最新高三数学一轮复习第二篇函数及其应用第6节二次函数与幂函数基丛点练理1Word文档格式.docx
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函数f(x)=x2-2x+2在[1,b]上递增,
由已知条件
即
解得b=2.
3.幂函数y=(m∈Z)的图象如图所示,则m的值为( C )
(A)0(B)1
(C)2(D)3
因为y=(m∈Z)的图象与坐标轴没有交点,
所以m2-4m<
0,即0<
m<
4,
又因为函数的图象关于y轴对称,且m∈Z,
所以m2-4m为偶数,因此m=2.
4.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么( A )
(A)f
(2)<
f
(1)<
f(4)(B)f
(1)<
f
(2)<
f(4)
(C)f
(2)<
f(4)<
f
(1)(D)f(4)<
f
(1)
因为f(2+t)=f(2-t),
所以f(x)的图象关于x=2对称,又开口向上.
所以f(x)在[2,+∞)上单调递增,且f
(1)=f(3).
所以f
(2)<
f(3)<
f(4),即f
(2)<
f(4).
5.(20xx南昌二中高三月考)a为参数,函数f(x)=(x+-(x-a)
·
38-x-3a是偶函数,则a可取值的集合是( C )
(A){0,5}(B){-2,5}(C){-5,2}(D){1,2015}
因为函数f(x)=(x+a)·
-(x-a)·
38-x-3a是偶函数,所以f(x)=f(-x),
所以f(x)=(x+a)·
38-x-3a=f(-x)=(-x+a)·
+(x+a)
38+x-3a,利用系数恒等关系可知8-3a=a2-2.解方程得a=2或-5,故
选C.
6.函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a的取值范围是( D )
(A)[-3,0)(B)(-∞,-3]
(C)[-2,0](D)[-3,0]
当a=0时,f(x)=-3x+1在[-1,+∞)上递减,
故a=0时满足题意.
当a≠0时,要使f(x)在[-1,+∞)上是减函数,
则有
解得-3≤a<
0.
综上可知a的取值范围是[-3,0].
7.若(a+1<
(3-2a,则a的取值范围是( B )
(A)(,+∞)(B)(,)
(C)(1,)(D)(,1)
因为f(x)=的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)上是减函数,
所以原不等式等价于
即所以<
a<
.
8.(20xx合肥模拟)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)= .
由题意知解得
所以f(x)=x2+2x+1.
答案:
x2+2x+1
9.若y=是偶函数,且在(0,+∞)内是减函数,则整数a的值是 .
因为函数在(0,+∞)内是减函数,
所以a2-4a-5<
所以-1<
5,则整数a=0,1,2,3,4.
又函数是偶函数,
所以a2-4a-5是偶数,
所以整数a的值可以是1,3.
1或3
10.设函数y=x2-2x,x∈[-2,a],求函数的最小值g(a).
解:
因为函数y=x2-2x=(x-1)2-1.
所以对称轴为直线x=1,而x=1不一定在区间[-2,a]内,应进行讨论.
当-2<
1时,函数在[-2,a]上单调递减.
则当x=a时,ymin=a2-2a;
当a≥1时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,
则当x=1时,ymin=-1.
综上,g(a)=
能力提升练((时间:
15分钟)
11.设abc>
0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是( D )
对于选项A,C都有
所以abc<
0,故排除A,C;
对于选项B,D,都有->
0,
即ab<
0,则当c<
0时,abc>
0.选D.
12.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1,给出下面四个结论:
①b2>
4ac;
②2a-b=1;
③a-b+c=0;
④5a<
b.
其中正确的是( B )
(A)②④(B)①④(C)②③(D)①③
因为图象与x轴交于两点,
所以b2-4ac>
即b2>
4ac,①正确;
对称轴为x=-1,
即-=-1,2a-b=0,②错误;
结合图象,当x=-1时,y=a-b+c>
0,③错误;
由对称轴为x=-1知,b=2a,
又函数图象开口向下,
所以a<
所以5a<
2a,
即5a<
b,④正确.
13.(20xx衡水中学高二上第二次调研)已知正实数x,y满足xy+2x+y=4,则x+y的最小值为 .
因为x,y为正实数,且xy+2x+y=4,设x+y=k>
0,则y=k-x代入已知式子得
x(k-x)+2x+k-x-4=0,整理得x2-(k+1)x-k+4=0,关于x的方程有解,所以Δ=[-(k+1)]2-4×
(4-k)≥0,解之得k≤-3-2或k≥2-3,又因为k>
所以k≥2-3,即x+y的最小值为2-3.
2-3
14.已知幂函数y=xα,α∈{-1,,1,2,3}的图象过定点A,且点A在直线+=1(m>
0,n>
0)上,则log2(+)= .
由幂函数的图象知y=xα,α∈{-1,,1,2,3}的图象恒过定点A(1,1),
又点A在直线+=1(m>
0)上,
所以+=1.
所以log2(+)=log2[2(+)]=log22=1.
1
15.已知函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-1,2]上有最大值4,求实数a
的值.
f(x)=a(x+1)2+1-a,
①当a=0时,函数f(x)在区间[-1,2]上的值为常数1,不符合题意,
舍去;
②当a>
0时,函数f(x)在区间[-1,2]上是增函数,最大值为f
(2)=8a+1=4,解得a=;
③当a<
0时,函数f(x)在区间[-1,2]上是减函数,最大值为f(-1)=1-a=4,解得a=-3.
综上a=或a=-3.
16.已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为常数),x∈R,
F(x)=
(1)若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),求F(x)的表达式;
(2)在
(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围;
(3)设m·
n<
0,m+n>
0,a>
0且f(x)为偶函数,证明F(m)+F(n)>
(1)解:
因为f(-1)=0,
所以a-b+1=0,a=b-1.
又x∈R,f(x)的值域为[0,+∞),
所以
所以b2-4(b-1)=0,b=2,a=1,
所以f(x)=x2+2x+1=(x+1)2.
所以F(x)=
(2)解:
g(x)=f(x)-kx
=x2+2x+1-kx
=x2+(2-k)x+1,
当≥2或≤-2时,
即k≥6或k≤-2时,g(x)在[-2,2]上是单调函数.
故所求实数k的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞).
(3)证明:
因为f(x)是偶函数,
所以f(x)=ax2+1,F(x)=
因为m·
0,不妨设m>
n,
则n<
又m+n>
0,m>
-n>
所以m2>
n2,
又a>
所以F(m)+F(n)=(am2+1)-an2-1
=a(m2-n2)>
命题得证.
精彩5分钟
1.若f(x)是幂函数,且满足=3,则f()等于( C )
(A)3(B)-3(C)(D)-
解题关键:
待定系数法求出函数的解析式.
设f(x)=xn,则==2n=3,
所以f()=()n==.
2.已知函数f(x)=x2+1的定义域为[a,b](a<
b),值域为[1,5],则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积是( C )
(A)8(B)6(C)4(D)2
数形结合思想的应用.
由f(x)=x2+1=5,
得x2=4,
即x=±
2.
故根据题意结合函数f(x)=x2+1的图象得a,b满足:
-2<
a≤0且b=2或a=-2且0≤b≤2,
所以点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一个边长为2的正方形如图,面积为4.
3.方程x2-mx+1=0的两根为α,β,且α>
0,1<
β<
2,则实数m的取值范围是 .
先用β将m表示出来,再用函数的单调性求出实数m的取值范围.
因为
所以m=β+,
因为β∈(1,2)且函数m=β+在(1,2)上是增函数,
所以1+1<
2+,即m∈(2,).
(2,)