数学实验报告利用MALTAB计算非线性方程近似解Word格式.docx
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[i,q]=iterate（150000,1000,15,2,0,1,100,10^-6）;
公式表意为：
总贷款量=200000-50000=150000；
每月还款100元；
还款期限15年；
还款方式为按月还款；
迭代区间设定为[0,1]；
最大迭代次数为100次；
精度要求为10^-6；
最终结果为：
迭代次数：
45；
使用时间0.0035705s；
利率为0.0089457。
（2）公式
由于函数中出现q在分母位置的情况，故不能将迭代区间设为[0,1]，为了能够更好地比较各种方法，因此，这里设置一端为1，一端尽量小。
经测试，当设置值比
还小时，matlab自动认为其为0，故取
。
所得结果如下:
20
使用时间不稳定，最长使用0.0066s，最短使用0.0014s。
利率为0.0089460
（3）使用自己编写的牛顿迭代公式
按照书中给出的牛顿迭代公式，进行迭代。
迭代次数随初值的设定而不断变化，初值的设置要求更加复杂，不能达到
这样小。
这里仅实验了
的情况，事实上，此时的迭代次数已经相当大，用时也不短。
具体数据如下：
33703
使用时间：
1.7434996s
利率为0.0088815
（4）简要小结
从以上三种计算方法可以看出，各种计算方法的结果均相差不多，可见各种方法的正确性都是有保障的。
与此同时不同的方法有着自己不同的特性：
a.由于涉及公式的使用，第二、三种方法都出现了初值设置的问题。
当然这个问题视具体情况而定，不能一概而论；
b.本次实验中发现，前两种办法在给定区域较广的情况下能够较快地收敛到所求的位置，而牛顿法使用的时间反而较多。
为了进一步确认，我将牛顿法的迭代初值置为1，此时共迭代395次，使用时间为0.0251168。
可以发现仍旧较大。
可见自己编写的迭代方法距matlab所用的混合方法相差较远。
2、第二问
（1）月付款
仍旧使用三种方法并进行比较
二次迭代
fzero
自编牛顿法
用时
0.088913
0.005884
0.022
迭代次数
47
23
170
结果
0.0082844
0.0082845
0.008286
（2）年付款
0.009920
0.003590
0.018
44
23
53
0.009241
0.009239
0.009245
从实验结果可以看出，各种方法所得的最终数据基本一致。
由题目假设：
年利率=月利率*12
得到第一中按揭方式的年利率约为0.0，比第二种方法大。
故第二家银行开出的条件较优惠。
3、总结
a.二分迭代和牛顿迭代法通常都能通过迭代收敛得到所要的结果；
b.使用Matlab自带的fzero通常能够更快地得到结果，相比之下牛顿迭代法所用时间较长；
㈤程序清单
1、二重迭代
（1）计算剩余本金的函数
functionleft=Return（All,repay,interest）
All=200000-50000;
repay=1000;
left=All;
fori=1:
15*12
end
（2）主迭代函数
function[i,q]=iterate（All,repay,time,YearOrMonth,a,b,n,tol）
interest=（a+b）/2;
i=0;
diff=Inf;
before=Inf;
while（i<
n&
&
diff>
tol）
left=Return（All,repay,time,YearOrMonth,interest）;
if（left>
0）
b=interest;
interest=（a+interest）/2;
else
a=interest;
interest=（b+interest）/2;
end
i=i+1;
diff=abs（before-left）;
before=left;
q=interest;
2、fzero
（1）函数
functiony=Function（x）
A=500000;
P=45000;
n=20;
y=A*（1+x）^n-P*（（1+x）^n-1）/x;
（2）调用方法
tic;
[q,fv,ef,out]=fzero（@Function,[1*10^-15,1]）
time=toc;
3、自编牛顿迭代法
（1）函数的导数
functiony=DeltaFunction（x）
y=A*n*（1+x）^（n-1）-P*（1+x）^（n-2）*（（n-2）*x-1）/x^2;
（2）迭代主方法
x0=1;
n=500000;
tol=1e-6;
x=x0;
i=1;
diff=inf;
while（abs（diff）>
tol&
i<
n）
Fxk=Function（x）;
FDxk=DeltaFunction（x）;
x=x-Fxk/FDxk;
diff=Function（x）-Fxk;
二、气缸阀门
由气缸控制的门关闭状态如图所示。
门宽为a，门枢在H处，与H相距b处有一门销，通过活塞与圆柱形气缸相连。
气缸长
，缸内气体压强为
用力F推开门时，气缸绝热压缩，压强增大。
已知绝热方程为
试通过力矩平衡求在一定力作用下开门角度。
㈡方法与公式
1、MATLAB自带fzero（）函数
[x,fv,ef,out]=fzero（@valve,0）;
2、牛顿迭代法
3、二分迭代法
4、建模
综上，有：
y=F*a/b-pi*r^2*（l0/（l0-x））^Gamma*p0;
㈢结果与分析
1、
取初值为0
得到结果：
c=0.
alpha=0.7016288=
用时0.0036654s
c=0.4515091
alpha=0.9979021=29.487324
用时0.0808827s
c=0.0539551
alpha=0.9535557=29.284102
用时0.0021362s
4、总结
这道题比较简单，计算过程中没有涉及过多的问题。
不过有关建模，有一个问题值得讨论，即阀门收到的大气压强。
事实上，大气压强大小约为
，远大于题目中阀门的内压强，这样算来题目所给参数有误。
所以只好认为题目所给参数已经考虑了大气压。
有关各种方法的比较如下：
a.三种方法所得结果相差无几，可见结果的正确性；
b.时间使用上与第一题的实验结果基本一致——使用Matlab自带fzero和二分迭代两种方法所用时间相差不大，两者都好于自己编写的牛顿迭代法。
㈣程序清单
1、fzero（）
functiony=valve（x）
a=0.8;
b=0.25;
r=0.04;
l0=0.5;
p0=10^4;
Gamma=1.4;
F=25;
（2）调用脚本
alpha=atan（x/b）;
angel=alpha/pi*180;
（1）函数与fzero方法一致
（2）函数的导数
functiony=Deltavalve（x）
y=-9*pi*r^2*（l0/（l0-x））^Gamma*p0/（l0-x）;
（3）迭代主方法
x0=0;
Fxk=valve（x）;
FDxk=Deltavalve（x）;
diff=valve（x）-Fxk;
n=500;
tol=1e-6;
x0=0;
xx=l0;
x=（x0+xx）/2;
deltax=valve（x）;
if（deltax<
xx=x;
x=（x0+x）/2;
x0=x;
x=（xx+x）/2;
diff=abs（before-x）;
before=x;
三、Feigenbaum
给定一迭代公式，计算序列，分析其收敛性。
给定不同的参数值，观察是否由混沌现象出现，并找到前几个分叉点，观察分叉点的极限趋势是否符合Feigenbaum常数解释的规律。
1、为判断相应a的收敛性，对不同的a值进行迭代（给定一个b值），并记录迭代结果，做出图像，从而得出结论。
2、为说明b的任意性，借助书中所给的有关混沌的示例，将其进行改写，并重写迭代函数，得到如下迭代过程
forbb=b
（1）:
b（3）:
b
（2）
kr=kr+1;
y（kr,1）=feval（iter_fun,x0,a,bb）;
fori=2:
n
（2）
y（kr,i）=feval（iter_fun,y（kr,i-1）,a,bb）;
3、迭代函数
4、为判断是否有混沌现象以及确定分叉点，将上述二重迭代过程的对象由b转为a，即给定一个b值，观察a的变化对迭代终值的影响即可。
1、a固定
（1）a=5
有图可以看出，当迭代次数足够大时，值趋于稳定，收敛到一点，这一点的值约为0.3218876。
从图中可以看出，a=5时，对任意b>
0，{
}收敛，且由图中趋势以及函数的形式可以看出，b增大后，{
}将仍旧收敛，而且收敛值逐渐减小，趋近于0。
（2）a=11
由图可以看出，当a=11时，迭代不再收敛到一个点，而是有两个收敛的子序列，分别趋于0.6和0.9。
从图中可以看出，当a=11时，对任意b，{
}均收敛到两个子列中，且两个子列的极限值随着b的增加不断减小，趋于0。
（3）a=15
实验结果表示，我们已经已经无法从图中准确地判断迭代是否收敛。
大体上看并不收敛。
至于具体情况，需要进一步分析。
实验结果表示，当a=15时，对任意b，已经不存在确定收敛子列。
2、观察分叉与混沌
将a设定在一个范围内变动，固定b的值。
从图中可以看出，实验出现了明显的分岔与混沌的现象，通过图像以及数据结果，我们可以大体上判断分岔点的位置。
改变b值继续观察。
可以发现，b的更改对实验结果没有本质的影响，从坐标上看我们发现迭代值发生了变化，但是它们所构成的图像相差无几。
3、计算分岔点
由
得
令
得到
由稳定性有
联立两个式子，进行化简，令t=b*x
最终得到
exp（-x
（1））+1/（x
（2）*（1-x
（1）））=0
exp（x
（1）/（1-x
（1）））-（x
（1）-1）/x
（2）=0
其中x
（1）=t=b*x,x
（2）=a。
使用fsolve方法求解，得到：
x*b=1.3196870
=7.9933554
再由y’=-1，同理得到
x*b=0.
=12.487370
对于更高阶的分岔点，由于计算非常复杂，这里没有实际计算，仅从图中大致读出其值。
=14.30
=14.62
4、观察是否符合规律
n=2时，A=2.8593
n=3时，A=5.5969
有向4.6692收敛的态势。
5、小结
本道题应当说是这次作业中最复杂的一道，题目意思明确，但是实验过程中则需测试相当多的数据。
另一方面，在计算分岔点时，由于题目所给迭代函数为超越函数，因此计算很复杂，但是这一项本身就又需要用到刚刚学习的非线性方程求解。
当然，这也很好地锻炼了我们解决实际问题的能力。
总体来说收获较大。
1、迭代函数
functiony=iter（x,a,b）
y=a*x*exp（-b*x）;
2、b为变量的迭代
functionchaos1（iter_fun,a,b,n）
x0=1;
kr=0;
plot（[b
（1）:
b
（2）],y（:
n
（1）+1:
n
（2））,'
k.'
）;
3、a为变量的迭代
functionchaos（iter_fun,a,b,n）
foraa=a
（1）:
a（3）:
a
（2）
y（kr,1）=feval（iter_fun,x0,aa,b）;
y（kr,i）=feval（iter_fun,y（kr,i-1）,aa,b）;
plot（[a
（1）:
a
（2）],y（:
4、调用脚本
chaos（@iter,[1,17,0.02],5,[100,200]）;
四、体验与收获
这是本学期数学实验的第四次作业，总体来说不太顺利。
事实上，这次作业的三道题里，我每一道题都在题目的理解上花了不少时间，尤其是第一题有关按揭的地方。
不过现在想来，数学实验应当就是这样一门应用类课程，它需要我们以实际情况为背景正确地进行建模，然后才能做进一步的分析和计算。
总体来说有如下收获：
1、学习了非线性方程组的求解方法；
2、初步了解了各种算法内容，并在一定程度上学会了灵活使用；
3、对数学实验这门课程有了进一步的认识；
4、进一步熟悉了Matlab的调试功能；
仅供个人用于学习、研究；
不得用于商业用途。
notforcommercialuse.
Nurfü
rdenpersö
nlichenfü
rStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.
Pourl'
é
tudeetlarechercheuniquementà
desfinspersonnelles;
pasà
desfinscommerciales.
толькодлялюдей,которыеиспользуютсядляобучения,исследованийинедолжныиспользоватьсявкоммерческихцелях.
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