三角函数的图像和性质练习题.doc
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周末测试题3.21
一、选择题
1.集合A={x|x=kπ+,k∈Z},B={x|x=kπ-,k∈Z},则A与B的关系是( )
A.AB B.BA
C.A=B D.以上都不对
[答案] C
[解析] 在坐标系中画出两个集合中的角的终边可知A=B.
2.如果α是第三象限的角,则下列结论中错误的是( )
A.-α为第二象限角
B.180°-α为第二象限角
C.180°+α为第一象限角
D.90°+α为第四象限角
[答案] B
[解析] -α与α终边关于x轴对称;180°+α终边与α终边关于原点对称;∵180°-α终边与-α终边关于原点对称,∴180°-α终边与α终边关于y轴对称.
3.角α的终边过点P(-1,2),则sinα=( )
A. B.
C.- D.-
[答案] B
[解析] 由三角函数的定义知,x=-1,y=2,r==,∴sinα==.
4.函数y=sin的最小正周期是( )
A.π B.2π
C.4π D.
[答案] C
5.若=2,则sinθcosθ的值是( )
A.- B.
C.± D.
[答案] B
[解析] 由=2得,tanθ=3,
∴sinθcosθ===.
6.已知α=,则点P(sinα,tanα)所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
[答案] D
[解析] ∵<<π,∴sinα>0,tanα<0,
∴点P在第四象限.
7.已知角θ在第四象限,且=-sin,则是( )
A.第一象限或第三象限
B.第二象限或第四象限
C.第三象限
D.第四象限
[答案] D
[解析] ∵θ在第四象限,∴在二或四象限,
又∵=-sin,
∴sin≤0,∴在第四象限.
8.函数y=sin|x|的图象是( )
[答案] B
[解析] y=sin|x|为偶函数,排除A;y=sin|x|的值有正有负,排除C;当x=时,y>0,排除D,故选B.
9.下列函数中,图象关于直线x=对称的是( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=sin
D.y=sin
[答案] B
[解析] ∵x=时,2x-=,
y=sin取到最大值1,故选B.
10.设角α终边上一点P(-4a,3a)(a<0),则sinα的值为( )
A. B.-
C. D.-
[答案] B
[解析] ∵a<0,∴r==-5a,
∴sinα==-,故选B.
二、填空题
11.(2010·苏北四市)设α是第三象限角,tanα=,则cos(π-α)=________.
[答案]
[解析] ∵α为第三象限角,tanα=,
∴cosα=-,∴cos(π-α)=-cosα=.
12.已知关于x的方程sin=k在[0,π]上有两解,则实数k的取值范围是________.
[答案] 1≤k<
[解析] 令y1=sin,(0≤x≤π),y2=k,在同一坐标系内作出它们的图象如图,由图象可知,当1≤k<时,直线y2=k与曲线y1=sin (0≤x≤π)有两个公共点,即1≤k<时,原方程有两解.
13.已知函数y=acos+3,x∈的最大值为4,则实数a的值为________.
[答案] 2或-1
14.函数y=2cos在上的最大值与最小值的和为________.
[答案] 2-
[解析] ∵-≤x≤,
∴-≤2x+≤,
∴-≤cos≤1,∴-≤y≤2.
15.已知sinα是方程5x2-7x-6=0的根,α是第三象限角,则=________.
[答案]
[解析] 由已知得sinα=-.
∵α是第三象限角,∴cosα=-=-.
∴原式===.
三、解答题
16.若sinα,cosα是关于x的方程3x2+6mx+2m+1=0的两根,求实数m的值.
[解析] ,
由②③得4m2=1+,∴12m2-4m-5=0.
∴m=-或m=,m=不适合①,m=-适合①,
∴m=-.
17.已知函数f(x)=2asin+b的定义域为,函数最大值为1,最小值为-5,求a和b的值.
[解析] ∵0≤x≤,∴-≤2x-≤.
∴-≤sin≤1.
若a>0,则,
解得,
若a<0,则,
解得,
综上可知,a=12-6,b=-23+12,或a=-12+6,b=19-12.
18.(本题满分12分)已知cos=-,求
+的值.
[解析] ∵cos=-,∴sinθ=,
原式=+
=+==8
.19.(本题满分12分)已知cosx+siny=,求siny-cos2x的最值.
[解析] ∵cosx+siny=,∴siny=-cosx,
∴siny-cos2x=-cosx-cos2x
=-2+,
∵-1≤siny≤1,∴-1≤-cosx≤1,
解得-≤cosx≤1,
所以当cosx=-时,(siny-cos2x)max=,
当cosx=1时,(siny-cos2x)min=-.
[点评] 本题由-1≤siny≤1求出-≤cosx≤1是解题的关键环节,是易漏掉出错的地方.
20.(本题满分12分)已知y=a-bcos3x(b>0)的最大值为,最小值为-.
(1)求函数y=-4asin(3bx)的周期、最值,并求取得最值时的x;
(2)判断其奇偶性.
[解析]
(1)∵y=a-bcos3x,b>0,
∴,解得,
∴函数y=-4asin(3bx)=-2sin3x.
∴此函数的周期T=,
当x=+(k∈Z)时,函数取得最小值-2;
当x=-(k∈Z)时,函数取得最大值2.
(2)∵函数解析式f(x)=-2sin3x,x∈R,
∴f(-x)=-2sin(-3x)=2sin3x=-f(x),
∴y=-2sin3x为奇函数.
21.(本题满分14分)函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为g(a)(a∈R).
(1)求g(a);
(2)若g(a)=,求a及此时f(x)的最大值.
[解析]
(1)由f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x
=1-2a-2acosx-2(1-cos2x)
=2cos2x-2acosx-(2a+1)
=22--2a-1.这里-1≤cosx≤1.
①若-1≤≤1,则当cosx=时,f(x)min=--2a-1;
②若>1,则当cosx=1时,f(x)min=1-4a;
③若<-1,则当cosx=-1时,f(x)min=1.
因此g(a)=.
(2)∵g(a)=.
∴①若a>2,则有1-4a=,得a=,矛盾;
②若-2≤a≤2,则有--2a-1=,
即a2+4a+3=0,∴a=-1或a=-3(舍).
∴g(a)=时,a=-1.
此时f(x)=22+,
当cosx=1时,f(x)取得最大值为5.