8全国大学生数学建模竞赛B0312文档格式.docx
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1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。
此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。
假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？
如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？
2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？
请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。
3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。
如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？
4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？
请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。
问题背景
随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。
这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。
但是在线租赁必须要考虑到顾客的偏爱程度、现有数量、需求预测、购买和分配等因素，针对这些问题我们就有必要建立相应的数学模型进行研究，解决DVD的在线租赁问题！
模型假设:
1、网站允许用户租赁的最长时间为一个月；
2、同一张DVD租给同一个会员两次或两次以上，而且同种DVD不租给同一个会员2张或2张以上；
3、当天返回的DVD，只要订单需要，就在当天邮寄出；
否则网站库储多余的DVD，从而造成网站的浪费；
4、网站订单一天处理一次,收到订单数目相对平稳，只有少许波动；
5、在每个会员密集区设立邮寄专区,负责DVD的回收，寄发，租赁中心和会员之间DVD传递的时间忽略不记；
6、设DVD在传送过程不会出现意外，即都能安全的到达会员和租赁中心。
符号说明:
（j=1，2，3，4，5）；
表示调查1000个会员愿意观看第j号DVD的人数；
表示调查1000个会员愿意观看第j号DVD的比例；
（j=1，2，3,4，5）；
表示10万中至少50%在一个月内能够看到该DVD的人数；
（0——1）变量若第i个会员获得第j号DVD，则记
=1，否则
=0；
i（i=1、2……1000）表示会员数，
j（j=1、2……1000）表示DVD编号数
表示第i个会员对第j号DVD的偏爱程度；
表示第j号DVD的现有量；
模型的建立与求解
问题一：
根据表1给出的5种DVD数据：
C1=200，C2=100，C3=50，C4=25，C5=10；
根据
=
100%；
则
=20%，
=10%，
=5%，
=2.5%，
=1%；
=100000×
×
50%；
=10000
=5000
设事件A=“为某人所获得到该DVD”
事件B1=“某人一个月内租第j号DVD（j=1，2，3，4，5）一次”，则P（B1）=0.4；
事件B2=“某人一个月内租第j号DVD（j=1，2，3，4，5）两次”，则P（B2）=0.6；
显然，B1，B2互不相容，且B1∪B2=
，可用全概率公式求解：
则
（A）=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）=0.4×
+
（其中：
P（A|B1）=
P（A|B2）=
）；
则P1=1.6x1/20000,P2=1.6x2/10000,P3=1.6x3/5000,P4=1.6x4/2500,P5=1.6x5/1000；
要保证至少50%的会员在一个月内能够看到该DVD
则愿意看DVDj的会员在一个月内能够看到DVDj的人数期望满足：
E（C）>
*0.5；
E（C）=
代入数据得：
c1=6250；
c2=3125；
c3=1563；
c4=782；
c5=391，
（2）设需要DVD1为x1,DVD2为x2,DVD3为x3,DVD4为x4,DVD5为x5;
把借碟人分为A.B两类，
A类是60%的人，B类是40%的人
A类每月租碟两次，B类每月租碟一次，根据调查表的比例知：
10万人观看DVD1的人有10万*200/1000=20000；
观看DVD2的人有10万*100/1000=10000；
观看DVD3的人有10万*50/1000=5000；
观看DVD4的人有10万*25/1000=2500；
观看DVD5的人有10万*10/1000=1000，
要保证至少95%的会员三个月内看到该DVD，则需要该DVD碟数为：
3*（2x1*60%+x1*40%）>
=20000*95%，
得出x1>
=3960；
=10000*95%，
得出x2>
=1980；
=5000*95%，
得出x3>
=990；
=2500*95%，
得出x4>
=495；
=1000*95%，
得出x5>
=391；
因为保证至少，所以只能取等号：
x1=3960
x2=1980
x3=990
x4=495
x5=391
问题二：
从100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线定单（表2），对这些DVD进行分配，根据每个会员每次租赁如果能够获得就只能获得3张DVD，如果不能获得就得到0张DVD，可以引进0——1变量表示会员是否获得DVD，从而建立这个问题的0——1线性规划模型，借助lingo8.0数学软件求解。
引入0——1变量
，若第i个会员获得第j号DVD，记
=1；
否则
=0。
根据DVD的服务管理要求，
应该满足两个约束条件：
第一、每次如果能够获得则只能获得3张DVD，即对于j=1，2……100，应有
；
第二、每种DVD都有一定的现有数量，对于1000会员要借该种DVD应该满足
用
表示第I个会员对第j号DVD的偏爱程度，当第I个会员获得第j号DVD时，
*
表示该会员的满意度，否则
*
从表2中会员的在线订单的情况来看，用数字1，2……10表示会员的偏爱程度，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线定单中，于是会员获得的满意度可表示为Z=
。
基于寻求使全体会员订单满意度最大，即是偏爱程度数最小的DVD分配方案，我们寻求的目标方案是使当前需要处理的所有订单的满意度数之和最小的处理方法。
综上，这个问题的0——1规划模型可写作
MinZ=
s.t
i=1,2……1000；
j=1,2……100；
xij={0，1}；
但是在用lingo8.0对表2的处理中发现最小的数字“0”所示的意义和我们所寻求的目标方案有冲突，在综合数字0……10所表示的偏爱程度越来越大，而数字“0”所表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中，我们按程度关系把数字“0”改换成数字“11”，即把表2处理成表2-1：
DVD编号
D001
D002
D003
D004
……
DVD现有量
10
40
15
20
C0001
6
11
C0002
C0003
3
C0004
运用lingo8.0进行最优化求解：
model:
sets:
w/1..1000/:
c;
v/1..100/:
d;
links（w,v）:
a,x;
endsets
min=@sum（links:
a*x）;
@for（v（j）:
@sum（w（i）:
x（i,j））<
=d（j））;
@for（w（i）:
@sum（v（j）:
x（i,j））=3）;
@for（links（i,j）:
@bin（x（i,j）））;
data:
d=10,40,15,20,20,12,30,33,35,25,29,31,28,61,2,28,28,26,31,38,34,29,35,22,29,81,1,19,25,41,29,35,1,40,39,5,106,30,29,2,110,6,15,36,34,11,32,25,2,64,40,26,33,26,61,2,11,38,44,36,27,31,42,44,12,81,10,35,33,30,2,40,15,11,28,24,20,88,9,28,31,8,22,3,70,21,34,4,38,27,39,28,24,15,50,24,36,55,2,40;
a=6111111……
11111111……
1111113……
11111111……
…………;
!
表2-1中的数据；
Enddata
End
将表（2-1）所转换来的数据代入这一模型，用lingo8.0软件求最优化的解，再对xij进行数据处理，得前30位会员所获得DVD如下表（2-2）：
会员号
获得的DVD编号
D008
D041
D098
D006
D044
D062
D032
D050
D080
D007
D018
C0005
D011
D066
D068
C0006
D019
D053
C0007
D026
D081
C0008
D031
D035
D071
C0009
D078
D100
C0010
D055
D085
C0011
D059
D063
D064
C0012
C0013
D021
D096
C0014
D023
D052
D089
C0015
D013
C0016
D010
D084
D097
C0017
D047
D051
D067
C0018
D060
C0019
D086
C0020
D045
D061
C0021
C0022
D038
D057
C0023
D029
D095
C0024
D037
D076
C0025
D009
D069
C0026
D022
C0027
D058
C0028
D034
D082
C0029
D030
C0030
问题三：
假设表2中DVD的现有数量全部为0，经营管理人员决定每种DVD的购买量为未知量
要使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，对于j=1，2……100即要满足约束条件
在问题二的基础上，我们很快得到使一个月内95%的会员得到想看的DVD的最大满意度模型为：
i=1,2……1000；
xij={0，1}；
运用lingo8.0建立模型求解：
@sum（links（i,j）:
（x（i,j）））=0.95*3000;
a=a=6111111……
利用lingo8.0求最优化解，再对所得到的
（j=1、2……100）进行统计得到DVD的分配情况如下：
现在将每种DVD的购买量绘制图表如下：
D005
DVD购买量
21
36
27
38
28
30
33
35
25
D012
D014
D015
D016
D017
D020
29
31
26
D024
D025
D027
D028
34
22
19
41
D033
D036
D039
D040
39
D042
D043
D046
D048
D049
53
32
D054
D056
D065
D070
D072
D073
D074
D075
D077
D079
24
D083
D087
D088
D090
18
D091
D092
D093
D094
D099
23
问题四:
1.一元线性回归预测:
（1）模型的建立：
作为网站的管理人员，需要对ＤＶＤ的需求量和网站的购买量作出预测，这里我们提出了一个线性回归预测模型对未来的需求量和购买量作出预测。
根据第3问的表（3-1）所反映出的购买量与需求量的关系,可假设DVD的购买量为y与需求量为x之间有如下一元线性结构式：
y=a0+a1x+ε（4-1）
（其中a0，a1是两个未知参数，ε为其他随机因素对y的影响，x是非随机可精确观察的，ε是均值为零的随机变量是不可观察的,一般地称由（4-1）确定的模型为一元线性回归模型）
式
（1）两边同时取期望得：
Y=a0+a1X（4-2）
称式（4-2）为Y对X的回归直线方程，在该模型下，现假设该网站有某段时间内有n个历史观测值，该数据可以看作Yi=a0+a1xi+εi（这些样本相互独立但不同分布，i=1，2，……n）的实际抽样值，即样本值。
其中假定Y的方差为常数，a0和a1的回归系数，分别表示直线在Y轴的截距和直线的斜率。
这些可以根据历史观测值用最小二乘法求解，这使得实际数据与该直线的估计之间的误差最小。
给定s个样本或形如（x1,y1）（x2,y2）…....（xs,ys）的数据点，回归系数a0和a1可以用matlab6.5处理计算：
a1=
（4-3）
a0=
（4-4）
其中
是x1,x2,…xs的平均值，而
是y1,y2……ys的平均值。
系数a0和a1通常给出其他情况下复杂回归方程的很好近似。
（2）回归方程的显著性检验：
在实际工作中，事先我们并不能断定y与x之间的线性关系，式（4-1）只是一种假设。
当然，这个假设不是没有根据，我们可以通过专业知识和散点图作粗略判断。
但在求出回归方程之后，还须对这种线性回归方程同实际观测数据拟合的效果进行检验
由式（4-1）可知，当|a1|越大，y随x的变化的趋势就越明显；
反之，当|a1|越小，y随x的变化是趋势就越不明显，特别当a1等于0时，则认为y与x之间不存在线性关系。
当a1不等于0时，则认为y与x之间有线性关系（4-1）。
因此，问题归结为对假设
H0：
a1=0;
H1：
a1≠0
进行检验。
假设H0：
被拒绝，则回归显著，认为y与x存在线性关系，所求的线性回归方程有意义；
否则回归不显著，y与x的关系不能用一元线性回归模型来描述。
对问题3得出需求量和购买量，用matlab软件处理数据加以检验预测是模型的显著性。
在matlab输入:
x=[841841749978878710093909597851028494102911001169610110993891018783979710087918210997919487871191049390106949488919410791989297991087785103941031051089810590961051019510685829086889982989977728490789573949810794939010278951018086
]'
;
X=[ones（100,1）x];
Y=[21362738212830333525293128312738282631383429352229312619254129353131393521302928533526353425322532344026332631323128343627313234323130353330363425312824203031282918221933213424242739282423402436321835]'
[b,bint,r,rint,stats]=regress（Y,X）;
b,bint,stats;
rcoplot（r,rint）;
z=b
（1）+b
（2）*x
plot（x,Y,'
k+'
x,z,'
r'
）
得到回归分析及检验结果：
b=
14.1247
0.1662
bint=
7.395120.8543
0.09660.2358
stats=
0.186422.45390.0000
即a0’=14.1247；
a1’=0.1662；
a0’的置信区间为[7.3951，20.8543]，a1’的置信区间为[0.0966，0.2358]；
r^2=0.1864,F=22.4539,p=0.0000,p<
0.05可知回归模型y=14.1247+0.16
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