最新高中数学必修5数列解答题及答案优秀名师资料Word格式文档下载.docx
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Sa,0,d,0,m1a,0m，1,
n，21（数列{a}的前n项和记为S，已知a,1，a,S（n,1，2，3„）（，nn1n1nn
Sn求证:
数列{}是等比数列（n
n，2证明:
?
a,S,S，a,S，，，，n1n1nn1nn
2SSn，1n?
（n，2）S,n（S,S），整理得nS,2（n，1）S，所以,（，，nn1nn1nn，1n
Sn故{}是以2为公比的等比数列（n
aSaaSn,1,211,,，,2、数列的前项和记为n，，,,nnnn11，
a（?
）求的通项公式;
,n
b（?
）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又T,15ababab，，，,,Tn,,nn3112233成等比数列，求Tn
aSn,，,212解:
（?
）由可得，aS,，21，，nn,1nn，1
aaaaan,,,,2,32两式相减得，，nnnnn，，11
n,1a13又?
故是首项为，公比为得等比数列?
aS,，,213aa,3a,3,,n2121n
bd（?
）设的公差为由得，可得，可得T,15bbb，，,15b,5,,n31232故可设又aaa,,,1,3,9bdbd,,,，5,513123
2515953,，，，,，dd由题意可得解得dd,,2,10，，，，，，12
nn,1，，2b?
等差数列的各项为正，?
?
d,0d,2Tnnn,，，,，322,,nn2
23、已知数列{a}的前n项和S,3n,2n，求证数列{a}成等差数列.nnn
111b，cc，aa，b
（2）已知，，成等差数列，求证，，也成等差数列.abcabc证明:
（1）n,1时，a,3,2,1，,S11
22当n?
2时，a,S,S,3n,2n,[3（n,1）,2（n,1）],6n,5，,nnn1
n,1时，亦满足，?
a,6n,5（n?
N*）（n
a,6n,5,[6（n,1）,5],6（常数）（n?
N*），首项a,1，a,1nn1
数列{a}成等差数列且a,1，公差为6（n1
111211
（2）?
，，成等差数列，?
，化简得2ac,b（a，c）（abcbac
222222，bacacbc，c，a，abac（ac）b，ca，b（，），，（，），,,,,，b（ac）acacacac
2
a，cb，cc，aa，b,2?
，?
，，也成等差数列（babc
4、设{a}是公比为q的等比数列，且a，a，a成等差数列（n132
（1）求q的值;
（2）设{b}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S，当n?
2时，比较Snnn
与b的大小，并说明理由（n
22解:
（1）由题设2a,a，a，即2aq,a，aq，?
a?
0，?
2q,q,1,0，3121111
1?
q,1或,（2
2，3n（n,1）nn
（2）若q,1，则S,2n，,（n22
（n,1）（n，2）当n?
2时，Sb,S,,0，故Sb（,,,nnn1nn2
21n（n,1）1,，9nn若q,,，则S,2n，（,）,（n2224
（n,1）（10,n）当n?
2时，S,b,S,，,nnn14
故对于n?
N，当2?
n?
9时，S,b;
当n,10时，S,b;
当n?
11时，S,b（+nnnnnn
n，25、数列{a}的前n项和记为S，已知a,1，a,S（n,1，2，3„）（，nn1n1nn
2SSn，1nn，2）S,n（S,S），整理得nS,2（n，1）S，所以,（?
（，，nn1nn1nn，1n
26（（理）（2011?
四川广元诊断）已知数列{a}的前n项和S,2n,2n，数列{b}的前n项和Tnnnn,3,b.n
求数列{a}和{b}的通项公式;
nn
11?
设c,a?
b，求数列{c}的前n项和R的表达式（nnnnn43
[解析]?
由题意得a,S,S,4n,4（n?
2）而n,1时a,S,0也符合上式,nnn111
b1n?
a,4n,4（n?
N）又?
b,T,T,b,b～?
，,,nnnn1n1n2b,n1
11133,n1n,,,,?
{b}是公比为的等比数列～而b,T,3,b～?
b,～?
b,,3?
（n?
N）（，n1111n,2,,2,222
111111nn,,,,?
C,a?
b,（4n,4）×
×
3,（n,1）～nnn,2,,2,4343
1111234n,,,,,,,,?
R,C，C，C，„，C,，2?
，3?
，„，（n,1）?
n123n,2,,2,,2,,2,
11111，34nn1,,,,,,,,?
R,，2?
，„，（n,2），（n,1）n,2,,2,,2,,2,2
111111，23nn1n,,,,,,,,,,?
R,，，„，,（n,1）?
～?
R,1,（n，1）.nn,2,,2,,2,,2,,2,2
7（（理）（2011?
华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考）已知数列{b}前n项和为S，nn
1且b,1，b,S.，1n1n3
（1）求b，b，b的值;
（2）求{b}的通项公式;
（3）求b，b，b，„，b的值（234n2462n
1111141116[解析]
（1）b,S,b,～b,S,（b，b）,～b,S,（b，b，b）,.2113212431233333393327
1b,S?
，n1n,314
（2）,b,b～?
b,b～?
?
解b，，n1nnn1n,331b,S?
nn1,3
1，n,1，,,411,n2,,?
b,～?
b,?
（n?
2）?
b,,.412nn,n2,,,3,33?
，n?
2，,,3,,3
412,,（3）b～b～b„b是首项为～公比的等比数列～2462n,3,3
142n][1,，，33342n?
b，b，b，„，b,,[（）,1]（2462n4732,,1,,3,
28（（理）（2011?
黑龙江林口四中）已知a,2，点（a，a）在函数f（x）,x，2x的图象上，其中，1nn1
n,1,2,3，„.
（1）证明数列{lg（1，a）}是等比数列;
n
（2）设T,（1，a）（1，a）„（1，a），求T及数列{a}的通项（n12nnn
22[解析]
（1）由已知a,a，2a～?
a，1,（a，1）.?
a,2～?
a，1>
1～两边取对数得:
，，n1nnn1n1n
，lg，1，a，n1lg（1，a）,2lg（1，a）～即）}是公比为2的等比数列（,2.?
{lg（1，a，n1nnlg，1，a，n
,,n1n1n1
（2）由
（1）知lg（1，a）,2?
lg（1，a）,2?
lg3,lg32n1
n1?
1，a,32（*）n
,01n12n1n?
T,（1，a）（1，a）„（1，a）,32?
32?
„?
32,31，2，2，„，2,32,1.n12n
n由（*）式得a,32,1,1.n
29（（理）（2011?
安徽河历中学月考）设曲线y,x，x，2,lnx在x,1处的切线为l，数列{a}的n首项a,,m，（其中常数m为正奇数）且对任意n?
N，点（n,1，a,a,a）均在直线l，，1n1n1上（
（1）求出{a}的通项公式;
（2）令b,na（n?
N），当a?
a恒成立时，求出n的取值范围，使得b>
b成立（，，nnn5n1n
2[解析]
（1）由y,x，x，2,lnx～
1,,,2x，1,知x,1时～y,4～又y′|,,2～,,x1x1,x,,
直线l的方程为y,4,2（x,1）～即y,2x，2～又点（n,1～a,a,a）在l上～a,,，n1n11m～
a,a，m,2n.即a,a,2n,m（n?
N）～，，，n1nn1n
a,a,2,m～a,a,2×
2,m～„a,a,2×
（n,1）,m.,2132nn1
2各项迭加得～a,2（1，2，„，n,1）,（n,1）m，a,n,（m，1）n.n1
2?
通项a,n,（m，1）n（n?
N），n
m，1m，1
（2）?
m为奇数～?
为整数～由题意知～a是数列{a}中的最小项～?
5～5n22
32322?
m,9～令f（n）,b,n,（m，1）n,n,10n～则f′（n）,3n,20n～n
20由f′（n）>
0得～n>
N）～，3
20即n>
N）时～f（n）单调递增～即b>
b成立～?
n的取值范围是n?
7～且n?
N.，，，n1n3
10（（理）（2011?
辽宁丹东四校协作体联考）数列{a}满足a,1，a,2，n12
nπnπ22,,1，cosa,a，sin，n,1,2,3，„.，n2n,2,2
（1）求a，a，并求数列{a}的通项公式;
34n
a,12n1
（2）设b,，S,b，b，„，b.证明:
6时，|S,2|<
.nn12nnan2n
ππ22[解析]
（1）因为a,1～a,2～所以a,（1，cos）a，sin,a，1,2～1231122
22a,（1，cosπ）a，sinπ,2a,4.422
，2k,1，π，2k,1，π*22当n,2k,1（k?
N）时～a,[1，cos]a，sin,a，1～，,,2k12k12k122即a,a,1.所以a,k.，,,2k12k12k1
2kπ2kπ2*2,,1，cos当n,2k（k?
N）时～a,a，sin,2a.，2k22k2k,2,2
n，1*n,2k,1，k?
N，,2k所以a,2.故数列{a}的通项公式为a,2knn,n*2n,2k，k?
N，,2
a,n123n1123n2n1
（2）由
（1）知～b,,～S,，，，„，～?
S,，，，„，～?
n23n234，n1nnna22222222222n
11n，,,，1,2，,,，211111nn1n?
得～S,，，，„，,,,1,,.,23nn，，，n1n1n1n22222212221,2
n，21n所以S,2,,,2,.nn,n1n222
n，n，2，1要证明当n?
6时～|S,2|<
成立～只需证明当n?
6时～<
1成立（nnn2
6×
，6，2，483
（1）当n,6时～,,<
1成立（62644
k，k，2，
（2）假设当n,k（k?
6）时不等式成立～即<
1.k2
，k，1，，k，3，k，k，2，，k，1，，k，3，，k，1，，k，3，则当n,k，1时～,×
<
1～k，k1222k，k，2，，k，2，?
2k
n，n，2，1由
（1）、
（2）所述可知～当n?
1.即当n?
成立（nn2n
11（（理）（2011?
湖南长沙一中期末）已知数列{a}和等比数列{b}满足:
a,b,4，a,b,2，nn1122
*a,1，且数列{a,a}是等差数列，n?
N.，3n1n
（1）求数列{a}和{b}的通项公式;
1*,，，3
（2）是否存在k?
N，使得a,b?
若存在，求出k的值;
若不存在，请说明理由（kk,2，
11,,n1n3,,,,[解析]
（1）易知b,4?
～?
a,a,,2～a,a,,1～„n2132,2,,2,
a,a,,2，（n,1）,n,3.?
a,a,（n,1）,3～，,n1nnn1
n，n,1，?
a,（a,a），（a,a），„，（a,a），（a,a），a,,3（n,1），4,,,nnn1n1n2322112
2n,7n，14,.2
2,7n，141n,n3,,
（2）设c,a,b,,.显然～当n,1,2,3时～c,0.nnnn,2,2
22，2n，1,7n,7，14n,7n，14111n,,,n2n3n2,,,,,,由c,c,,,，,n,3，.，n1n,2,,2,,2,22
11当n,3时～c,c,～?
c,a,b,,4344422
157当n,4时～c,c,1，,～?
c,a,b,,54555444
117313,,当n,5时～c,c,2，,～?
c,a,b,>
3,65666,2,88
1,n2,,当n?
6时～c,c,n,3，>
3恒成立,，n1n,2,
此时c,a,b>
3，c>
3恒成立（，，，n1n1n1n
1,，～3?
存在k,5～使a,b?
.kk,2，
12、{a}是公差为1的等差数列，{b}是公比为2的等比数列，P，Q分别是{a}，{b}的前nnnnnnn
项和，且a,b，P,Q，45.63104
（1）求{a}的通项公式;
（2）若P>
b，求n的取值范围（nn6
（1）由题意得
a，5,4b11,,a,3,1,4,,3，（n,1）,n，2.,?
～?
a，1,2，10×
9bn1b,2,10a，,，45,11,21,2,
2，5nn，n，2，3，n,61
（2）P,,～b,2×
2,64.n622
2n，5n2由>
64?
n，5n,128>
0?
n（n，5）>
128～2
*又n?
N～n,9时～n（n，5）,126～?
10时～P>
b.n6[解析]?
2）而n,1时a,S,0也符合上式?
a,4n,,nnn111n
b11n4（n?
N）又?
b,T,T,b,b～?
{b}是公比为的等比数列～而b,T,3，,,nnn1n1nn1122b,n1
1133,n1n,,,,,b～?
N）（，11n,2,,2,22
3,（n,1）～nnn,2,,2,4343
2（理）（2011?
b，求数列{c}的前n项和R的表达式（nnnnnnn43
18（（本小题满分12分）（文）（2011?
河南濮阳）数列{a}的前n项和记为S，a,1，a,，nn1n12S，1（n?
1）（n
（2）等差数列{b}的各项为正数，前n项和为T，且T,nnn315，又a，b，a，b，a，b成等比数列，求T.112233n
1（理）（2011?
六校联考）已知数列{b}前n项和为S，且b,1，b,S.，nn1n1n3
（3）求b，b，b，…，b的值（234n2462n
19（（本小题满分12分）（文）（2011?
宁夏银川一中模拟）在各项均为负数的数列{a}中，已n
28*知点（a，a）（n?
N）在函数y,x的图象上，且a?
a,.，nn125327
（1）求证:
数列{a}是等比数列，并求出其通项;
（2）若数列{b}的前n项和为S，且b,a，n，求S.nnnnn
黑龙江）已知a,2，点（a，a）在函数f（x）,x，2x的图象上，其中n,，1nn1
1,2,3，….
（2）设T,（1，a）（1，a）…（1，a），求T及数列{a}的通项（n12nnn
n20（（本小题满分12分）数列{b}的通项为b,na（a>
0），问{b}是否存在最大项,证明你nnn
的结论（
x21（（本小题满分12分）（2011?
湖南长沙一中月考）已知f（x）,m（m为常数，m>
0且m?
1）（设
2f（a），f（a），…，f（a）…（n?
N）是首项为m，公比为m的等比数列（12n
数列{a}是等差数列;
（2）若b,af（a），且数列{b}的前n项和为S，当m,2时，求S;
nnnnnn
（3）若c,f（a）lgf（a），问是否存在正实数m，使得数列{c}中每一项恒小于它后面的项,nnnn
若存在，求出m的取值范围;
若不存在，请说明理由（
22（（本小题满分12分）（文）（2011?
四川资阳模拟）数列{a}的前n项和为S，且S,n（n，nnn
*1）（n?
N）（
（1）求数列{a}的通项公式;
bbbb123n
（2）若数列{b}满足:
a,}的通项公式;
，，，…，，求数列{b23nnnn3，13，13，13，1
bann*（3）令c,），求数列{c}的前n项和T.（n?
Nnnn4
（1）当n,1时～a,S,2～11
2时～a,S,S,n（n，1）,（n,1）n,2n～知a,2满足该式,nnn11?
数列{a}的通项公式为a,2n.nn
bbbb123n
（2）a,，，，„，（n?
1）?
23nn3，13，13，13，1
bbbbb，n1123n?
a,，，，„，，?
，，23nn1n13，13，13，13，13，1
b，n1，n1?
得～,a,2～b,2（3，1）～,a，，，n1n1nn13，1
n故b,2（3，1）（n?
N）（n
bannnn（3）c,，1）,n?
3，n～,n（3n4
23n?
T,c，c，c，„，c,（1×
3，2×
3，3×
3，„，n×
3），（1，2，„，n）n123n
23n令H,1×
3～?
，234n1则3H,1×
3?
n，3，1,3，，23nn1n1?
得～,2H,3，3，3，„，3,n×
3,,n×
3n1,3
，n1，3，2n,1，×
H,～n4
数列{c}的前n项和n
，n1，3n，n，1，，2n,1，×
3T,，.n42
11,,n1n3,,,,（理）[解析]易知b,4?
～n,2,,2,
a,a,,2～a,a,,1～„2132
a,a,,2，（n,1）,n,3.，n1n
a,a,（n,1）,3～,nn1
（理）（2011?
a,b,4，a,b,2，ann11223
*,1，且数列{a,a}是等差数列，n?
N.求数列{a}和{b}的通项公式;
，n1nnn
（1）由题意得
9bn1b,2,，,，4510a,11,21,2,
b.n6（理）[解析]?
2）而n,1时a,S,0也符合上式,nnn111
b11n?
{b}是公比为的等比数列～，,,nnnn1n1nn22b,n1
1133,n1n,,,,而b,T,3,b～?
N）（，1111n,2,,2,22
18、（文）[解析]
（1）由a,2S，1可得a,2S，1（n?
2）～，,n1nnn1
两式相减得a,a,2a～?
a,3a（n?
2）～又a,2S，1,2a，1,3～?
a,3a～，，nnn1n21121n1
n1故{a}是首项为1～公比为3的等比数列～?
a,3.nn
（2）设{b}的公差为d～由T,15得～b，b，b,15～可得b,5～故可设b,5,d～n312321
2b,5，d～又a,1～a,3～a,9～由题意可得（5,d，1）（5，d，9）,（5，3）～解得d,2或3123
10.
n，n,1，2?
等差数列{b}的各项均为正数～?
d,2～b,3～?
T,3n，×
2,n，2n.n1n2
1111141116（理）[解析]
（1）b,S,b,～b,S,（b，b）,～b,S,（b，b，b）,.2113212431233333393327
，n1n,3141
（2）,b,b～?
b,b～?
解b，，n1nnn1n2,3331b,S?
1，n,1，,,41,n2,
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