因数与倍数应用题答案Word文件下载.docx

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“请你们按学号

顺序逐个到前面来翻卡片，规则是：

凡是卡片上的数是自己

学号的倍数，就把它翻过来，蓝翻红，红翻蓝”，那么当每

个同学都翻完后，红色朝上的卡片有几张？

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由“凡是卡片上的数是学号的倍数，把它翻过

来”知道，卡片翻几次的由卡片上的数的因数个数决定的，

卡片上的数的因数个数是几，就翻动几次。

那么一张卡片翻

动几次红色朝上呢？

我们需要找规律，怎样找规律呢？

老师

讲过——从特殊到一般找规律。

我们要一下找出50张卡片

的规律有困难，我们只研究一张卡片。

开始时是“蓝色朝上”

——翻动一次，红色朝上；

——翻动两次蓝色朝上（还原到

原来的状态）——翻动3次又的红色朝上——翻动4次蓝色

朝上⋯⋯；

从中找到规律：

翻动奇数次的卡片是红色朝上的；

翻动偶数次的卡片是蓝色朝上。

下面思考，1——50这50

个数中那些数的因数个数是奇数？

我们学习了因数的个数

定理：

一个完全平方数的因数是奇数个，其它的数的因数是

偶数个（包括1和自身因数），这样问题就得到了解决，看1

——50中那几个数是完全平方数，显然只有：

1，4，9，16，

25，36，49。

下面的问题就是怎么叙述解答过程，

关于怎么叙述问题，这是现在五年级学生面临的一个难

点，因为此题的解答过程包含证明推理，而命题的证明要到

初中二年级才开始学习。

为了家长帮助学生建立这方面的能

力，什么是推理和证明？

推理是反映从已知判断得出新的判

断的思维形式。

一般地讲逻辑推理只有两种形式，即：

假设

判断——如果A推出B（大前提），如果有A这个条件（小

前提），则必定有B（结论）；

第二种形式就是选言判断，或

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者B成立或者B的否定成立（大前提），如果B的否定不成

立，（小前提），则必有B成立（结论）。

数学问题解答过程

虽然不必规定唯一的叙述形式，但应有统一的要求，即叙述

形式应合乎逻辑。

五年级学生没有学习命题的证明，只要能

够把推理的过程说清楚就可以了，现在说明推理的过程是有

一定的困难，不要紧，从现在去慢慢练习，也为上中学作准

备。

下面叙述如下：

解答示范：

每张卡片翻动奇数下红色朝上，根据规则，凡

是卡片上的数是学生学号的倍数，就把卡片翻动一次。

也就

是1—50这50个数它有多少个因数，卡片就翻动它的因数

个次数。

因为完全平方数的因数个数是奇数，1——50中完

全平方数“1，4，9，16，25，36，49”的因数是奇数个，

这些卡片被翻动了奇数次，所以，红色卡片朝上的一共有7

张，它们分别是：

写有数的“1，4，9，16，25，36，49”

卡片。

3、在100至300之间，只有三个因数的数是多少？

分析及解答：

通过上面一题的解答，我们知道“完全平方

数的因数个数是奇数个”，100至300之间的数的因数个数只

有3个的数一定是完全平方数。

但要清楚是不是完全平方数

的因数都是3个呢？

我们研究一下，42=16是完全平方数，

它的因数个数是：

42=24，根据学习过的因数个数定理：

16

的因数个数是：

4+1=5个。

同学们发现什么规律没有？

——

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只有质数的平方的数的因数是3个，如22，32，，52，72，

112，132，⋯⋯，我们把问题转化为求“100至300之间有

那几个数是质数的平方的数”。

解答：

因为只有质数的平方的数的因数是3个，在100至

300之间只有7个完全平方数：

112，122，⋯⋯172，但只有

11，13，17是质数。

所以只有112=121，132=169，172=289

这三个数的因数是3个。

二、分解质因数类应用题

1、有4个小朋友，他们的年龄恰好一个比一个大1岁，

并且他们年龄的乘积是360，那么其中年龄最大的一个是多

少岁？

分析解答——像这种题，有的地方中考都出过，主要考察

学生灵活运用知识的能力。

对于小学生此题解答的思考不会

出现干扰，但中学生因为方程的知识比较牢固，认为问题中

的数量关系明显，列方程解答一定能够解出来。

设4个人的

年龄分别是：

X，X+1，X+2，X+3列方程是：

X（X+1）（X+2）

（X+3）=360，这个方程是高次方程，一般中学生是解不出

来，只有学习了奥数的同学才有办法解答。

下面用学习过小

学奥数“转化的思想”老师解答一下，再次说明，学习数学

要学习数学方法，看看小学奥数学习过的“转化数学思想”

的作用。

X（X+1）（X+2）（X+3）=360，高次方程我们通过转化—

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—把它转化学习过的知识处理：

初中一元二次方程。

原方程变形为：

（X2+3X）（X2+3X+2）—360=0；

（X2+3X）2+2（X2+3X）—360=0

上面转化为我们学习过的一元二次方程了，这中关键的一

步。

设：

（X2+3X）=Y，即：

Y2+2Y—360=0，解答Y1=—20

（舍去），Y2=18；

因假设知：

（X2+3X）=18，解这个一元二次方程：

X1=—6

（舍去），X2=3

这样4个人年龄中最大的是：

X+3=6岁。

方法二，分解质因数方法

从上面解答过程看，用代数的方法解答过程是复杂的，有

时，在解答数学问题中，算术方法更为简便。

这在中学处理

有些问题中也经常用到。

特别是在解答选择和填空题时。

360=23×

32×

5；

然后按照题意，把上面分解后的6个数进行组合成为4个

数的乘积，即：

360=3×

4×

5×

6；

显然最大的年龄是6岁。

2，某班王老师带领全班同学去植树，学生恰好平均分成

三组，如果老师与同学每人植树一样多，则共植树572棵，

那么这个班有学生多少人，每人植树多少棵？

分析解答——依题意知道，植树总数=每人植树棵数×

师

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生总数，

师生总数=每组学生数×

3组+1名老师，说明师生总数除

以3，余数是1。

572=2×

2×

11×

13，

依题意，把分解得到是质因数进行组合得：

572=11×

52=11×

（51+1）

因此，这个班学生51人，每人植树11棵；

注意：

572=44×

13=44×

（12+1），这里，全班人数12人，

老师1人，每人植树44棵情况不符合题意——一个班学生

人数应该不是12人；

三、奇数与偶数类应用题

自然数按奇偶性分类，分为奇数与偶数，利用奇数和偶数

的性质可以解决一些有趣的问题。

奇数与偶数的性质奥数教材第21页进行了归纳，这些性

质要熟记。

几点要注意：

1，偶数个奇数的和是偶数，奇数个奇数的和是奇数；

2，在运算中，加法与减法运算结果的的奇偶性不变。

也

就是：

偶数个奇数的差是偶数，奇数个奇数的差仍然是奇数；

3、奇数≠偶数

例题1：

9只杯子全部口朝上，每次翻动其中的4只杯子，

能否经过若干次翻动，使9只杯子开口全部朝下？

分析解答——由题目知道，每次翻动4只杯子，翻动若干

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次，那么具体一共翻动的次数的确切数是无法确定的。

审题

后要知道，一个问题只能用奇偶性解决。

我们先研究一只

杯子，翻动1次口朝下，翻动2次口朝上，翻动3次口朝

下⋯⋯，每只杯子要口朝下必须翻动奇数次，这样问题就找

到了解答的方案。

叙述解答过程：

每只杯子只有翻动奇数次口才能朝下，要

使9只杯子口全部朝下，翻动的总次数是9个奇数的和。

因

为奇数个奇数的和是奇数，所以，翻动的总次数是奇数。

依

题意，每次翻动4只杯子，翻动的总次数是4的倍数，这个

总次数是偶数，前后矛盾，即奇数≠偶数，所以，无论怎么

翻动，都不能使9只杯子的口朝下。

例题2（奇偶性中的周期问题）一个会议室有9盏灯，从

1——9依次编号，开始时，只有编号是2，6，9的灯是亮着

的，一个同学按1——9，再按1——9顺序不停地拉动开关，

一共拉了300下，这时编号是几的灯是不亮着的。

分析解答——每盏灯拉动开关奇数下改变原来的状态，即

暗的变亮，亮的变暗。

300÷

9=33⋯⋯3，所以，1，2，3号灯拉动了34次，拉了

偶数下，不改变原来的状态，即原来是亮的仍然亮，原来是

暗的仍然暗；

4，5，6，7，8，9拉了33下，是奇数下，改

变原来的的状态，原来亮的变暗，原来暗的变亮。

所以不亮

的灯是：

1，3，6，9号。

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四，数的倍数（整除）类应用题

数论问题是数学“王国”中最有趣的数学知识，无论你的

学历高低都能够研究这部分的内容，通过对数论的研究，可

以训练人的分析问题和逻辑推理能力。

要熟练地解答整除问

题类应用题，必须对2，5；

4，25；

8，125；

3，9；

7，11，

13倍数的数的特征（或能够被以上数整除的数的特征）十分

清楚，并能够把知识灵活运用。

例题1（奥数教材第29页练习3）六一儿童节快到了，四

（2）班的同学分成4组做绸花，每个小组做的绸花一样多，

马大哈统计了一下说“还是人多力量大，大家一共做了246

朵绸花”，马大哈统计对了吗？

为什么？

分析解答——四

（2）班同学做的花总数=每个组做的花×

4，花的总数是4的倍数；

下面就看246朵是不是4的倍数，

问题就解决了。

答：

马大哈统计错了。

因为，花的总数=每个组做的花×

4，

花的总数是4的倍数；

4是倍数的数的特征是末两位数的4

的倍数，而246的麦两位数46不能被4整除，246不是4

的倍数，所以，马大哈统计错了。

例2、有72名学生，共交课间餐费A52.7B元，平均每人

交多少元？

分析解答——把课间餐费化为分，则总钱数A527B（分）

一定是总人数72的倍数，又72=8×

9，所以，A527B是8和

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9的倍数。

根据8的倍数特征：

一个数的后三位组成的数是

8的倍数，这个数就是8的倍数。

即：

27B是的的倍数，只

有B=2，这个数变为了A5272，又这个数是9的倍数，它的

各位数字之和是9的倍数，A+5+2+7+2=A+16，所以，A=2，

72名学生的课间餐费总数是：

25272分；

平均每个同学交：

25272÷

72=351（分）=3.51（元）

例题3（奥数教材第34页练习4）、新学期开学了，学校

为了使同学们有一个更加方便的读书环境，新买了18个书

架，可是会计不小心把发票给弄污了，单价只剩下2个数字

“2**0元”，总价也只剩下2个数字“*4*8*元”你能帮助

算出单价和总价吗？

分析解答——由题意，总价一定是18的倍数，又18=2×

9，

总价一定能够被2和9整除，又单价的个位数字是0，18乘

以单价的个位数字一定是0，所以，总价的个位数为0，即：

总价是：

A4B80元，这个数是2、9的倍数。

又知道单价是2

千多元，总价一定：

18×

2000<

总价<

2990，36000<

53820，而总价的

千位上的数字是4，所以总价万位的的数字只能是4，所以

44B80，4+4+B+8+0=16+B要是9的倍数，则B=2，

总价是44280元，单价是：

44280÷

18=2460（元）

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