为：
女-1
x{k）=Gk（T）x（0）+
f-0
其中Gk（T）称为线性左常离散系统的状态转移矩阵，记为。
伙）。
（0伙）满足:
0伙+1）=G0伙）:
0（0）=I）
【例3.4.3］己知某离散系统的状态方程是：
x伙+1）=G（T）x伙）+H（T）u（k）
♦u（k）=1,
；
初始状态x（0）
「01G=
-0.16-1
试用递推法求解X伙）O
x（l）=G（T）x（O）+H（T）w（O）=
x
（2）=G（T）x
（1）+H（T）u（l）=
一0」6
-0.16
工］+［;
卜斶
ILHiH-ol
册［;
船
43）=G（T）x
（2）+H（T）u
（2）=
—0.16
显然，用递推法求解所得到的不是一个封闭的解析形式，而是一个解序列。
采用MATLAB语言，求解例3・4・3：
%Example3.4.3
G=[O.1;
-1J;
H=[l;
l];
U=l;
Xl=[l;
-1];
holdon:
fork=1:
400
X1=G*X1+H*U
plot（Xl（l）,Xl⑵,
2、Z变换法
设左常离散系统的状态方程是：
x（k+1）=G.x（k）+Hu{k）
两边取Z变换：
u（z）-zr（0）=Gx（z）+H"
（z），整理有
（刃一G）x（z）=zx（0）+Hu（z.）
・•・x（z）=（Zl-G）73X（0）+（zZ-G）-'
Hu（z）
两边取Z反变换：
x（k）=Z"
[（〃—G）“旷（0）]+Z"
[（〃—G）T汕⑵]
【例】已知某离散系统的状态方程是：
初始状态班0）
u（k）=1,
G=
试用Z变换法求解工伙）。
0.16
z+1
（Z+0・2）（z+0・8）
Z+1-
（Z+0.2）（z+0.8）
（z+0.2）（z+0.8）
z
（z+0.2）（z+0・8）
而x（z）=（〃-G）」［乙y（0）+汕⑵］
ZX（0）+Hu（z）=
z-1
乙
-Z-l-
（z2+2）Z
・••X⑵=
（Z+0.2）（z+0.8）（z—1）（-Z2+1.84乙）z
（z
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