几何证明1Word下载.docx

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例如：

∵∠1与∠2是对顶角（已知）

∴∠1=∠2（）

又如：

∵∠1与∠2互为余角（已知）

∴∠1+∠2=90°

（互余的定义）

2、一因多果

如图，两条平行线a与b被第三条直线c所截

∵a//b

∴∠2=∠4（）

∠1=∠4（）

∠3+∠4=180°

（）

3、多因一果

如图，∵AB⊥EF于G，CD⊥EF于H（）

∴AB//CD（）

总结：

通常证明是由若干个推理组成，即有多层因果关系，从整体上看，前一段中的果为后一段提供了因，一连串这样连贯、有序的因果关系组成了完整的证明。

练习:

：

你能通过自己的思考，各举出一个“一因一果”、“一因多果”及“多因一果”的例子吗？

例3：

如果，∠1=60°

，∠2=60°

，∠3=57°

，则∠4=57°

，下面四种推理过程，你认为正确的是（）

A∵∠1=60°

=∠2B∵∠4=57°

=∠3C∵∠2=∠5

∴a//b∴a//b又∠1=60°

∴∠4=∠3=57°

∴∠1=∠2=60°

∴∠1=∠5=60°

∴∠4=∠3=57°

D∵∠1=60°

∴∠1—∠3=∠2—∠4=60°

—57°

=3°

∴∠4=57°

练习：

阅读下面的证明过程，在括号内填写适当的理由，并在横线部分说明因果关系

如图，已知∠B=50°

，∠1=50°

，AB=AC，求证∠1=∠2

证明：

①∵∠B=50°

（）_____________

∴∠B=∠1（）________________

②∵∠B=∠1（）________________

∴AE//BC（）________________

③∵AE//BC（）________________

∴∠C=∠2（）________________

④∵AB=AC（）________________

∴∠B=∠C（）________________

⑤∵∠B=∠C，∠B=∠1，∠C=∠2（）________________

∴∠1=∠2（）________________

提示：

初学证明时，为了更好地掌握推理的方法，并且保证推理有根有据，层次分明，要把每一段推理的因果关系都明确无误地写出来，若能经常这样思考，无疑对提高思维的条理性、证题的准确性是十分有帮助的。

例4：

写出下题的证明过程，并且仿照上面解答题的形式说明因果关系。

如图，已知：

∠C=70°

，∠2=70°

，EF//AB

求证：

∠B=∠1

公理、命题、定理

1+1=？

思考：

是不是在所有的情况下都是等于2呢？

还是有前提的条件？

平面上两个确定的点之间是否线段的距离是最短的，为什么？

在几何和代数中有一些结论是人们从生产生活的实践中总结而来，是无需证明的结论，我们称之为公理，其它的结论都可以借由公理和定义推导得出，在平面几何（欧式几何）中，公理有如下一些

1、任意两个点可以通过一条直线连接。

2、任意线段能无限延伸成一条直线。

3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。

4、所有直角都全等。

5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。

可以看到第五条公理（平行公理）的描述都是由两部分组成，即条件的部分和结论的部分，用这样的方式描述的事情我们称之为命题。

例5：

1．人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理；

它们可以作为判断其它命题真假的____

2．能说明一个名词的含义，能界定某一个对象的句子叫做__________

3．判断一件事情的句子叫做______________；

其判断为正确的命题叫做___________；

其判断为错误的命题叫做____________。

4．有些命题是从___________或___________出发，用__________方法证明为正确的,并进

一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做_____________。

①概念的定义是指对一个名词或术语的规定。

定义指明了事物的本质属性，因而定义也具有判断的功能也就是说定义也可以作为推理的依据。

②公理是在实践中反复验证，不加推理证明就承认其真实性的命题。

③定理是必须经过推理证明，证得其正确性的命题。

定义、公理是定理的基础和推证依据，定理是命题，但命题并不都是定理，例如，假命题就

不是定理，因此只有“假命题”而没有“假定理”。

例6：

“周长相等的两个三角形全等”是不是命题？

如果是命题，把它改写成“如果……那么……”的形式，则它是真命题还是假命题？

指出下列命题的题设和结论，并改写成“如果……那么……”的形式

1．等腰三角形的两个底角相等

2．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行

3．全等三角形对应边等、对应角等:

例7：

确认一个命题是真命题要经过证明，证明一个命题是假命题只要举出一个反例

1．证明“两条平行线被第三条直线所截同旁内角的平分线互相垂直”是真命题

2．证明“锐角大于它的余角”是假命题

练习7：

1．证明：

等腰三角形两底角的平分线相等

2．有人说：

“如果一个三角形有一个角为60°

，且夹这个角的两边之比为1：

2，那么这个三角形一定是直角三角形”，你认为这个命题是真命题吗？

作出你的推断。

:

例8：

反证法：

反证法证明命题的一般步骤：

（1）假设，先假设命题的结论不成立。

（2）归谬，从这个假设出发，运用正确的推理方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果。

（3）结论，由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

例：

用反证法证明：

一个三角形中不能有两个角是直角。

解：

已知：

△ABC。

∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角

假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°

，

则∠A+∠B+∠C=90°

+90°

+∠C>

180°

。

这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A=∠B=90°

不成立。

所以一个三角形中不能有两个角是直角。

首先假设结论“∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面

“∠A，∠B，∠C中有两个角是直角”成立，然后从这个假设出发推理得出矛盾。

一、填空题

几何证明

（1）

一般来说，几何证明的思考方法有两种：

综合法和分析法。

综合法是从已知条件着手,根据已知的定义、公理、定理，逐步推导出求证的结论。

分析法与综合法相反，是先假定结论成立，然后去追究它成立的条件，逐步逆推，直至与已知条件（包括已学过的一切定义、公理、定理）相符合为止，它是由结果去探求使它成立的原因，分析法使我们容易找到证明的思路，然后再用综合法写出证明过程。

如果，已知：

DE=DC，AE=BC，∠E=∠C，DF⊥AB于F，

F是AB的中点。

分析法：

①要证明F是AB的中点，因为DF⊥AB于F（已知），所以容易联想到“等腰三角形,三线合一”，而图形中没有三角形，因此可以添画辅助线，构造三角形为证题创造条件，连结AD、BD；

只要证明AD=BD，即可。

②要证明AD=BD，因为AD、BD是△ADE与△BDC的对应边，所以只要证明

△ADE≌△BDC,即可。

③要证明△ADE≌△BDC，由已知条件：

DE=DC，∠E=∠C，AE=BC，利用全

等三角形的判定“SAS”即可。

以上分析法可以简记成:

“分析思路图”。

利用综合法证明如下：

连结AD、BD，

在△ADE和△BDC中，∴△ADE≌△BDC（SAS）

∴AD=BD（全等三角形对应边相等）

∵DF⊥AB于F，（已知）

∴F是AB的中点（等腰三角形，三线合一）

如图，已知E、C在BF上，且BE=CF，AB//DE，且AB=DE。

AC//DF

分析：

要证AC//DF，只要证∠1=∠F；

而∠1和∠F分别

是△ABC和△DEF的内角，所以可证△ABC≌△DEF。

而在这两个三角形中已知AB=DE，易得BC=EF，

故还须证∠B=∠2，这样可用“SAS”去判断

两三角形全等。

如图，AB//CD，BC⊥AB，∠CAD=60°

，且AD=DC，E是AC中点。

求证：

BC=ED

要证BC=ED，我们发现，BC和DE分别是两个三角形的边，

所以我们可考虑证明△ABC≌△CED，由已知易得△ACD是等边三

角形，又E是AC中点，故DE⊥AC。

所以△CDE与△ACB都是直

角三角形且AC=CD，且由AB//CD可是∠1=∠2。

最后可用“AAS”

判定两三角形全等

如果，在△ABC中，∠C=90°

，∠B=60°

，N是AB的中点，MN⊥AB交AC于M，试判断MC与AM之间的关系

由于A、M和C共线，所以题目要求判断的应是MC

和AM之间的数量关系，由于AM和MC不在同一三角形中，

判断数量关系较难，于是我们想到能否将两线段转化为在同一

三角形中。

由MN是AB的垂直平分线可得连结BM后，

BM=AM，这样就可通过判断BM与MC的关系来达到得出

MC和AM的关系，易得在Rt△MBC中，∠MBC=30°

，故

MC=

，至此问题便可解决。

证明方法总结：

1、线段之间的数量关系

2、角之间的数量关系

3、直线之间的位置关系

D是△ABC的BC边上任意一点，DE//AC，DF//AB。

∠AED=∠AFD

在△ABC中，AD平分∠BAC，BD=CD，求证：

AB=AC（两种方法）

D、E两点分别在AB、AC上，AD=AE，BD=CE，BE、CD交于点F，

FB=FC

提高题