数学高考江苏省海安中学届高三下学期开学考试 数学.docx

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数学高考江苏省海安中学届高三下学期开学考试数学

江苏省海安高级中学2018届高三下学期开学考试

数学试卷

一、填空题．（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卡相应位置上）

（第2题）

1. 函数的最小正周期为▲．

2. 某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间（单位：

分钟）用茎叶图表

示如图，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数.则这

7天该同学每天参加体育锻炼时间（单位：

分钟）的平均数为▲.

3. 已知复数（i是虚数单位），，则

复数z的摸为▲．

4. 分别在集合{1，2，3，4}和集合{5，6，7，8}中

各取一个数相乘，则乘积为偶数的概率为▲．

5.已知曲线的一条切线斜率为，则切点的横坐标

为▲．

6．如图是计算的值的一个流程图，则常数a的取

值范围是▲．

7.在平面直角坐标系xOy中， 设点的集合，

，且，则实数a的取值范围是▲．

8.若等比数列的各项均为正数，且，则的值为▲．

9. 设，且，则的值为▲．

10. 在平面直角坐标系xOy中，若点（m，n）在圆外，则直线与椭圆

的公共点的个数为▲．

11．在等腰梯形ABCD中，已知AB//DC，，，．点E和F分别在线段BC和DC上，且，，则的值为▲．

12．设，则的最大值与最小值之和为▲．

13. 设函数是定义域为R，周期为2的周期函数，且当时，；已知

函数则函数在区间内零点的个数为▲．

14. 设函数对任意的，都有成立．若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，则实数M的最小值为▲．

二、解答题．（本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

（1）证明：

；

（2）若，求tanB的值．

16．如图，一个平面与四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA分别相交于点M，N，P，Q，

且截面四边形MNPQ是正方形．

（1）求证：

AC//平面MNPQ；

（2）求证：

，并求异面直线MP与BD所成角的值．

17．在某商业区周边有两条公路，在点O处交汇，该商业区为圆心角，半径的扇形.现规划在该商业区外修建一条公路AB，与分别交于A，B，要求AB与扇形弧相切，切点T不在上．

（1）设，试用a，b表示新建公路AB的长度，求出a，b满足的关系式，并写出a，b的范围；

（2）设，试用表示新建公路AB的长度，并且确定A，B的位置，使得新建公路AB

的长度最短．

18.   在平面直角坐标系xOy中，设椭圆T的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为2，椭圆T上的

点到右焦点的距离的最小值为．

（1）求椭圆T的方程；

（2）设点A，B分别是椭圆T的左右顶点，点Q是x轴上且在椭圆T外的一点，过Q作直线

 交椭圆T于C，D两点（异于A，B），设直线AC与BD相交于点P，记直线PA，PB，

 PQ的斜率分别为k1，k2，k3，求证：

k3是k1，k2的等差中项．

19．已知二次函数g（x）对任意实数x都满足，且．令

．

（1）求g（x）的表达式；

（2）若使成立，求实数m的取值范围；

（3）设，，证明:

对，恒有

20．下述数阵称为“森德拉姆筛”，记为S．其特点是每行每列都是等差数列，第i行第j列的数记为Aij．

1471013…

48121620…

712172227…

1016222834…

1320273441…

…………

（1）证明：

存在常数，对任意正整数i，j，总是合数；

（2）设 S中主对角线上的数1，8，17，28，41，…组成数列．试证不存在正整数k和m，使得成等比数列；

（3）对于

（2）中的数列，是否存在正整数p和r ，使得成等差数列．若存在，写出的一组解（不必写出推理过程）；若不存在，请说明理由．

数学附加题

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

B．选修4—2：

矩阵与变换

已知矩阵.求的特征值和特征向量.

C．选修4—4：

坐标系与参数方程

已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为（R），曲线，相交于A，B两点，求线段AB的长度.

22.在这9个自然数中，任取3个不同的数．

（1）求这3个数中至少有1个数是偶数的概率；

（2）求这3个数的和为18的概率；

（3）设为这3个数中两数相邻的组数（例如：

若取出的数为，则有两组相邻的数和，此时的值是2）．求随机变量的分布列及其数学期望．

23．设数列是等比数列，，公比q是的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．

（1）用n，x表示数列的通项及前n项和；

（2）若，用n，x表示．