直线与平面平面与平面垂直的性质.docx
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直线与平面平面与平面垂直的性质
直线与平面、平面与平面垂直的性质
[学习目标] 1.理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理,并能用文字、符号和图形语言描述定理.2.会用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题.3.理解“平行”与“垂直”之间的相互转化.
知识点一 直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
⇒a∥b
图形语言
作用
①线面垂直⇒线线平行
②作平行线
思考
(1)垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗?
(2)过一点有几条直线与已知平面垂直?
答
(1)共面.由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的,故能确定一个平面.
(2)有且仅有一条.假设过一点有两条直线与已知平面垂直,由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行,即无公共点,这与过同一点相矛盾,故只有一条直线.
知识点二 平面与平面垂直的性质定理
文字语言
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
符号语言
⇒a⊥β
图形语言
作用
①面面垂直⇒线面垂直
②作面的垂线
思考
(1)如果α⊥β,则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗?
(2)如果α⊥β,过β内的任意一点作α与β交线的垂线,则这条直线必垂直于α吗?
答
(1)正确.若设α∩β=l,a⊂α,b⊂β,b⊥l,则a⊥b,故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线.
(2)错误.垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直,否则不垂直.
题型一 直线与平面垂直的性质及应用
例1 如图,正方体A1B1C1D1-ABCD中,EF与异面直线AC、A1D都垂直相交.
求证:
EF∥BD1.
证明 如图所示,
连接AB1、B1D1、B1C、BD,
∵DD1⊥平面ABCD,
AC⊂平面ABCD,
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD,DD1∩BD=D,
∴AC⊥平面BDD1B1,
又BD1⊂平面BDD1B1,
∴AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C,
又AC∩B1C=C,
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D,A1D∥B1C,∴EF⊥B1C.
又∵EF⊥AC,AC∩B1C=C,
∴EF⊥平面AB1C,∴EF∥BD1.
跟踪训练1 已知α∩β=AB,PQ⊥α于点Q,PO⊥β于点O,OR⊥α于点R.
求证:
QR⊥AB.
证明 如图,因为α∩β=AB,
PO⊥β于点O,所以PO⊥AB.
因为PQ⊥α于点Q,所以PQ⊥AB.
因为PO∩PQ=P,
所以AB⊥平面PQO.
因为OR⊥α于点R,所以PQ∥OR.
因为PQ与OR确定平面PQRO,
QR⊂平面PQRO,AB⊥平面PQRO,
所以AB⊥QR.
题型二 平面与平面垂直的性质及应用
例2 如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.
(1)求证:
VB∥平面MOC;
(2)求证:
平面MOC⊥平面VAB;
(3)求三棱锥V-ABC的体积.
(1)证明 ∵O,M分别为AB,VA的中点,
∴OM∥VB.
∵VB⊄平面MOC,OM⊂平面MOC,
∴VB∥平面MOC.
(2)证明 ∵AC=BC,O为AB的中点,∴OC⊥AB.
又∵平面VAB⊥平面ABC,且平面VAB∩平面ABC=AB,OC⊂平面ABC,∴OC⊥平面VAB.
∵OC⊂平面MOC,∴平面MOC⊥平面VAB.
(3)解 在等腰直角△ACB中,AC=BC=,
∴AB=2,OC=1,
∴S△VAB=AB2=.
∵OC⊥平面VAB,
∴VC-VAB=OC·S△VAB=×1×=,
∴VV-ABC=VC-VAB=.
跟踪训练2 如图,在三棱锥S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,过点A作AF⊥SB,垂足为F.求证:
BC⊥SA.
证明 因为平面SAB⊥平面SBC,平面SAB∩平面SBC=SB,
AF⊂平面SAB,AF⊥SB,
所以AF⊥平面SBC.
又因为BC⊂平面SBC,所以AF⊥BC.
因为AB⊥BC,AF∩AB=A,
所以BC⊥平面SAB.
又因为SA⊂平面SAB,所以BC⊥SA.
题型三 线线、线面、面面垂直的综合应用
例3 如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2,AD=,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3.
(1)证明:
BE⊥平面BB1C1C;
(2)求点B1到平面EA1C1的距离.
(1)证明 过B作CD的垂线交CD于F,
则BF=AD=,EF=AB-DE=1,FC=2.
在Rt△BFE中,BE=.
在Rt△CFB中,BC=.
在△BEC中,因为BE2+BC2=9=EC2,故BE⊥BC.
由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1,
又BB1∩BC=B,所以BE⊥平面BB1C1C.
(2)解 三棱锥E-A1B1C1的体积
V=AA1·=.
在Rt△A1D1C1中,A1C1==3.
同理,EC1==3,
A1E==2.
故=3.
设点B1到平面A1C1E的距离为d,
则三棱锥B1-A1C1E的体积
V=·d·=d,
从而d=,d=.
即点B1到平面EA1C1的距离为.
跟踪训练3 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,∠DAB=60°,侧面PAD为等边三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)求证:
AD⊥PB;
(2)若E为BC边上的中点,能否在PC棱上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?
并证明你的结论.
(1)证明 设G为AD的中点,连接PG,BG,如图.
因为△PAD为等边三角形,
所以PG⊥AD.
在菱形ABCD中,∠DAB=60°,
G为AD的中点,所以BG⊥AD.
又因为BG∩PG=G,所以AD⊥平面PGB.
因为PB⊂平面PGB,所以AD⊥PB.
(2)解 当F为PC的中点时,满足平面DEF⊥平面ABCD.
如图,设F为PC的中点,则在△PBC中,EF∥PB.
在菱形ABCD中,GB∥DE,
而EF⊂平面DEF,DE⊂平面DEF,EF∩DE=E,
所以平面DEF∥平面PGB.
由
(1),得PG⊥平面ABCD,而PG⊂平面PGB,
所以平面PGB⊥平面ABCD.
所以平面DEF⊥平面ABCD.
条件开放型
例4 如图,在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中,当底面四边形ABCD满足什么条件时,有A1C⊥B1D1?
(注:
写出一个你认为正确的条件即可,不必考虑所有可能的情形)
分析 →→
解 因为BD∥B1D1,所以要使A1C⊥B1D1,需A1C⊥BD.
又因为A1A⊥平面ABCD,A1A⊥BD,A1A∩A1C=A1,
所以BD⊥平面A1AC.
因为AC⊂平面A1AC,所以AC⊥BD.
由以上分析,知要使A1C⊥B1D1,需使AC⊥BD或任何能推导出AC⊥BD的条件,如四边形ABCD是正方形、菱形等.
1.在空间中,下列命题正确的是( )
A.垂直于同一条直线的两直线平行B.平行于同一条直线的两个平面平行
C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行
2.关于直线m,n与平面α,β,有下列四个命题:
①若m∥α,n∥β,且α∥β,则m∥n;
②若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m⊥n;
③若m⊥α,n∥β,且α∥β,则m⊥n;
④若m∥α,n⊥β,且α⊥β,则m∥n.
其中真命题的序号是( )
A.①②B.③④C.①④D.②③
3.若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则( )
A.α∥γB.α⊥γ
C.α与γ相交但不垂直D.以上都有可能
4.已知a、b为直线,α、β为平面.在下列四个命题中,正确的命题是________.
①若a⊥α,b⊥α,则a∥b;
②若a∥α,b∥α,则a∥b;
③若a⊥α,a⊥β,则α∥β;
④若α∥b,β∥b,则α∥β.
5.如图,在三棱锥P-ABC内,侧面PAC⊥底面ABC,且∠PAC=90°,PA=1,AB=2,则PB=________.
一、选择题
1.在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点E,作EF⊥A1B1于F,则EF与平面A1B1C1D1的关系是( )
A.平行B.EF⊂平面A1B1C1D1
C.相交但不垂直D.相交且垂直
2.如图所示,三棱锥P-ABC中,平面ABC⊥平面PAB,PA=PB,AD=DB,则( )
A.PD⊂平面ABCB.PD⊥平面ABC
C.PD与平面ABC相交但不垂直D.PD∥平面ABC
3.如图所示,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则点C1在底面ABC上的投影H必在( )
A.直线AB上B.直线BC上
C.直线AC上D.△ABC内部
4.如图,正方形SG1G2G3中,E、F分别是G1G2、G2G3的中点,现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体,使G1、G2、G3重合,重合后的点记为G.给出下列关系:
①SG⊥平面EFG;②SE⊥平面EFG;③GF⊥SE;④EF⊥平面SEG.其中成立的有( )
A.①与②B.①与③C.②与③D.③与④
5.PA垂直于以AB为直径的圆所在平面,C为圆上异于A,B的任意一点,则下列关系不正确的是( )
A.PA⊥BCB.BC⊥平面PAC
C.AC⊥PBD.PC⊥BC
6.三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,O是顶点P在底面ABC上的射影,则( )
A.S△ABC=S△PBC+S△OBCB.S=S△OBC·S△ABC
C.2S△PBC=S△OBC+S△ABCD.2S△OBC=S△PBC+S△ABC
7.如图,四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD,将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′-BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,则下列结论正确的是( )
A.A′C⊥BDB.∠BA′C=90°
C.CA′与平面A′BD所成的角为30°D.四面体A′-BCD的体积为
二、填空题
8.设两个平面α,β,直线l,下列三个条件:
①l⊥α;②l∥β;③α⊥β.若以其中两个作为前提条件,另一个作为结论,则可构成三个命题,这三个命题中,正确命题的个数为_______.
9.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BC1的中点,则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为________.
10.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且AB=6,BC=2,则棱锥O-ABCD的体积为________.
11.如图所示,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.若CD=2,平面ABCD⊥平面DCEF,则线段MN的长等于________.
三、解答题
12.如图所示,四棱锥P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.
(1)求证:
AP∥平面BEF;
(2)求证:
BE⊥平面PAC.
13.在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.
(1)若AC⊥BC,证明:
直线BC⊥平面ACC1A1;
(2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC?
请证明你的结论.
当堂检测答案
1.答案 D
解析 A项中垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交;B项中平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交;C项中垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交;D项正确.
2.答案 D