学年高中数学 第1章 解三角形 正弦定理和余弦定理 章末整合章末检测同步精品学案 新人教A版必修5Word文档格式.docx

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时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2＋ab＝61，

∴c＝.∴c的长度为或.

二、正、余弦定理在三角形中的应用

例2

　在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长．已知b2＝ac且a2－c2＝ac－bc.

（1）求∠A的大；

（2）求的值．

点拨　

（1）利用cosA＝求解；

（2）利用正弦定理对代数式进行转化．

解　

（1）∵b2＝ac且a2－c2＝ac－bc，∴a2－c2＝b2－bc，

∴b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝＝，∴A＝60°

（2）方法一　在△ABC中，由正弦定理得：

sinB＝，∵b2＝ac，∴＝.

∴sinB＝＝，∴＝sinA＝sin60°

方法二　在△ABC中，由面积公式得：

bcsinA＝acsinB

∵b2＝ac，∴bcsinA＝b2sinB，∴＝sinA＝sin60°

回顾归纳　

（1）在三角形的三角变换中，正、余弦定理及勾股定理是解题的基础．如果题目中同时出现角及边的关系，往往要利用正、余弦定理化成仅含边或仅含角的关系．

（2）要注意利用△ABC中A＋B＋C＝π，以及由此推得的一些基本关系式：

sin（B＋C）＝sinA，cos（B＋C）＝－cosA，tan（B＋C）＝－tanA，sin＝cos等，进行三角变换的运算．

►变式训练2　在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2－cos2A＝.

（1）求∠A的度数；

（2）若a＝，b＋c＝3，求b、c的值．

解　

（1）∵B＋C＝180°

－A，∴＝90°

－.

由4sin2－cos2A＝，得4cos2－cos2A＝，

即2（1＋cosA）－（2cos2A－1）＝.整理得4cos2A－4cosA＋1＝0.

∴cosA＝，又0°

<

A<

180°

（2）由A＝60°

，根据余弦定理得cosA＝，即＝.

∴b2＋c2－a2＝bc，∵a＝，∴b2＋c2－bc＝3.

又b＋c＝3，∴b2＋c2＋2bc＝9，∴bc＝2.由，解得或.

三、正、余弦定理在实际问题中的应用

例3

　A、B、C是一条直路上的三点，AB＝BC＝1km，从这三点分别遥望一座电视发射塔P，A见塔在东北方向，B见塔在正东方向，C见塔在南偏东60°

方向．求塔到直路的距离．

解　

如图所示，过C、B、P分别作CM⊥l，BN⊥l，PQ⊥l，垂足分别为M、N、Q.

设BN=x，则PQ=x，PA=

x.

∵AB=BC，∴CM=2BN=2x，PC=2x.

在△PAC中，由余弦定理得

AC2=PA2+PC2

2PA·

PC·

cos75°

即4=2x2+4x2

4

x2·

，解得x2=

，过P作PD⊥AC，垂足为D，

则线段PD的长为塔到直路的距离．

在△PAC中，由于

AC·

PD=

PA·

sin75°

得PD

=

（km）．

答　塔到直路的距离为

km.

回顾归纳　

（1）解斜三角形应用题的程序是：

①准确地理解题意；

②正确地作出图形（或准确地理解图形）；

③把已知和要求的量尽量集中在有关三角形中，利用正弦定理和余弦定理有顺序地解这些三角形；

④根据实际意义和精确度的要求给出答案．

（2）利用解斜三角形解决有关测量的问题时，其关键在于透彻理解题目中的有关测量术语．

►变式训练3　

如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°

，相距10海里C处的乙船，设乙船按方位角为θ的方向沿直线前往B处救援，求sinθ的值．

解　在△ABC中，AB=20，AC=10，∠BAC=120°

由余弦定理知：

BC2=AB2+AC2-2AB·

cos120°

=202+102

2×

20×

10×

=700.∴BC=10

由正弦定理得

∴sin∠ACB=

·

sin∠BAC=

sin120°

=

.∴cos∠ACB=

∴sinθ=sin（∠ACB+30°

）=sin∠ACB·

cos30°

+cos∠ACB·

+

，.

课堂小结：

1．正弦定理揭示了三角形的两边和对角的关系，因此，可解决两类问题：

（1）已知两角和其中任一边，求其他两边和一角，此时有一组解．

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他解，其解不确定．

2．余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对应边的关系，是勾股定理的推广，它能解决以下两个问题：

（1）已知三边，求其他三角，其解是唯一的．

（2）已知两边及它们的夹角，求第三边及其他两角，此时也只有一解．

3．正、余弦定理将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角形与几何产生了联系，为求与三角形有关的量（如面积、外接圆、内切圆）提供了理论基础，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．

课时作业

一、选择题

1．在△ABC中，A＝60°

，a＝4，b＝4，则B等于（　　）

A．45°

或135°

B．135°

C．45°

D．以上答案都不对

答案　C

解析　sinB＝b·

＝，且b<

a，∴B＝45°

2．在△ABC中，已知cosAcosB>

sinAsinB，则△ABC是（　　）

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形

解析　cosAcosB>

sinAsinB⇔cos（A＋B）>

0，∴A＋B<

90°

，∴C>

，C为钝角．

3．（2008·

福建）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2＋c2－b2）tanB＝ac，则角B的值为（　　）

A.B.

C.或D.或

答案　D

解析　∵（a2＋c2－b2）tanB＝ac，

∴·

tanB＝，

即cosB·

tanB＝sinB＝.

∵0<

B<

π，∴角B的值为或.

4．在△ABC中，A＝60°

，AC＝16，面积为220，那么BC的长度为（　　）

A．25B．51C．49D．49

解析　S△ABC＝AC×

AB×

sin60°

＝×

16×

＝220，∴AB＝55.

∴BC2＝AB2＋AC2－2AB×

ACcos60°

＝552＋162－2×

55×

＝2401

∴BC＝49.

5．（2010·

广东东莞模拟）△ABC中，下列结论：

①a2>

b2＋c2，则△ABC为钝角三角形；

②a2＝b2＋c2＋bc，则A为60°

；

③a2＋b2>

c2，则△ABC为锐角三角形；

④若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝1∶2∶3.

其中正确的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

答案　A

解析　①由a2>

b2＋c2知A为钝角，①正确；

②由a2＝b2＋c2＋bc知A＝120°

，②错；

③由a2＋b2>

c2，仅能判断C为锐角，A、B未知，③错；

④由A∶B∶C＝1∶2∶3，知A＝，B＝，C＝，∴sinA∶sinB∶sinC＝∶∶1＝1∶∶2，④错．所以仅①正确．

二、填空题

6．三角形两条边长分别为3cm,5cm，其夹角的余弦是方程5x2－7x－6＝0的根，则此三角形的面积是________．

答案　6cm2

解析　由5x2－7x－6＝0，解得x1＝－，x2＝2.

∵x2＝2>

1，不合题意．∴设夹角为θ，则cosθ＝－

得sinθ＝，∴S＝×

3×

5×

＝6（cm2）．

7．在△ABC中，A＝60°

，b＝1，S△ABC＝，则＝______.

答案　.

解析　由S＝bcsinA＝×

c×

＝，∴c＝4.

∴a＝＝＝.

∴＝＝.

8．一艘船以20km/h的速度向正北航行，船在A处看见灯塔B在船的东北方向，1h后船在C处看见灯塔B在船的北偏东75°

的方向上，这时船与灯塔的距离BC等于________．

答案　20km

解析　如图所示，

∴BC=

sin45°

，

=20

三、解答题

9．（2009·

广东广州一模）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cosB＝.

（1）若b＝4，求sinA的值；

（2）若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．

解　

（1）∵cosB＝>

0，且0<

π，∴sinB＝＝.

由正弦定理得＝，sinA＝＝＝.

（2）∵S△ABC＝acsinB＝4，∴×

＝4，∴c＝5.

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝22＋52－2×

＝17，∴b＝.

10．在△ABC中，已知AB＝，cosB＝，AC上的中线BD＝，求sinA的值．

解　设E为BC的中点．连接DE，则DE∥AB，且DE＝AB＝，设BE＝x.

在△BDE中利用余弦定理可得：

BD2＝BE2＋ED2－2BE·

EDcos∠BED，

5＝x2＋＋2×

x，解得x＝1，x＝－（舍去）．

故BC＝2，从而AC2＝AB2＋BC2－2AB·

BC·

cosB＝，即AC＝.

又sinB＝，故＝，sinA＝.

章末检测

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．在△ABC中，c＝，则bcosA＋acosB等于（　　）

A．1　　　　　　　B.　　　　　　　C．2　　　　　　　D．4

答案　B

2．设甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°

，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°

，则甲、乙两楼的高分别是（　　）

A．20m，mB．10m,20m

C．10（－）m,20mD.m，m

3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为（　　）

A.B.C.或D.或

解析　∵a2＋c2－b2＝ac，∴cosB＝＝＝，∴B＝.

4．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶（k＋1）∶2k，则k的取值范围是（　　）

A．（2，＋∞）B．（－∞，0）

C.D.

解析　由正弦定理得：

a＝mk，b＝m（k＋1），c＝2mk（m>

0），

∵　即，∴k>

5.在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=

，则

等于（　　）

A．－B．－C.D.

解析　由余弦定理得cosA＝＝＝.

∴

＝||·

||·

cosA＝3×

＝－·

＝－.

6．从高出海平面h米的小岛看到正东方向有一只船俯角为30°

，看到正南方向有一只船俯角为45°

，则此时两船间的距离为（　　）

A．2h米B.h米C.h米D．2h米

BC=

h，AC=h，

∴AB=

=2h.

7．在锐角△ABC中，有（　　）

A．cosA>

sinB且cosB>

sinAB．cosA<

sinB且cosB<

sinA

C．cosA>

sinAD．cosA<

解析　由于A＋B>

，得A>

－B，即>

A>

－B>

y＝cosx在是减函数，所以得cosA<

sinB．同理可得cosB<

sinA.

8．在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝30°

，则c等于（　　）

A．2B.C．2或D．以上都不对

解析　因a2＝b2＋c2－2bccosA，∴5＝15＋c2－2×

化简得：

c2－3c＋10＝0，即（c－2）（c－）＝0，∴c＝2或c＝.

9．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（　　）

A．a＝8，b＝16，A＝30°

，有两解

B．b＝18，c＝20，B＝60°

，有一解

C．a＝5，c＝2，A＝90°

，无解

D．a＝30，b＝25，A＝150°

解析　A中，因＝，所以sinB＝＝1

∴B＝90°

，即只有一解；

B中sinC＝＝，

且c>

b，∴C>

B，故有两解；

C中，∵A＝90°

，a＝5，c＝2

∴b＝＝＝，即有解，故A、B、C都不正确．

10．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600m后测仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进200m后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度是（　　）

A．200mB．300mC．400mD．100m

解析　如图所示，600·

sin2θ＝200·

sin4θ，

∴cos2θ=

，∴θ=15°

，∴h=200

sin4θ=300（m）．

11．若＝＝，则△ABC是（　　）

A．等边三角形

B．有一内角是30°

的直角三角形

C．等腰直角三角形

D．有一内角是30°

的等腰三角形

解析　∵＝，∴acosB＝bsinA，

∴2RsinAcosB＝2RsinBsinA,2RsinA≠0.

∴cosB＝sinB，∴B＝45°

.同理C＝45°

，故A＝90°

12．△ABC中，A＝，BC＝3，则△ABC的周长为（　　）

A．4sin＋3B．4sin＋3

C．6sin＋3D．6sin＋3

解析　A＝，BC＝3，设周长为x，由正弦定理知＝＝＝2R，

由合分比定理知＝，即＝.

∴2＝x，

即x＝3＋2＝3＋2

＝3＋2＝3＋2

＝3＋6＝3＋6sin.

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13．在△ABC中，－－＝________.

答案　0

14.

如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，

测得∠CAB=30°

，∠CBA=75°

，AB=120m，则河的宽度为　　　.

答案　60m

解析　在△ABC中，∠CAB=30°

∴∠ACB=75°

.∠ACB=∠ABC.∴AC=AB=120m.

∴宽h=AC·

=60m.

15．△ABC的三边长分别为3、4、6，则它的较大锐角的角平分线分三角形的面积比为______________．

答案　1∶2

解析　不妨设a＝3，b＝4，c＝6，则cosC＝＝－<

0.

∴C为钝角，则B为较大锐角，设B的平分线长为m，

则S1∶S2＝∶＝1∶2.

16．在△ABC中，若A>

B，则下列关系中不一定正确的是________．

①sinA>

sinB　②cosA<

cosB　③sin2A>

sin2B　④cos2A<

cos2B

答案　③

解析　在△ABC中，A>

B，sinA>

sinB，cosA<

cosB.

∴1－2sin2A<

1－2sin2B，∴cos2A<

cos2B.

三、解答题（本大题共6小题，共74分）

17．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，且cosA＝.

（1）求sin2＋cos2A的值；

（2）若b＝2，△ABC的面积S＝3，求a.

解　

（1）sin2＋cos2A＝＋cos2A＝＋2cos2A－1＝.

（2）∵cosA＝，∴sinA＝.

由S△ABC＝bcsinA，得3＝×

2c×

，解得c＝5.

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得

a2＝4＋25－2×

＝13，∴a＝.

18．（12分）（2008·

海南、宁夏）

如图所示，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°

，BD交AC于E，AB=2.

（1）求cos∠CBE的值；

（2）求AE.

解　

（1）因为∠BCD=90°

+60°

=150°

，CB=AC=CD，

∴∠CBE=15°

.∴cos∠CBE=cos（45°

30°

）=

（2）在△ABE中，AB=2，由正弦定理得

即

，故AE=

19．（12分）（2009·

辽宁）如图，

A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°

、30°

，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°

，AC=0.1km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离（结果保留根号）．

解　在△ACD中，∠DAC=30°

，∠ADC=60°

∠DAC=30°

，所以CD=AC=0.1.

又∠BCD=180°

60°

=60°

故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA.

在△ABC中，

所以AB=

，∴BD=

故B、D的距离为

km.

20．（12分）在△ABC中，A最大，C最小，且A＝2C，a＋c＝2b，求此三角形三边之比．

解　在△ABC中，由正弦定理得＝，＝＝＝2cosC，

即cosC＝.由余弦定理得cosC＝，

∵2b＝a＋c，∴＝，

整理得2a3－3a2c－2ac2＋3c3＝0，

即（a＋c）（a－c）（2a－3c）＝0，解得a＝－c（舍去），a＝c或a＝c，

∵A>

C，∴a>

c，∴a＝c不合题意．

当a＝c时，b＝（a＋c）＝c，∴a∶b∶c＝c∶c∶c＝6∶5∶4.

故此三角形的三边之比为6∶5∶4.

21．（12分）在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，其中c＝10，且＝＝.

（1）求证：

△ABC是直角三角形；

（2）设圆O过A、B、C三点，点P位于劣弧

上，∠PAB=60°

.求四边形ABCP的面积．

（1）证明　根据正弦定理得

整理为sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B.

又∵

，∴0＜A＜B＜π，∴0＜2A＜2B＜2π，

∴2A=π

2B，即A+B=

，∴C=.

，故△ABC是直角三角形．

（2）解　由

（1）可得：

a=6，b=8.

在Rt△ABC中，sin∠CAB=

，cos∠CAB=

∴sin∠PAC=sin（60°

∠CAB）

=sin60°

cos∠CAB

cos60°

sin∠CAB

连结PB，在Rt△APB中，AP=AB·

cos∠PAB=5，

∴四边形ABCP面积S=S△ACB+S△PAC=

ab+

AP·

sin∠PAC

=24+

8×

=18+8

22．（14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a＋b＝5，c＝，且4sin2－cos2C＝.

（1）求角C的大小；

（2）求△ABC的面积．

解　

（1）∵A＋B＋C＝180°

由4sin2－cos2C＝，

得4cos2－cos2C＝，

∴4·

－（2cos2C－1）＝，

整理，得4cos2C－4cosC＋1＝0，解得cosC＝，

∵0°

C<

，∴C＝60°

（2）由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，

即7＝a2＋b2－ab，∴7＝（a＋b）2－3ab，

由条件a＋b＝5，得7＝25－3ab，ab＝6，

∴S△ABC＝absinC＝×

6×