大一高数知识点与例题讲解.docx

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大一高数知识点与例题讲解

大一高数

函数与极限

第一节函数

○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★）

○邻域（去心邻域）（★）

第二节数列的极限

○数列极限的证明（★）

【题型示例】已知数列，证明

【证明示例】语言

1．由化简得，

∴

2．即对，，当时，始终有不等式成立，

∴

第三节函数的极限

○时函数极限的证明（★）

【题型示例】已知函数，证明

【证明示例】语言

1．由化简得，

∴

2．即对，，当时，始终有不等式成立，

∴

○时函数极限的证明（★）

【题型示例】已知函数，证明

【证明示例】语言

1．由化简得，

∴

2．即对，，当时，始终有不等式成立，

∴

第四节无穷小与无穷大

○无穷小与无穷大的本质（★）

函数无穷小

函数无穷大

○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）

（定理三）假设为有界函数，为无穷小，则

（定理四）在自变量的某个变化过程中，若为无穷大，则为无穷小；反之，若为无穷小，且，则为无穷大

【题型示例】计算：

（或）

1．∵≤∴函数在的任一去心邻域内是有界的；

（∵≤，∴函数在上有界；）

2．即函数是时的无穷小；

（即函数是时的无穷小；）

3．由定理可知

（）

第五节极限运算法则

○极限的四则运算法则（★★）

（定理一）加减法则

（定理二）乘除法则

关于多项式、商式的极限运算

设：

则有

（特别地，当（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）

【题型示例】求值

【求解示例】解：

因为，从而可得，所以原式

其中为函数的可去间断点

倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：

解：

○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）

（定理五）若函数是定义域上的连续函数，那么，

【题型示例】求值：

【求解示例】

第六节极限存在准则及两个重要极限

○夹迫准则（P53）（★★★）

第一个重要极限：

∵，∴

（特别地，）

○单调有界收敛准则（P57）（★★★）

第二个重要极限：

（一般地，，其中）

【题型示例】求值：

【求解示例】

第七节无穷小量的阶（无穷小的比较）

○等价无穷小（★★）

1．

2．

（乘除可替，加减不行）

【题型示例】求值：

【求解示例】

第八节函数的连续性

○函数连续的定义（★）

○间断点的分类（P67）（★）

（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）

【题型示例】设函数，应该怎样选择数，使得成为在上的连续函数？

【求解示例】

1．∵

2．由连续函数定义

∴

第九节闭区间上连续函数的性质

○零点定理（★）

【题型示例】证明：

方程至少有一个根介于与之间

【证明示例】

1．（建立辅助函数）函数在闭区间上连续；

2．∵（端点异号）

3．∴由零点定理，在开区间内至少有一点，使得，即（）

4．这等式说明方程在开区间内至少有一个根

第一章导数与微分

第一节导数概念

○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★）

【题型示例】已知函数，在处可导，求，

【求解示例】

1．∵，

2．由函数可导定义

∴

【题型示例】求在处的切线与法线方程

（或：

过图像上点处的切线与法线方程）

【求解示例】

1．，

2．切线方程：

法线方程：

第二节函数的和（差）、积与商的求导法则

○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★）

1．线性组合（定理一）：

特别地，当时，有

2．函数积的求导法则（定理二）：

3．函数商的求导法则（定理三）：

第三节反函数和复合函数的求导法则

○反函数的求导法则（★）

【题型示例】求函数的导数

【求解示例】由题可得为直接函数，其在定于域上单调、可导，且；∴

○复合函数的求导法则（★★★）

【题型示例】设，求

【求解示例】

第四节高阶导数

○（或）（★）

【题型示例】求函数的阶导数

【求解示例】，

，

……

第五节隐函数及参数方程型函数的导数

○隐函数的求导（等式两边对求导）（★★★）

【题型示例】试求：

方程所给定的曲线：

在点的切线方程与法线方程

【求解示例】由两边对求导

即化简得

∴

∴切线方程：

法线方程：

○参数方程型函数的求导

【题型示例】设参数方程，求

【求解示例】1.2.

第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）

第七节函数的微分

○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★）

第二章中值定理与导数的应用

第一节中值定理

○引理（费马引理）（★）

○罗尔定理（★★★）

【题型示例】现假设函数在上连续，在上可导，试证明：

，

使得成立

【证明示例】

1．（建立辅助函数）令

显然函数在闭区间上连续，在开区间上可导；

2．又∵

即

3．∴由罗尔定理知

，使得成立

○拉格朗日中值定理（★）

【题型示例】证明不等式：

当时，

【证明示例】

1．（建立辅助函数）令函数，则对，显然函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且；

2．由拉格朗日中值定理可得，使得等式成立，

又∵，∴，

化简得，即证得：

当时，

【题型示例】证明不等式：

当时，

【证明示例】

1．（建立辅助函数）令函数，则对，函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且；

2．由拉格朗日中值定理可得，使得等式成立，

化简得，又∵，

∴，∴，

即证得：

当时，

第二节罗比达法则

○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★）

1．☆等价无穷小的替换（以简化运算）

2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件

A．属于两大基本不定型（）且满足条件，则进行运算：

（再进行1、2步骤，反复直到结果得出）

B．☆不属于两大基本不定型（转化为基本不定型）

⑴型（转乘为除，构造分式）

【题型示例】求值：

【求解示例】

（一般地，，其中）

⑵型（通分构造分式，观察分母）

【题型示例】求值：

【求解示例】

⑶型（对数求极限法）

【题型示例】求值：

【求解示例】

⑷型（对数求极限法）

【题型示例】求值：

【求解示例】

⑸型（对数求极限法）

【题型示例】求值：

【求解示例】

○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（★★）

⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）

⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）

⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）

第三节泰勒中值定理（不作要求）

第四节函数的单调性和曲线的凹凸性

○连续函数单调性（单调区间）（★★★）

【题型示例】试确定函数的单调区间

【求解示例】

1．∵函数在其定义域上连续，且可导

∴

2．令，解得：

3．（三行表）

极大值

极小值

4．∴函数的单调递增区间为；

单调递减区间为

【题型示例】证明：

当时，

【证明示例】

1．（构建辅助函数）设，（）

2．，（）

∴

3．既证：

当时，

【题型示例】证明：

当时，

【证明示例】

1．（构建辅助函数）设，（）

2．，（）

∴

3．既证：

当时，

○连续函数凹凸性（★★★）

【题型示例】试讨论函数的单调性、极值、凹凸性及拐点

【证明示例】

1．

2．令解得：

3．（四行表）

4．⑴函数单调递增区间为,单调递增区间为,；

⑵函数的极小值在时取到，为，

极大值在时取到，为；

⑶函数在区间,上凹，在区间,上凸；

⑷函数的拐点坐标为

第五节函数的极值和最大、最小值

○函数的极值与最值的关系（★★★）

⑴设函数的定义域为，如果的某个邻域，使得对，都适合不等式，

我们则称函数在点处有极大值；

令

则函数在闭区间上的最大值满足：

；

⑵设函数的定义域为，如果的某个邻域，使得对，都适合不等式，

我们则称函数在点处有极小值；

令

则函数在闭区间上的最小值满足：

；

【题型示例】求函数在上的最值

【求解示例】

1．∵函数在其定义域上连续，且可导

∴

2．令，

解得：

3．（三行表）

极小值

极大值

4．又∵

∴

第六节函数图形的描绘（不作要求）

第七节曲率（不作要求）

第八节方程的近似解（不作要求）

第三章不定积分

第一节不定积分的概念与性质

○原函数与不定积分的概念（★★）

⑴原函数的概念：

假设在定义区间上，可导函数的导函数为，即当自变量时，有或成立，则称为的一个原函数

⑵原函数存在定理：

（★★）

如果函数在定义区间上连续，则在上必存在可导函数使得，也就是说：

连续函数一定存在原函数（可导必连续）

⑶不定积分的概念（★★）

在定义区间上，函数的带有任意常数项的原函数称为在定义区间上的不定积分，即表示为：

（称为积分号，称为被积函数，称为积分表达式，则称为积分变量）

○基本积分表（★★★）

○不定积分的线性性质（分项积分公式）（★★★）

第二节换元积分法

○第一类换元法（凑微分）（★★★）

（的逆向应用）

【题型示例】求

【求解示例】

【题型示例】求

【求解示例】

○第二类换元法（去根式）（★★）

（的正向应用）

⑴对于一次根式（）：

：

令，于是，

则原式可化为

⑵对于根号下平方和的形式（）：

：

令（），

于是，则原式可化为；

⑶对于根号下平方差的形式（）：

a．：

令（），

于是，则原式可化为；

b．：

令（），

于是，则原式可化为；

【题型示例】求（一次根式）

【求解示例】

【题型示例】求（三角换元）

【求解示例】

第三节分部积分法

○分部积分法（★★）

⑴设函数，具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：

⑵分部积分法函数排序次序：

“反、对、幂、三、指”

○运用分部积分法计算不定积分的基本步骤：

⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序；

⑵就近凑微分：

（）

⑶使用分部积分公式：

⑷展开尾项，判断

a．若是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）；

b．若依旧是相当复杂，无法通过a中方法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数

【题型示例】求

【求解示例】

【题型示例】求

【求解示例】

∴

第四节有理函数的不定积分

○有理函数（★）

设：

对于有理函数，当的次数小于的次数时，有理函数是真分式；当的次数大于的次数时，有理函数是假分式

○有理函数（真分式）不定积分的求解思路（★）

⑴将有理函数的分母分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：

其中一个多项式可以表示为一次因式；而另一个多项式可以表示为二次质因式，（）；

即：

一般地：

，则参数

则参数

⑵则设有理函数的分拆和式为：

其中

参数由待定系数法（比较法）求出

⑶得到分拆式后分项积分即可求解

【题型示例】求（构造法）

【求解示例】

第五节积分表的使用（不作要求）

第四章定积分极其应用

第一节定积分的概念与性质

○定积分的定义（★）

（称为被积函数，称为被积表达式，则称为积分变量，称为积分下限，称为积分上限，称为积分区间）

○定积分的性质（★★★）

⑴

⑵

⑶

⑷（线