北京市中考数学专题复习新定义问题.docx

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北京市中考数学专题复习新定义问题

-CAL-FENGHAI-（2020YEAR-YICAI）_JINGBIAN

2020北京市中考数学专题复习---新定义问题

二、重难专题突破

专题九　新定义问题（必考）

类型一　新定义点与函数问题

（8年4考：

2017.29、2015.29、2014.25、2013.25）

1.（2019房山区一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，给出如下定义：

若点P的横、纵坐标均为整数，且到圆心C的距离d≤r，则称P为⊙C的关联整点.

（1）当⊙O的半径r＝2时，在点D（2，－2），E（－1，0），F（0，2）中，为⊙O的关联整点的是　　　　；

（2）若直线y＝－x＋4上存在⊙O的关联整点，且不超过7个，求r的取值范围；

（3）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，若直线y＝－x＋4上存在⊙C的关联整点.求圆心C的横坐标t的取值范围.

第1题图

2.（2019丰台区二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：

若⊙C上存在两个点A，B，使得点P在射线BC上，且∠APB＝∠ACB（0°<∠ACB<180°），则称P为⊙C的依附点.

（1）当⊙O的半径为1时，

①已知点D（－1，0），E（0，－2），F（2.5，0），在点D，E，F中，⊙O的依附点是　　　　；

②点T在直线y＝－x上，若T为⊙O的依附点，求点T的横坐标t的取值范围；

（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点M，N.若线段MN上的所有点都是⊙C的依附点，直接写出圆心C的横坐标m的取值范围.

3.（2019西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM＝QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点.

第3题图①

（1）如图①，已知点A（0，3），B（2，3）.

①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是　　　　，最大值是　　　　；

②在P1（，0），P2（1，4），P3（－3，0）这三个点中，与点O是线段AB的一对平衡点的是　　　　；

（2）如图②，已知⊙O的半径为1，点D的坐标为（5，0）.若点E（x，2）在第一象限，且点D与点E是⊙O的一对平衡点，求x的取值范围；

（3）如图③，已知点H（－3，0），以点O为圆心，OH长为半径画弧交x轴的正半轴于点K.点C（a，b）（其中b≥0）是坐标平面内一个动点，且OC＝5，⊙C是以点C为圆心，半径为2的圆.若上的任意两个点都是⊙C的一对平衡点，直接写出b的取值范围.

第3题图②第3题图③

4.（2019朝阳区二模）M（－1，－），N（1，－）是平面直角坐标系xOy中的两点，若平面内直线MN上方的点P满足：

45°≤∠MPN≤90°，则称点P为线段MN的可视点.

（1）在点A1（0，），A2（，0），A3（0，），A4（2，2）中，线段MN的可视点为　　　　；

（2）若点B是直线y＝x＋上线段MN的可视点，求点B的横坐标t的取值范围；

（3）直线y＝x＋b（b≠0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点，直接写出b的取值范围.

第4题图

类型二　新定义距离与函数问题

（8年2考：

2018.28、2012.25）

1.（2012北京）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：

若|x1－x2|≥|y1－y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1－x2|；

若|x1－x2|＜|y1－y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1－y2|.

例如：

点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1－3|＜|2－5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2－5|＝3，也就是图①中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）.

第1题图①

（1）已知点A（－，0），B为y轴上的一个动点，

①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；

②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；

（2）已知C是直线y＝x＋3上的一个动点，

①如图②，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；

②如图③，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标.

第1题图

2.（2019东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：

若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”.下图中的P，Q两点即为“等距点”.

第2题图

（1）已知点A的坐标为（－3，1），

①在点E（0，3），F（3，－3），G（2，－5）中，为点A的“等距点”的是　　　　；

②若点B在直线y＝x＋6上，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为　　　　；

（2）直线l：

y＝kx－3（k＞0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，

①若T1（－1，t1），T2（4，t2）是直线l上的两点，且T1与T2为“等距点”，求k的值；

②当k＝1时，半径为r的⊙O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M，N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围.

备用图

3.（2018北京）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：

P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d（M，N）.

已知点A（－2，6），B（－2，－2），C（6，－2）.

（1）求d（点O，△ABC）；

（2）记函数y＝kx（－1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G.若d（G，△ABC）＝1，直接写出k的取值范围；

（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1.若d（⊙T，△ABC）＝1，直接写出t的取值范围.

4.（2019石景山一模）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A（0，1），B（－1，0），C（0，－1），D（1，0）.对于图形M，给出如下定义：

P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d（M）.

（1）已知点E（0，4），

①直接写出d（点E）的值；

②直线y＝kx＋4（k≠0）与x轴交于点F，当d（线段EF）取最小值时，求k的取值范围；

（2）⊙T的圆心为T（t，3），半径为1，若d（⊙T）＜6，直接写出t的取值范围.

类型三　新定义图形与函数问题

（仅2016.29考查）

1.（2019石景山区二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q，给出如下定义：

若P，Q为某个三角形的顶点，且边PQ上的高h，满足h＝PQ，则称该三角形为点P，Q的“生成三角形”.

（1）已知点A（4，0）.

①若以线段OA为底的某等腰三角形恰好是点O，A的“生成三角形”，求该三角形的腰长；

②若Rt△ABC是点A，B的“生成三角形”，且点B在x轴上，点C在直线y＝2x－5上，则点B的坐标为　　　　；

（2）⊙T的圆心为点T（2，0），半径为2，点M的坐标为（2，6），N为直线y＝x＋4上一点，若存在Rt△MND，是点M，N的“生成三角形”，且边ND与⊙T有公共点，直接写出点N的横坐标xN的取值范围.

2.（2018平谷区一模）在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.

（1）已知点A（2，0），B（0，2），则以AB为边“坐标菱形”的最小内角为　　　　°；

（2）若点C（1，2），点D在直线y＝5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD表达式；

（3）⊙O的半径为，点P的坐标为（3，m）.若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围.

图①图②

第2题图

类型四　新定义几何问题

（2019.28新考查）

1.（2019北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧.例如，如图①中是△ABC的一条中内弧.

第1题图①第1题图②

（1）如图②，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；

（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t>0）.在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点.

①若t＝，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；

②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围.

2.P是⊙O内一点，过点P作⊙O的任意一条弦AB，我们把PA·PB的值称为点P关于⊙O的“幂值”.

第2题图

（1）⊙O的半径为6，OP＝4.

①如图，若点P恰为弦AB的中点，则点P关于⊙O的“幂值”为　　　　；

②判断当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P关于⊙O的“幂值”的取值范围；

（2）若⊙O的半径为r，OP＝d，请参考

（1）的思路，用含r、d的式子表示点P关于⊙O的“幂值”或“幂值”的取值范围　　　　　　；

（3）在平面直角坐标系xOy中，C（1，0），⊙C的半径为3，已知点M（t，0），N（0，－t），若在直线MN上存在点P，使得点P关于⊙C的“幂值”为6，请直接写出t的取值范围　　　　.

参考答案

类型一　新定义点与函数问题

1.解：

（1）E，F；

【解法提示】∵D（2，－2），E（－1，0），F（0，2），O（0，0），∴OD＝＝2＞2，OE＝1＜2，OF＝2，∴E，F为⊙O的关联整点；

（2）如解图①，当⊙O与直线y＝－x＋4相切时，切点为G（2，2），

则r＝OG＝＝2.

当⊙O过点Q（－2，6）时，

则r＝OQ＝＝2，

结合图象，当直线y＝－x＋4上存在⊙O的关联整点，且不超过7个时，r的取值范围为2≤r＜2；

第1题解图①

（3）如解图②，当⊙C过点M（3，1）时，CM＝2，ME＝1，

则CE＝，此时点C的横坐标t＝3－，

当⊙C′过点N（5，－1）时，

则FC′＝，此时点C′的横坐标t＝5＋，

结合函数图象，圆心C的横坐标t的取值范围为3－≤t≤5＋.

第1题解图②

2.解：

（1）①E、F；

【解法提示】如解图①，根据P为⊙O的依附点，可知：

当r＜OP＜3r（r为⊙O的半径）时，点P为⊙O的依附点．

第2题解图①

∵D（－1，0），E（0，－2），F（2.5，0），

∴OD＝1，OE＝2，OF＝2.5，

∴1＜OE＜3，1＜OF＜3，

∴点E，F是⊙O的依附点，

故答案为：

E、F；

②如解图②，

第2题解图②

当点T在第四象限，OT′＝1时，作T′N⊥x轴于点N，易知N（，0），OT＝3时，作TM⊥x轴于点M，易知M（，0），∴满足条件的点T的横坐标t的取值范围为＜t＜.

当点T在第二象限时，同理可得满足条件的t的取值范围为－＜t＜－，

综上所述，满足条件的t的值的范围为＜t＜或－＜t＜－.

（2）4＜m＜4或－4＜m＜2－2.

【解法提示】如解图③，当点C在点M的右侧时，

第2题解图③

由题意M（2，0），N（0，2），

当CN＝6时，OC＝＝4，此时C（4，0），