（3）当0°<<45°时，sin_____cos；当45°<<90°时，sin______cos．
3、同角、互余角的三角函数关系：
（1）同角三角函数关系：
.；；
（2）互余锐角的三角函数关系：
，。
1、解直角三角形:
由直角三角形中除直角以外的两个已知元素（其中至少有一条边），求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
直角三角形的可解条件及解直角三角形的基本类型如下表：
已知条件
解法
一条边和一个锐角
斜边c和
锐角A
直角边a和
锐角A
两条边
两条直角
边a和b
，
直角边a和
斜边c
备注：
a、b、c为三角形的三边；A、B、C为三角形的三个内角、S为三角形的面积
三、典型例题：
1．锐角三角函数的相关概念
例1、如图1，在RT△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）
A．B．C．D．
例5
例2、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是，AC=2，则sinB的值是（）
A．B．C．D．
例3：
已知在中，∠C为直角，AC=4cm，BC=3cm，sin∠A= ．
例4：
在中，，分别是的对边，若，则．
例5：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝2，则cosA的值是（ ）
A．B．C．D．
B
A
C
D
E
例6：
如图2，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，sinA＝，则BC的长为___cm.
例6
变式2图
变式1图
例7：
正方形网格中，如图3放置，则的值为（ ）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
典型例题题型一：
求锐角三角函数的值
例1在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，点D在BC边上，且∠ADC=45°，DC=6，求∠BAD的正切值．
变式训练1如图，在中，，于，若，，则的值为（）
A.B.C.D.
变式训练2如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，
且∠ADE=60°，BD=4，CE=，则△ABC的面积为（）
A．B．15C．D．
题型三：
化简计算
例1
（1））计算：
.
变式：
已知α是锐角，且sin（α+15°）=。
计算。
特殊角的三角函数值
例1菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，则点的坐标为（）
A．B．C．D．
变式训练2.如图，直径为10的⊙A经过点C（0,5）和点O（0,0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC的余弦值为（）.
A
B
O
例1图
变式1图
第3图
第4图
A．B．C．D．
概念巩固练习
1.已知中，AC=4，BC=3，AB=5，则（）
A.B.C.D.
2.已知为锐角，且，则等于（）
A． B． C． D．
3.如图，已知直角三角形的斜边长为，，则直角边的长是（）
A．B．C．D．
4.正方形网格中，如图放置，则=（ ）
A．B．C．D．
5.在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinB＝（）
A． B．C．D．
6.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（）
A．B．C．D．
7、如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点（不与A、B重合），已知BC＝2，tan∠ADC＝1，则AB＝__________．
例1图
第7图
2、锐角三角函数的应用性问题
（1）求线段长、面积、周长
例1如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB＝30°，D点测得∠ADB＝60°，又CD＝60m，则河宽AB为m（结果保留根号）.
变式1如图，一个小球由地面沿着坡度i=1∶2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（）
A．5mB．2mC．4mD．m
变式2如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD
是水位线，CD∥AB，且CD=24m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE= ．
（1）求半径OD；
（2）根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？
例2如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，，则这个菱形的面积=cm2．
（2）测量问题
例2、某学校宏志班的同学们五一期间去双塔寺观赏牡丹，同时对文宣塔的高度进行了测量，如图2，他们先在A处测得塔顶C的仰角为30°；再向塔的方向直行80步到达B处，又测得塔顶C的仰角为60°，请用以上数据计算塔高。
（学生的身高忽略不计，1步=0.8m，结果精确到1m）
（3）、航海问题
例3、如图3，灯塔A在港口0的北偏东55°的方向，且与港口的距离为80海里，一艘船上午9时从港口0出发向正东方向航行，上午11时到达B处，看到灯塔A在它的正北方向，试求这艘船航行的速度（精确到0.01海里/小时）（供选数据：
sin55°=0.8192,cos55°=0.5736,tan55°=1.4281）
四、巩固练习：
1.如图，在中，，，，则下列结论正确的是（）
A． B． C． D．
2.如图，在坡屋顶的设计图中，AB=AC，屋顶的宽度l为10米，坡角α为35°，则坡屋顶的高度h为米．（结果精确到0．1米）
3.△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则AC的长是；
4.先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）
A.B. C.D.
D
B
C
5.如图10，已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1，，…，则CA1=，
第5题图填空第1题图填空第2题图
6.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为米，则这个破面的坡度为__________.
7.如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点、C点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC为_____________米（精确到0.1米）．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28）
8.=______．
9.
（1）计算=
（2）计算：
=
五、课后练习
1．如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（）
A．（）mB．（）mC．mD．4m
2．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90o，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为（）（A）2（B）（C）（D）1
3．已知在中，，设，当是最小的内角时，的取值范围是
A． B． C． D．
4．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）
A．90°B．60°C．45°D．30°
5．如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N．则DM+CN的值为（用含a的代数式表示）（）
A．aB． C．D．
6．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB＝（ ）
A． B． C． D．
7．在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（）
A．B．C．D．
8．计算sin45°的结果等于________.
9．在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=2BC,则sinA的值是（）
A．B．2C．D．
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanB=，sinA=。
11．直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，
将△CBE沿CE翻折，使得B点与D点重合，则∠BCE的正切值为．
12．如图，在△ABC中，∠B=45°，cos∠C=，AC=5a，则△ABC的面积用含ａ的式子表示是．
13.如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边（岸边看成是直线）向前跑到C点，再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑30O米到离B点最近的D点，再跳人海中．救生员在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米／秒．若∠BAD=45°，∠BCD=60°，三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达营救地点B．（参考数据≈1.4，≈1.7）
14.如图13，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离是1.7m，看旗杆顶部的仰角为；小红的眼睛与地面的距离是1.5m，看旗杆顶部的仰角为．两人相距28米且位于旗杆两侧（点在同一条直线上）．请求出旗杆的高度．（参考数据：
，，结果保留整数）
15.小刚有一块含有30°角的直角三角板，他想测量其短直角边的长度，而手中另外只有一个量角器，于是他采用了如下的办法，并获得了相关数据：
第一步，他先用三角板标有刻度的一边测出量角器的直径AB的长度为9cm；
第二步，将三角板与量角器按如图所示的方式摆放，并量得∠BOC为80°（O为AB中点）．请你根据小刚测得的数据，求出三角板的短直角边AC的长．
（参考数据：
sin80°＝0.98，cos80°＝0.17，tan80°＝5.67；sin40°＝0.64，
cos40°＝0.77，tan40°＝0.84，结果精确到0.1cm．）
16.如图，在矩形中，是边上的点，，，垂足为，连接．
D
A
B
C
E
F
（1）求证：
；
（2）如果，求的值．
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