完整版专升本数学公式大全可编辑修改word版Word文件下载.docx
《完整版专升本数学公式大全可编辑修改word版Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整版专升本数学公式大全可编辑修改word版Word文件下载.docx（35页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
x
x2+a2
xdx=⎰cosn
xdx=
n-1
na2
In-2
⎰dx=
x2-a2
-
a2
ln（x+
lnx+
）+C
+C
arcsin+C
2a
sinx=
2u1+u2
，cosx=
1-u2
，
1+u2
u=tgx，
dx=
2du1+u2
一些初等函数：
两个重要极限：
ex-e-x
双曲正弦:
shx=
limsinx=1
2x→0x
双曲余弦:
chx=
ex+e-x
lim（1+1）x=e=2.718281828459045...
双曲正切:
thx=
shx=
chx
x→∞x
arshx=ln（x+
archx=±
x2+1）
x2-1）
arthx=1ln1+x
21-x
三角函数公式：
·
诱导公式：
函数角A
sin
cos
tg
ctg
-α
-sinα
cosα
-tgα
-ctgα
90°
sinα
ctgα
tgα
+α
180°
-cosα
270°
360°
和差角公式：
·
和差化积公式：
sin（±
）=sincos±
cossin
cos（±
）=coscossinsin
tg（±
）=tg±
tg
1tg⋅tg
sin+sin=2sin+
sin-sin=2cos+
+
-
ctg（±
）=
ctg⋅ctg1
cos+cos=2cos
22
ctg±
ctg
cos-cos=2sin+
倍角公式：
sin2=2sincos
cos2=2cos2-1=1-2sin2=cos2-sin2
ctg2-1
sin3=3sin-4sin3
cos3=4cos3-3cos
ctg2=
tg2=
2ctg2tg
tg3=
3tg-tg3
1-3tg2
1-tg2
半角公式：
sin=±
tg=±
1-cos2
1-cos=1-cos=
sin
cos=±
ctg=±
1+cos2
1+cos=1+cos=
21+cos
1+cos
21-cos
1-cos
正弦定理：
sinA
=b
sinB
=c
sinC
=2R
余弦定理：
c2=a2+b2-2abcosC
反三角函数性质：
arcsinx=
-arccosx
arctgx=
-arcctgx
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
（uv）=∑Cuv
（n）k（n-k）（k）
k=0
=u（n）v+nu（n-1）v'
+n（n-1）u（n-2）v'
++n（n-1）（n-k+1）u（n-k）v（k）++uv（n）
2!
k!
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：
f（b）-f（a）=f'
（）（b-a）
f（b）-f（a）f'
（）
柯西中值定理：
F（b）-
=
F（a）
F'
当F（x）=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率：
弧微分公式：
ds=1+y'
2dx,其中y'
=tg
平均曲率：
K=
∆∆:
从M点到M'
点，切线斜率的倾角变化量；
∆s：
MM'
弧长。
.
∆s
M点的曲率：
K=lim∆=
∆s→0∆s
d=.
y'
（1+y'
2）3
ds
直线：
K=0;
半径为a的圆：
K=1.
定积分的近似计算：
b
矩形法：
⎰f（x）≈
梯形法：
b-an
（y0+y1++yn-1）
[2（y0+yn）+y1++yn-1]
抛物线法：
b-a
3n
[（y0+yn）+2（y2+y4++yn-2）+4（y1+y3++yn-1）]
定积分应用相关公式：
功：
W=F⋅s
水压力：
F=p⋅A
引力：
F=km1m2,k为引力系数r2
1b
函数的平均值：
y=b-a⎰f（x）dx
均方根：
1
⎰f2（t）dt
b-aa
空间解析几何和向量代数：
（x-x）2+（y-y）2+（z-z）2
21
AB
空间2点的距离：
d=M1M2=
向量在轴上的投影：
PrjuAB=
⋅cos,是AB与u轴的夹角。
Prju（a+a
）=Prja
Prja
a⋅
b=a⋅bcos=axbx+ayby+azbz,是一个数量,
a2+a2+a2⋅b2+b2+b2
xyz
两向量之间的夹角：
cos=
axbx+ayby+azbz
i
c=a⨯=a
jk
aa,c=a⋅
.例：
线速度：
v=w⨯r.
bxyz
bxbybz
bsin
axayaz
向量的混合积：
[abc]=（a⨯b）⋅c=bxby
cxcy
bz=a⨯b⋅ccos,为锐角时
cz
代表平行六面体的体积。
平面的方程：
0000000
1、点法式：
A（x-x）+B（y-y）+C（z-z）=0，其中n={A,B,C},M（x,y,z）
2、一般方程：
Ax+By+Cz+D=0
3xyz
、截距世方程：
++=1
Ax0+By0+Cz0+D
A2+B2+C2
abc
平面外任意一点到该平面的距离：
d=
⎧x=x0+mt
⎩
x-x0y-y0
z-z0⎪
空间直线的方程：
mn
=p=t,其中s={m,n,p};
参数方程：
⎨y=y0+nt
二次曲面：
1、椭球面：
+
x2
yz2
+=
b2c21
y2
⎪z=z
pt
2、抛物面：
2p2q
3、双曲面：
=z（,
p,q同号）
单叶双曲面：
双叶双曲面：
b2
-y2
z2
c2
+z2
=1
=（1马鞍面）
多元函数微分法及应用
全微分：
dz=∂zdx+∂zdydu=∂udx+∂udy+∂udz
∂x∂y∂x∂y∂z
全微分的近似计算：
∆z≈dz=fx（x,y）∆x+fy（x,y）∆y
多元复合函数的求导法：
z=f[u（t）,v（t）]
dz=∂z⋅∂u+∂z⋅∂v
dt∂u∂t∂v∂t
z=f[u（x,y）,v（x,y）]
∂z=
∂z⋅∂u+∂z⋅∂v
∂x
当u=u（x,y），v=v（x,y）时，
∂u∂x
∂v∂x
du=∂udx+∂udydv=∂vdx+∂vdy
∂x∂y∂x∂y
隐函数的求导公式：
隐函数F（x,y）=0，
dy=-Fx，
dxFy
d2y
dx2
=∂（-Fx）＋∂
∂xFy∂y
（-Fx）⋅dyFydx
隐函数F（x,y,z）=0，∂z=-Fx，
∂z=-Fy
∂xFz∂yFz
⎧F（x,y,u,v）=0
∂（F,G）
FuFv
⎨
隐函数方程组：
⎩G（x,y,u,v）=0
J=∂（u,v）=
GuGv
∂F
∂u
∂G
∂v
∂u=-1⋅∂（F,G）∂v=-1⋅∂（F,G）
∂xJ
∂（x,v）
∂（u,x）
∂yJ
∂（y,v）
∂（u,y）
微分法在几何上的应用：
⎧x=（t）
空间曲线⎪y=（t）在点M（x,y,z）
x-x0
=y-y0
=z-z0
⎪z=（t）
000
处的切线方程：
（t0）
'
（t0）
'
在点M处的法平面方程：
（t0）（x-x0）+'
（t0）（y-y0）+'
（t0）（z-z0）=0
y
⎧⎪F（x,y,z）=0
Fy
FzFz
FxFxFy
若空间曲线方程为：
⎪⎩G（x,y,z）
=0,则切向量T={G
GzGz
G,G}
G
曲面F（x,y,z）=0上一点M（x0,y0,z0），则：
1、过此点的法向量：
n={F（x,y,z）,F（x,y,z
）,F（x,y,z）}
x000
y000
z000
2、过此点的切平面方程：
Fx（x0,y0,z0）（x-x0）+Fy（x0,y0,z0）（y-y0）+Fz（x0,y0,z0）（z-z0）=0
3、过此点的法线方程：
方向导数与梯度：
Fx（x0,y0,z0）
Fy（x0,y0,z0）
Fz（x0,y0,z0）
函数z=f（x,y）在一点p（x,y）沿任一方向l的方向导数为∂f=∂fcos+∂fsin
：
∂l∂x∂y
其中为x轴到方向l的转角。
函数z=f（x,y）在一点p（x,y）的梯度：
gradf（x,y）=∂fi+∂fj
∂f
∂x∂y
它与方向导数的关系是：
∂l
=gradf（x,y）⋅e，其中e=cos⋅i+sin⋅j，为l方向上的
单位向量。
∴∂f是gradf（x,y）在l上的投影。
多元函数的极值及其求法：
设fx（x0,y0）=fy（x0,y0）=0，令：
fxx（x0,y0）=A,
fxy（x0,y0）=B,
fyy（x0,y0）=C
⎧
AC-B2>
0
⎧A<
0,（x0,y0）为极大值
⎩00
⎪
⎪时，⎨A>
0,（x,y）为极小值
则：
⎨AC-B2<
0时，无极值
⎪AC-B2=0时,
⎪⎩
不确定
重积分及其应用：
⎰⎰f（x,y）dxdy=⎰⎰f（rcos,rsin）rdrd
DD'
曲面z=f（x,y）的面积A=⎰⎰
D
M
⎰⎰x（x,y）d
dxdy
1+ç
∂x⎪+ç
∂y⎪
⎛∂z⎫2
⎝⎭
⎰⎰y（x,y）d
平面薄片的重心：
x=x=D,y=y=D
M⎰⎰（x,y）d
平面薄片的转动惯量：
对于x轴Ix=⎰⎰y2（x,y）d,
对于y轴Iy=⎰⎰x2（x,y）d
平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M（0,0,a）,（a>
0）的引力：
F={Fx,Fy,Fz}，其中
Fx=f⎰⎰
（x,y）xd
3
Fy=f⎰⎰
（x,y）yd
Fz=-fa⎰⎰
D（x2+y2+a2）2
柱面坐标和球面坐标：
⎧x=rcos
柱面坐标：
⎪y=rsin,
⎰⎰⎰f（x,y,z）dxdydz=⎰⎰⎰F（r,,z）rdrddz,
⎪z=zΩΩ
其中：
F（r,,z）=f（rcos,rsin,z）
⎧x=rsincos
球面坐标：
⎪y=rsinsin，dv=rd⋅rsin⋅d⋅dr=r2sindrdd
⎪z=rcos
2
r（,）
⎰⎰⎰f（x,y,z）dxdydz=⎰⎰⎰F（r,,）r2sindrdd=⎰d⎰d⎰F（r,,）r2sindr
ΩΩ000
重心：
x=1⎰⎰⎰xdv,y=1⎰⎰⎰ydv,z=1⎰⎰⎰zdv，其中M=x=⎰⎰⎰dv
MΩMΩMΩΩ
转动惯量：
Ix=⎰⎰⎰（y2+z2）dv，
Ω
Iy=⎰⎰⎰（x2+z2）dv，
Iz=⎰⎰⎰（x2+y2）dv
曲线积分：
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：
设f（x,y）在L上连续，L的参数方程为：
⎨,
（≤t≤）,则：
⎩y=（t）
⎧x=t
⎰f（x,y）ds=⎰f[（t）,（t）]'
2（t）+'
2（t）dt（<
）特殊情况：
L⎩y=（t）
第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：
设L的参数方程为⎨y=，则：
⎩（t）
⎰P（x,y）dx+Q（x,y）dy=⎰{P[（t）,（t）]'
（t）+Q[（t）,（t）]'
（t）}dt
L
两类曲线积分之间的关系：
⎰Pdx+Qdy=⎰（Pcos+Qcos）ds，其中和分别为
LL
L上积分起止点处切向量的方向角。
格林公式：
⎰⎰（∂Q-∂P）dxdy=⎰Pdx+Qdy格林公式：
⎰⎰（∂Q-∂P）dxdy=⎰Pdx+Qdy
D∂x∂yLD∂x∂yL
当P=-y,Q=x∂Q-∂P=2时，得到D的面积：
A=⎰⎰dxdy=1⎰xdy-ydx
，即：
D2L
平面上曲线积分与路径无关的条件：
1、G是一个单连通区域；
2、P（x,y），Q（x,y）在G内具有一阶连续偏导数，且∂Q＝∂P。
注意奇点，如（0,0），应
减去对此奇点的积分，注意方向相反！
二元函数的全微分求积：
在∂Q＝∂P时，Pdx+Qdy才是二元函数u（x,y）的全微分，其中：
u（x,y）=
∂y
（x,y）
⎰P（x,y）dx+Q（x,y）dy，通常设x0=y0=0。
（x0,y0）
曲面积分：
⎰⎰⎰⎰xy
对面积的曲面积分：
∑
f（x,y,z）ds=
Dxy
f[x,y,z（x,y）]
1+z2（x,y）+z2（x,y）dxdy
对坐标的曲面积分：
⎰⎰P（x,y,z）dydz+Q（x,y,z）dzdx+R（x,y,z）dxdy，其中：
⎰⎰R（x,y,z）dxdy=±
⎰⎰R[x,y,z（x,y）]dxdy，取曲面的上侧时取正号；
∑Dxy
⎰⎰P（x,y,z）dydz=±
⎰⎰P[x（y,z）,y,z]dydz，取曲面的前侧时取正号；
∑Dyz
⎰⎰Q（x,y,z）dzdx=±
⎰⎰Q[x,y（z,x）,z]dzdx，取曲面的右侧时取正号。
∑Dzx
两类曲面积分之间的关系：
⎰⎰Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=⎰⎰（Pcos+Qcos+Rcos）ds
∑∑
高斯公式：
⎰⎰⎰（∂P+∂Q+∂R）dv=⎰⎰Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=⎰⎰（Pcos+Qcos+Rcos）ds
Ω∂x∂y∂z∑∑
高斯公式的物理意义——通量与散度：
散度：
div=∂P+∂Q+∂R,即：
单位体积内所产生的流体质量，若div<
0,则为消失...
∂x∂y∂z
通量：
A⋅nds=Ads=（Pcos+Qcos+Rcos）ds，
ò
ò
nò
∑∑∑
因此，高斯公式又可写成：
divAdv=Ads
n
Ω∑
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
⎰⎰（∂R-∂Q）dydz+（∂P-∂R）dzdx+（∂Q-∂P）dxdy=⎰Pdx+Qdy+Rdz
∑∂y∂z
∂z∂x
dydz
dzdx
⎰⎰
cos
Γ
上式左端又可写成：
∂∂
∑∂x∂y
与路径无关的条件∂R=∂Q，∂P=∂R，∂Q=∂P
∂
j
∂y∂z∂z∂x∂x∂y
k
∂z
P
Q
R
PQ
空间曲线积分
∂=∂
∂z∑∂x
RP
∂∂
∂y∂z
QR
旋度：
rotA=
向量场A沿有向闭曲线Γ的环流量：
⎰Pdx+Qdy+Rdz=⎰A⋅tds
ΓΓ
常数项级数：
等比数列：
1+q+q2
++q
n-1
=1-qn
1-q
等差数列：
1+2+3++n=（n+1）n
调和级数：
1+1+1++1是发散的
23n
级数审敛法：
1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）
⎧<
1时，级数收敛设：
=limnu，则⎪>
1时，级数发散
n→∞n
升级会员 