教育学数学史在初中数学中的应用以沪科版一元二次方程和勾股定理为例本科学位论文.docx

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教育学数学史在初中数学中的应用以沪科版一元二次方程和勾股定理为例本科学位论文

数学史在初中数学中的应用

----以沪科版一元二次方程和勾股定理为例

一、何为数学史？

数学史不仅仅只是数学成就的编年记录，它的发展凝聚了无数数学家的心血，是数学家们克服困难和战胜危机的斗争记录。

历史上对数学史的朴素的定义是：

伟大数学家的传记和发现的故事。

还有对数学史的定义于研究数学发展进程和规律的学科，它追溯数学的渊源，探索先人的数学思想，知道数学的进程。

数学史在中学数学中的应用，已经得到很多教学工作者的重视。

而数学史在中学数学的应用可以激发学生对于数学学习的兴趣。

张奠宙先生曾指出：

在数学教育中，特别在中学数学教学过程中，运用数学史知识是进行素质教育的重要方面。

利用数学史可以激发学生的学习兴趣，培养学生的数学精神，指导并丰富教师的课堂教学，促进学生对数学的理解和对数学价值的认识，构筑数学与人文之间的桥梁等。

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》第四部分第三条教材<编写建议>第八条“介绍有关的数学背景知识”中这样指出：

在对数学内容的学习过程中，教材中应当包含一些辅助材料，如史料、进一步研究的问题、数学家介绍、背景材料等，还可以介绍数学在现代生活中的广泛应用（如建筑、计算机科学、遥感、CT技术、天气预报等），这样不仅可以使学生对数学的发展过程有所了解，激发学生学习数学的兴趣，还可以使学生体会数学在人类发展历史中的作用和价值。

辅助材料可以以阅读材料等形式出现。

在数与代数部分，可以穿插介绍代数及代数语言的历史，并将促成代数兴起与发展的重要人物和有关史迹的图片呈现在学生的面前，也可以介绍一些有关正负数和无理数的历史、一些重要符号的起源与演变、与方程及其解法有关的材料（如《九章算术》、秦九韶法）、函数概念的起源、发展与演变等内容。

在空间与图形部分，可以通过以下线索向学生介绍有关的数学背景知识:

介绍欧几里得《原本》，使学生初步感受几何演绎体系对数学发展和人类文明的价值；介绍勾股定理的几个著名证法（如欧几里得证法、赵爽证法等）及其有关的一些著名问题，使学生感受数学证明的灵活、优美与精巧，感受勾股定理的丰富文化内涵；介绍机器证明的有关内容及我国数学家的突出贡献；简要介绍圆周率π的历史，使学生领略与π有关的方法、数值、公式、性质的历史内涵和现代价值（如π值精确计算已经成为评价电脑性能的最佳方法之一）；结合有关教学内容介绍古希腊及中国古代的割圆术，使学生初步感受数学的逼近思想以及数学在不同文化背景下的内涵；作为数学欣赏，介绍尺规作图与几何三大难题、黄金分割、哥尼斯堡七桥问题等专题，使学生感受其中的数学思想方法，领略数学命题和数学方法的美学价值。

二、中学生学习数学的现状

一直以来，很多学生认为数学是一门枯燥乏味，抽象难懂的学科，认为数学就是一堆难懂的公式，定理、符号、数字。

有时他们还没有弄懂事物的来龙去脉，却被要求做大量的题目，因而只能生搬硬套，算来算去还是弄不明白其中的头绪。

由于要参加中考，学生用了大量的习题，但是收效甚微，学习成绩优秀的学生，会觉得枯燥乏味，缺乏学习兴趣。

作为即将成为数学教育工作，我们要寻找其中的原因，找到解决问题的方法和更好的教学方式，让学生喜欢数学，会学数学和学好数学。

然而数学史是其中的一中比较有效的方法。

三、数学史在中学数学中的应用

（一）勾股定理的历史背景

2002年，世界数学家大会在北京召开，大会的会徽如图所示，这个会徽是以我国古代数学家赵爽为证明勾股定理所作的“弦图”为原型设计的。

据《周髀算经》记载，西周初期周公与大夫商高讨论勾股测量的对话中，商高答周公提问是提到“勾广三，股修四，径偶五“，这是勾股定理的特例。

同书稍后，另一处叙述周公后人荣芳与陈子关于如何测量太阳的高度的对话中，则表述了勾股定理的一般形式：

“。

。

。

。

。

以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。

”

1955年希腊发行了一张邮票，邮票上印有关于勾股定理证明的图案，用来纪念古希腊毕达哥拉斯学派在文化上的贡献。

相传，毕氏在发现这一定理时，层宰牛百头，广设盛宴，以示庆贺，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”。

据文献记载，在巴比伦、埃及和印度这些文明古国，也是很早就知道应用这个定理了。

　在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。

还有的国家称勾股定理为“平方定理”。

对勾股定理的研究，遍及世界许多地方、各种文化以及各个历史时期。

这个定理的证法之多，在几何学中也是罕见的。

欧几里得在他的《原本》中提供了一种最早的书面证法。

如图所示，在Rt△ABC中AB=c,BC=a，AC=b，以△ABC的三边为边分别向外作正方形ABDE,BCFG,ACHK,再作CL⊥ED,垂足为点L,且交AB于点N,连接KB,CE.

∵S△ABK=1/2AK×KH=1/2b2

S△ABC=1/2AE×EL=1/2×S矩形AELN

又∵△ABK≌△AEC,（SAS）

∴S长方形BDLN=b2

同理S长方形BDLN=a2

∴a2+b2=S长方形BDLN+S长方形BDLN=c2

公元三世纪，我国三国时期吴国数学家赵爽在注《周髀算经》中就给出了它的简明证法。

赵爽创制了一幅“勾股圆方图”。

用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明（下图）。

在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。

每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。

于是便可得如下的式子：

4×（ab/2）+（b-a）2=c2

化简后便可得：

a2+b2=c2

亦即：

c=（a2+b2）（1/2）

赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。

他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。

以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展，只是具体图形的分合移补略有不同而已。

（二）一元二次方程的历史背景

元前2000年左右，古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。

他们是这样描述的：

已知一个数与它的倒数之和等于一个已给数，求出这个数。

他们使x1+x2=b，x1x2=1，x2-bx+1=0，再做出解答。

可见，古巴比伦人已知道一元二次方程的解法，但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。

埃及的《纸草文书》中也涉及到最简单的二次方程如ax2=b。

希腊的丢翻图（246－330）只承认二次方程的一个正根，即使两根都是正的他也只取一个。

印度的婆罗摩及多公元628年写成的《婆罗摩修正体系》中，得到一元二次方程的x2+px+q=0一个求根式。

阿尔·花拉子模的《代数学》中（讨论方程的根法，解出了一次二次方程，但保留了六种不同的形式，如a、b、c为正数，如ax2=bx、ax2=cx、ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c等，且让总是正数．在把一元二次方程分成不同形式这一点上是照丢番图那样做的），给出了一元二次方程的几种特殊解法，并第一次给出了一元二次方程的一般解法．他承认方程有两个根，还允许有无理根存在，只是还未认识虚根．复数根的运用是十六世纪意大利的数学家们从解一元二次方程中开始的。

法国数学家韦达（FrancisVieta1540－1603）在数学研究方面有杰出的贡献和深远的影响，他常常在工作之余致力于数学研究．当韦达被奇异的数学吸引住时，就会一连数日闭门不出，进行思考与研究．当时，他和好几位数学家都研究并发现了方程的根与系数的关系。

因为韦达的论文发表得较早，影响也大，因此后人习惯上把一元二次（为正整数）方程的根与系数的关系定理称为韦达定理，教科书中，一元二次方程的根与系数的关系是韦达定理的特例．韦达在数学研究中另一重大的贡献是第一个有意识地使用字母来表示已知数、未知数及乘方，改进了数学的符号．数学能够成为如今这样有力的工具，与它使用了像“”、“”及等符号语言是分不开的。

这些符号，使数学具有简洁的表达，也使方程和代数恒等式有了简洁、清楚的形式．如方程x2-3x=0就比书写“一个数的平方与这个数的3倍的差等于0”要简便得多．不难想象，如果不使用数学符号，数学发展将会多么缓慢．这些数学符号的使用使人便于思考．通过符号的演算和推导，我们能够十分容易地证明某些数学关系式、某些规律是成立的．例如，一元二次方程的实根的判别式定理、一元二次方程的根与系数的关系定理，都是通过数学表示式进行推导的．因此，人们称韦达是数学符号的改革家。

我国也对一元二次方程的研究历史悠久，我国在公元前4、5世纪时也掌握了一元二次方程的求根公式．《九章算术》中“勾股”第二十题就是通过相当于x2+34x-71000=0求方程的正根而解决的。

我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。

在《算法统宗》中的“平方带纵”则是中国最早的研究一元二次方程的根与系数的关系。

平方带纵法最奇①，四倍积步不须疑②。

纵多自乘加积步③，又用开方法除之④。

再以纵多并开积⑤，折半方好长数施⑥。

若问阔步知多少⑦，将长减却纵多积⑧。

积步：

长方形的长和宽的乘积；

纵多：

长方形的长和宽的差。

四个相等的长方形拼成如图所示的一个正方形。

其中长方形的长x,宽为y,而其中的小正方形的边为（x-y）。

六、历史名题

（一）勾股圆方图

勾股各自乘，并之为玄实。

开方除之，即玄。

案玄图有可以勾股相乘为朱实二

，倍之为朱实四。

以勾股之差自相乘为中黄实。

加差实亦成玄实。

以差实减玄实

，半其余。

以差为从法，开方除之，复得勾矣。

加差于勾即股。

凡并勾股之实，

即成玄实。

或矩于内，或方于外。

形诡而量均，体殊而数齐。

勾实之矩以股玄差

为广，股玄并为袤。

而股实方其里。

减矩勾之实于玄实，开其余即股。

倍股在两

边为从法，开矩勾之角即股玄差。

加股为玄。

以差除勾实得股玄并。

以并除勾实

亦得股玄差。

令并自乘与勾实为实。

倍并为法。

所得亦玄。

勾实减并自乘，如法

为股。

股实之矩以勾玄差为广，勾玄并为袤。

而勾实方其里，减矩股之实于玄实

，开其余即勾。

倍勾在两边为从法，开矩股之角，即勾玄差。

加勾为玄。

以差除

股实得勾玄并。

以并除股实亦得勾玄差。

令并自乘与股实为实。

倍并为法。

所得

亦玄。

股实减并自乘如法为勾，两差相乘倍而开之，所得以股玄差增之为勾。

以

勾玄差增之为股。

两差增之为玄。

倍玄实列勾股差实，见并实者，以图考之，倍

玄实满外大方而多黄实。

黄实之多，即勾股差实。

以差实减之，开其余，得外大

方。

大方之面，即勾股并也。

令并自乘，倍玄实乃减之，开其余，得中黄方。

黄

方之面，即勾股差。

以差减并而半之为勾。

加差于并而半之为股。

其倍玄为广袤

合。

令勾股见者自乘为其实。

四实以减之，开其余，所得为差。

以差减合半其

余为广。

减广于玄即所求也。

观其迭相规矩，共为返覆，互与通分，各有所得。

然则统叙群伦，弘纪众理，贯

幽入微，钩深致远。

故曰，其裁制万物，唯所为之也。

四、教案设计

18.1勾股定理