整理专升本高等数学.docx

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整理专升本高等数学

武汉工程大学专升本《高等数学》考试大纲

一、考试的基本要求

较系统地理解和掌握高等数学的基本概念、基本理论和方法，具有一定的抽象思维、逻辑推理、运算能力以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。

二、考试方法、考试时间。

考试方法为闭卷笔试；考试时间为120分钟。

三、题型比例

填空题占20%；选择题占20%；解答题（包括证明题）占60%

四、试卷考试内容、考试要求

1、一元函数、极限、连续

考试内容：

一元函数概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数，基本初等函数的性质及图形，建立函数关系，数列、函数极限的定义及性质，函数左、右极限，无穷小、无穷大概念及关系，无穷小的性质及比较，极限四则运算，极限存在的两个准则：

单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限：

，函数连续性，间断点，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质

考试要求：

（1）理解函数的概念，会求函数的定义域、值域。

（2）理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念，了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

（3）掌握基本初等函数的性质及图形。

（4）理解极限存在与左、右极限间的关系。

（5）掌握极限的性质及四则运算法则。

（6）了解极限存在的两个准则，会利用两个重要极限求极限。

（7）理解无穷大、无穷小的概念，掌握无穷小的比较方法并会用等价无穷小求极限。

（8）理解函数连续性概念（含左、右连续），会求函数间断点。

（9）掌握连续函数性质、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。

2、一元函数微分学

考试内容：

导数的概念、导数的几何意义、函数可导性与连续性的关系，平面曲线的切线和法线，基本初等函数的导数，导数的四则运算，复合函数、反函数、隐函数和参数方程所确定函数的微分法、高阶导数的概念，某些简单函数的n阶导数，微分的概念，微分的运算法则，一阶微分形式的不变性，罗尔定理、拉格朗日中值定理、洛必达法则，函数极值，最大（小）值求法及简单应用，函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线

考试要求：

（1）理解导数、微分的概念及关系，理解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程，理解可导性与连续性间的关系。

（2）掌握基本初等函数求导公式，导数的四则运算法则以及复合函数求导法则。

了解一阶微分形式不变性，会求函数的微分。

（3）了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。

（4）会求隐函数、参数方程所确定的一、二阶导数。

（5）理解并掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理。

（6）理解函数极值概念，掌握用导数判断函数单调性和求函数极值的方法。

掌握函数最大（小）值的求法及简单应用。

（7）会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，了解函数图形的水平、铅直渐近线。

（8）掌握洛必达法则求未定式极限的方法。

3、一元函数的积分学

考试内容：

原函数和不定积分的概念、不定积分的基本公式、性质、定积分的概念及基本性质，变上限积分定义的函数及导数，牛顿—莱布尼茨公式，不定积分、定积分的换元法及分部积分法，反常积分的概念、计算，定积分的应用

考试要求：

（1）理解原函数，不定积分、定积分的概念、性质。

（2）掌握不定积分的基本公式、不定积分的换元法和分部积分法。

会求简单有理函数，三角函数有理式和可化为有理函数的无理函数的积分。

（3）理解变上限积分函数的定义，会求其导数，掌握牛顿—莱布尼茨公式。

掌握定积分的换元法和分部积分法。

（4）了解反常积分的概念，并会计算一些简单函数的反常积分。

（5）会用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积。

4、向量代数和空间解析几何

考试内容：

向量的概念，向量线性运算、数量积和向量积的概念和运算，两向量的夹角，向量的坐标表达式及运算、单位向量、方向余弦，两向量平行及垂直的条件，平面方程、直线方程，平面与直线、直线与直线之间的夹角以及平行、垂直的条件，点到平面、点到直线的距离

考试要求：

（1）理解空间直角坐标，理解向量的概念及表示形式。

（2）掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积）及其性质。

（3）掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式、掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

（4）掌握平面、直线方程。

会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角。

5、多元函数微分学

考试内容：

多元函数的概念、二元函数的几何意义，二元函数极限，连续的概念，多元函数偏导数、全微分概念与计算；多元复合函数求导、隐函数求导法，二阶偏导数，空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，二元函数的极值、条件极值问题与拉格朗日乘数法

考试要求：

（1）理解多元函数概念。

（2）了解二元函数极限连续性概念及有界闭区域上连续函数的性质。

（3）理解多元函数偏导和全微分概念，了解全微分存在的充分条件。

（4）掌握多元复合函数偏导的求法，会求复合函数的二阶偏导数。

（5）会求隐函数的偏导数。

（6）了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线，并会求方程。

（7）理解多元函数极值和条件极值的概念，了解二元函数极值存在的充

分条件，会求二元函数的极值，了解条件极值的拉格朗日乘数法。

6、多元函数的积分学

考试内容：

二重积分概念、性质、计算及应用

考试要求：

（1）理解二重积分的概念，了解重积分的性质。

（2）掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法。

7、无穷级数

考试内容：

常数项级数收敛、发散的概念，收敛级数的性质，正项级数收敛性的一般判别原则，比较审敛法，比值审敛法，交错级数审敛法，绝对收敛与条件收敛，函数项级数一般概念，幂级数收敛半径、收敛域，幂级数的运算性质，函数展开成幂级数

考试要求：

（1）理解无穷级数收敛、发散以及级数和的概念，掌握无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。

（2）掌握几何级数和P-级数的收敛性。

（3）掌握正项级数的比较、比值审敛法。

（4）了解交错级数的莱布尼兹定理。

（5）了解无穷级数的绝对收敛、条件收敛概念及关系。

（6）了解函数项级数的收敛概念。

（7）掌握幂级数收敛域的求法。

（8）了解幂级数在收敛区间的基本性质。

（9）会利用的麦克劳林展开式将一些简单函数间接展开成幂级数。

8、常微分方程

考试内容：

常微分方程基本概念，可分离变量的微分方程，齐次微分方程，一阶线性微分方程，可降阶的高阶方程

考试要求：

（1）了解微分方程阶、解、通解、初始条件和特解等概念。

（2）掌握变量可分离及一阶线性方程的解法。

（3）会解齐次微分方程。

（4）会用降阶法解三种可降阶的方程。

五、考试内容大致比例

一元函数微积分学60%

向量代数与空间解析几何5%

多元函数微积分学20%

无穷级数5%

常微分方程10%

六、试题难易度大致比例

容易题30%

中等难度题50%

较难题20%

七、参考教材

1．同济大学应用数学系编．高等数学（本科少学时类型）（第二版）（上、下）．高等教育出版社，2004．

2．盛祥耀、居余马等编．高等数学（第二版）（上、下）．高等教育出版社，2004．

武汉工程大学2012年专升本

《高等数学》考试样卷

一、填空题：

1~5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．

1．若则．

2．．

3．设在处取得极小值，则=．

4．设向量，则．

5．．

二、选择题：

6~10小题，每小题4分，共20分．在每小题给出的四个选项中,

只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．

6．函数的定义域是[]

（A）；（B）；

（C）；（D）.

7．曲线上点处的切线斜率为，则点的坐标是[]

（A）；（B）；（C）；（D）

8．设，则等于[]

（A）；（B）；

（C）；（D）.

9．下列函数在给定区间上满足拉格朗日中值定理的是[]

（A）A，；（B），；

（C），；（D），.

10．无穷级数[]

（A）绝对收敛；（B）条件收敛；

（C）发散；（D）敛散性不能确定.

三、解答题：

11~18小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

11．（本题满分7分）

计算定积分．

12．（本题满分7分）

设,其中在处连续，且，求．

13．（本题满分8分）

求抛物线及其在点和处的切线所围成的平面图形的面积．

14．（本题满分8分）

求微分方程的通解．

15．（本题满分8分）

计算，其中是以，，为顶点的三角形闭区域．

16．（本题满分8分）

求二元函数的极值．

17．（本题满分7分）

求微分方程的通解．

18．（本题满分7分）

设在上连续，且，，

证明：

（1）；

（2）方程在内有且仅有一个实根。

武汉工程大学2012年专升本

《高等数学》考试样卷参考答案

一、填空题：

1~5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．

1．若则．

2．．

3．设在处取得极小值，则=．

4．设向量，则．

5．．

二、选择题：

6~10小题，每小题4分，共20分．在每小题给出的四个选项中,

只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．

6．函数的定义域是[C]

（A）；（B）；

（C）；（D）．

7．曲线上点处的切线斜率为，则点的坐标是[B]

（A）；（B）；（C）；（D）．

8．设，则等于[D]

（A）；（B）；

（C）；（D）。

9．下列函数在给定区间上满足拉格朗日中值定理的是[D]

（A）A，；（B），；

（C），；（D），.

10．无穷级数[A]

（A）绝对收敛；（B）条件收敛；

（C）发散；（D）敛散性不能确定．

三、解答题：

11~17小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

11．（本题满分7分）

计算定积分．

解：

原式=

==

12．（本题满分7分）

设,其中在处连续，且，求．

解：

13．（本题满分8分）

求抛物线及其在点和处的切线所围成的平面图形的面积．

解：

在处的切线方程为

在处的切线方程为

两条切线的交点为

从而所求平面图形的面积可表示为

14．（本题满分8分）

求微分方程的通解．

解：

原方程可变形为

则

　　。

15．（本题满分8分）

计算，其中是以，，为顶点的三角形闭区域．

解：

原式

16．（本题满分8分）

求二元函数的极值．

解：

先解方程组

可得驻点

分别求二阶偏导数：

在点处，，

报告内容有：

建设项目基本情况、建设项目所在地自然环境社会环境简况、环境质量状况、主要环境保护目标、评价适用标准、工程内容及规模、与本项目有关的原有污染情况及主要环境问题、建设项目工程分析、项目主要污染物产生及预计排放情况、环境影响分析、建设项目拟采取的防治措施及预期治理效果、结论与建议等。

在点处有极小值．

17．（本题满分7分）

专项规划工业、农业、畜牧业、林业、能源、水利、交通、城市建设、旅游、自然资源开发有关的专项规划。

环境影响报告书求微分方程的通解．

解：

原方程可变形为

则微分方程的通解为

考试情况分析

（3）环境影响评价中应用环境标准的原则。

18．（本题满分7分）

设在上连续，且，，证明：

（1）；

（2）方程在内有且仅有一个实根。

7.作出评价结论证明：

1．依题意有：

3）按行业分。

国家污染物排放标准分为跨行业综合性排放标准和行业性排放标准。

（1）规划实施后实际产生的环境影响与环境影响评价文件预测可能产生的环境影响之间的比较分析和评估；2．因为

环境影