学年安徽省阜阳市第一中学高二上学期期中数学文试题解析版Word下载.docx
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【答案】D
【解析】A:
根据复合命题的真假性判断；
B:
或”的否定为且”；
C:
‘x1”
能推出‘x25x60”；
D:
含有量词的命题的否定，先换量词，再否定结论.
解：
对于a，命题p,q是真命题，则命题q”为假，p也为假，命题“pq”
为假命题，故错；
对于B,或”的否定为且”，故错；
对于C,“x1”能推出“x25x60”，故错；
xR,2x0”的否
对于D，含有量词的命题的否定，先换量词，再否定结论，即
定是“X。
R,2x00”，故正确.
故选：
D.
本题考查了命题否定、命题的否命题、充分条件的判定，属于基础题.
5.函数f（X）
3x
2ex的大致图象是（
A.
B.
C.
i
—
•—
&
r
【答案】A
【解析】根据奇偶性，可排除B，再当X0时，利用导数研究极值，即可得出结果。
3x3x
Qf（x）——X,f（x）——Xf（x），故f（x）为奇函数，所以排除B;
2e12d1
当x0时，f'
（x）6e6e（12xx），令f'
（x）0,得x1，函数f（x）在
4ex4ex
x1处取极值，只有A符合，
A。
本题考查已知函数解析式，判断函数图像，充分利用函数的性质，如对称性，极值，最
值等，通过排除得出结果。
6.函数fx
x
x5x2e的极值点所在的区间为（
D.（2,1）
A.（0,1）B.（1,0）C.（1,2）
【解析】Qf'
x2x52ex为增函数，f'
030,f'
12e30,
x2x
Qf'
x2x52e的零点在区间0,1上，fxx5x2e的极值点在区
间0,1上，故选A.
7.设P为双曲线x~1上的一点，F。
F2是该双曲线的两个焦点，若
12
PF1:
PF23:
2，则VPF1F2的面积为（）
A.6.3B.12
【解析】试题分析：
由已知可得
C.12、、3D.24
PFj:
|PF23:
2,PF1PF2
2PF16,PF24,又
PF1I2PF2I2IF1F2I2
PF1F2是直角三角形S丄4612,
【考点】双曲线标准方程及其性质.
8.椭圆C1:
4
Xy21与双曲线C2:
b21
a0,b
的离心率之积为1,
则双曲线
C2的两条渐近线的倾斜角分别为
求得椭圆的离心率为q，双曲线的离心率为
e2，运用离心率公式，解方程可
得b，再由双曲线的渐近线方程，结合直线的斜率和倾斜角关系可得所求角.
a
设椭圆的离心率为©
，则e—,
双曲线的离心率为
e2，
由题意可得ee2
3a2b2
由双曲线C2的渐近线方程为
b
X，即y
可得渐近线的倾斜角分别为
C.
本题考查椭圆和双曲线的性质，主要是离心率和渐近线，考查方程思想和运算能力，属
于基础题.
9.已知椭圆
21ab0,;
为左焦点，.，为右顶点,Bi,B2分别为上、b2
下顶点，若■
…、B!
、B2四点在同一个圆上，则此椭圆的离心率为（
B.A
C.丄
D.二
【解析】由题设圆的半径
aceh—2#aC\2/ac、2口仃
r亍，则b（a丁）（〒），即
222
acacee1
于，应选答案B。
10.如图，已知直线I：
y
与抛物线C:
y2
4x相交于A,B两点,
且A、B两点在抛物线准线上的投影分别是
M,N，若AM
2BN
则k的值是（）
F
/
P
Tl
【解析】直线y
k0恒过定点P10，由此推导出
OB
AF，由
此能求出点B的坐标，从而能求出k的值.
设抛物线C：
y24x的准线为I:
x1,
直线ykx1k0恒过定点P1,,
如图过A、B分别作AMI于M,BNI于N,
由AM2BN，则|FA2FB|,
点B为AP的中点、连接OB，则OB-AF,
一1
•••OBBF，点B的横坐标为一，
•-点B的坐标为B，把B代入直线ykx1k0,
解得k
2^2
O
本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意
等价转化思想的合理运用，属于中档题•
r2..「
11•已知函数若函数龌二他―H存在零点，则实e,x>
0
数的取值范围为（）
A.[冷自B（•址冷U[M"
）C•卜抽
D•，
【解析】根据题意，把函数g（x）=f（x）-ax+a存在零点转化为方程f（x）-ax+a=O
存在实数根，也就是函数y=f（x）与y=a（x-1）的图象有交点，作出函数图象，数形
结合得答案.
函数存在零点，
即方程'
玉'
:
;
.:
存在实数根,即函数k-KJ与丫=血-1；
的图象有交点,
如图所示，直线y二吐11；
恒过定点（1』〕,设直线丫-1）与亍二J相切于仁£
'
）,则切点处的导数值为
过点彳与i；
J的直线的斜率
则过切点的直线方程为丫』二L（x.^）,又切线过，则―八）.叮
此时切线的斜率为，
由图可知，要使函数i"
-.?
；
.'
-存在零点，
则实数的取值范围是a<
-'
或,yj，
故选B.
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
（1）直接法：
直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：
先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：
先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数
形结合求解.
12.已知函数f（x）
3ax
3x2
1，若f（x）存在唯一的零点X0，且x0
0，贝ya的取
值范围是
A.2,
1,
C
2D.
1
【解析】试题分析：
当
§
a
0时，
f（x）
1,函数f（x）有两个零点
和仝,
不满足题意，舍去；
f（x）
3ax2
6x，令f（x）0，得
x0或
x.x（,0）时，
0-x
（0,2
）时，f（x）0；
x（:
7
）时，
f（x）0，且f（0）
0,
此时在
x（
0）必有零点，故不满足题意，舍去;
当a0
时，x（,—）时，f（x）0；
x（―,0）时，f（x）0；
x（0,）时，f（x）0,
aa
且f（0）0，要使得f（x）存在唯一的零点x0，且X。
0，只需f（―）0,即a24,
则a2，选C.
【考点】1、函数的零点；
2、利用导数求函数的极值；
3、利用导数判断函数的单调性.
、填空题
13.函数fXxCOSX的图象在点，f处的切线方程是
【答案】yx1
【解析】求出函数的导数，计算f，求出切线方程即可.
由题意知，f（x）1sinx,
则切线的斜率kf1，又f1，即切点坐标为，1,切线斜率k1
切线的方程为y1x，整理得yx1
故答案为：
yx1.
本题考查了导数的几何意义的应用，考查曲线的切线方程问题，属于基础题.
14.已知命题P:
x2
y22x2ym
0表示圆，命题q:
—y1表示
m1
双曲线，若命题Pq为真命题，则实数m的取值范围为
（1,2）
【解析】命题P：
444m0m2
命题q:
（m3）（m1）01m3
因为Pq为真命题，所以1m2
15•已知函数fxexalnx在1,4上单调递增，则a的取值范围是
【答案】，e
【解析】求出函数的导数，问题转化为a,xex在1,4恒成立，令h（x）xex,x1,4,
根据函数的单调性求出a的范围即可.
解:
f（x）ex-,
若f（x）在1,4递增，
则f（x）…0在1,4恒成立，
即a,xe在1,4恒成立，
令h（x）xex,x1,4,
则h（x）（x1）ex0,
h（x）在1,4递增,
故hXminh1e,
故a,e,
，e.
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档
题.
三、解答题
16•如图：
已知双曲线—J1（a0,b0）中，A,A2为左右顶点，F为右焦点，B
为虚轴的上端点，若在线段
BF上（不含端点）存在不同的两点
Ri1,2,使得
RA1A2i1,2构成以A1A2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是
【解析】求证直线BF的方程bxcybe0，利用直线与圆的位置关系，结合ab,
即可求解双曲线的离心率e的取值范围.
2_
由题意，显然ab，则a2e2a2，据此可得e与2,e2,
在线段BF上（不含端点）存在不同的两点Ri1,2，使得RAAi1,2构成以
A1A2为斜边的直角三角形，等价于以AA为直径的圆与线段BF有两个交点，
以AA2为直径的圆圆心坐标为0,0，半径为a,
直线
BF
的方程为-—1，即bxcybc0，所以
bc
」b2=c2a，
又由
b2整理可得:
4^22
c3ac
3e210,
解得
结合e
1,e
综上可得双曲线离心率e的取值范围是
1.5
本题主要考查了双曲线的离心率的求解,
以及双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟
记双曲线的几何性质，以及合理应用直线与圆的位置关系准确运算是解答的关键,
着重
考查了运算与求解能力，属于难题.
17.已知函数
（1）求实数
13
fxx3axb，在点M1,f1处的切线方程为9x3y100.
a,b的值；
（2）求函数
fX的极值.
（1）
428
a4,b4
（2）极小值为一，极大值为
求出曲线的斜率，切点坐标，求出函数的导数，禾U用导函数值域斜率的关
系，即可求出
（2）求出导函数的符号，判断函数的单调性即可得到函数的极值.
（1）因为f
1x3axb在点
M1,f1处的切线方程为9x3y100,
所以切线斜率是
3且913f1
100,
求得f
（1）—,即点
又函数f（x）
M（1,-）
ax
b，贝Uf（x）
f
（1）
所以依题意得
（2）由
（1）
知f（x）
4x4
所以f（x）x4（x2）（x2）
令f（x）0，解得x2或x2
当f（x）0，x2或x2;
当f（x）0，2x2
所以函数f（x）的单调递增区间是（，2），（2,），单调递减区间是（2,2）
所以当x变化时，f（x）和f（x）变化情况如下表：
所以f（x）极小值
28
T，
f（x）极大值f
（2）
2
（2,2）
2,
Z
极大值
]
极小值
本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的极值，考查转化思想以及计算能力，
属于中档题.
18.已知抛物线C:
y2pxp0的焦点为F,准线为I,若点P在C上，过点P作PE垂直于|，交|于E,VPEF是边长为8的正三角形.
（1）求C的方程；
（2）过点M1,0的直线m与C交于A,b两点，若MA3MB，求直线m的方程.
（1）y28x
（2）y、,6x'
一6或y'
一6x、、6
（1）由等边三角形的性质和抛物线的定义可得PEl,设准线I与y轴交于D,
由直角三角形的锐角三角函数的定义，计算可得P，进而得到抛物线的方程；
（2）设直线m:
xty1,代入y28x得y28ty80，设AX,%）,B（X2,y?
）则y1y28t,8，因为MA3MB，所以旳3y2，设y13y2，即可
求出参数t的值；
（1）由PEF是边长为8的等边三角形，得|PE||PF||EF|8,
又由抛物线的定义可得PEI•
设准线I与x轴交于D，则PE//DF，从而PEFEFD60，在RtEDF中，|DF||EF|gsosEFD814，即p4.
所以抛物线C的方程为y28x；
E
■
6
[y
*
D,
Ml
i-10
-i
\'
xty1,代入y28x得y28ty80,设人（为，％）,B（X2,y?
）
则yiy28t,ym8，因为MA3MB，所以|%|3y：
设yi3y2，则yi12t,y4t,12t4t8
解得t,
所以直线方程为x
6x、.6
6y1，即y、、6x..6或y
本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理,
考查化简运算能力，属于中档题.
19.已知函数f（x）xexx22x1.
（1）求函数fx在［1,1］上的最大值；
（2）证明：
当x0时,f（x）x1.
（1）丄；
（2）详见解析.
e
（1）首先求出函数的导数，解不等式f'
（x）0,f'
（x）0，结合题中所给的
区间，研究函数的单调性，从而求得函数在给定区间上的最大值；
（2）不等式
f（x）x
1即为xex
2x1x1，化简得xex
2小
xx0,
因为x0得
exx1
0,令h（x）
xe
x1,求导研究函数的单调性，
从而证得结
果•
（1）f'
（x）
xx
exe
2x2（x
1）（e
x2）,x[1,1],
令f'
（x）0
，解得In2
x1，令
f'
0,解得1xIn2,
所以函数fX在［1,1n2）上单调递减，在（In2,1］上单调递增,
且f
（1）-
1211,f
（1）e1
21e4,
所以函数fx
在［1,1］上的最大值为1；
（2）由f（x）
x1可得xexx22x1
x1,
即xexx2x
0,因为x0,所以exx
10，
令h（x）exx1，得h'
（x）ex1，当x
0时，可得ex1，从而有h'
（x）0,
所以h（x）ex
x1在（0,）上是增函数，
所以h（x）e°
010,从而有exx1
0恒成立，
即原命题得证，
故：
当x0时,f（x）x1.
该题考查的是有关利用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有利用导数求函数在给定
区间上的最值，禾U用导数证明恒成立问题，属于中档题目
20•已知点P是圆M:
x2y20上任意一点，点N的坐标为2,0，线段NP
的垂直平分线交直线MP于点Q,当点P在圆M上运动时，点Q的轨迹为C.
（1）求轨迹C的方程;
（2）在x轴上是否存在一定点
E,使得双曲线C的任意一条过E的弦AB,
EA
EB
⑴
x2
牙y
1
（2）存在；
定点为E
利用线段
NP的垂直平分线交直线
求出轨迹
C的方程；
1~2
—2为定值？
若存在
求出定点和定值；
若不存在，请说明理由
型,0,定值为
MP于点Q，根据椭圆的定义，即可
（2）先计算E若存在必为（—300）定值为6,再进行证明.
【详解】解：
（1）由题意，|PQ||QN|,
|QN||QM||QP||QM||MP|254,
X2
（2）由
（1）曲线C为—
5
设E（x0,0），分别过E取两垂直与坐标轴的两条弦CD,CD,
JJJ，即
|ED||EC||EDT
Xo
，所以E若存在必为（
30
下证（」°
0）满足题意.
设过点E（30,0）的直线方程为
解得Xo
v，0）
|.5Xo|2
定值为6.
ty
~T，代入C中得:
|1
（t2
设A（x,yJ,
b（x2,y2），则
y1
y2
230t
2,
3（t5）
y1y2
|EAf|EB|（1t）%（1t）y2
（1
5Xo|2
5）y2
3（『
5）
„22
1y1y2
（1t）yy2
1（%『2）2yy
（1t）阳）
^/3ot1（贾
（1t2）—
同理可得E（
综上得定点为
25
）2厂
5）3（t5）6
52
（2）
二0,0）也满足题意.
E（皀,0），定值为-eA|2
3IEAI
|EB|
【点睛】本题主要考查了轨迹方程的问题，直线与椭圆的综合问题，考查存在性问题，先猜后证是关键，属于中档题.
21.已知函数fxlnxaxa2x,aR.
（i）讨论fx的单调性；
（n）当a0时，若关于x的不等式fxb恒成立，求实数b的取值范围.
（i）当a0时，fx在0,上是单调增函数，当a0时，fx在
1^1
0,上单调递增，在，上单调递减；
（n）2,
（i）求出原函数的导函数，可得当a0时，f'
x0,fx在0,上
是单调增函数；
当a0时，求出导函数的零点，把定义域分段，由导函数在各区间段
的符号确定原函数的单调区间;
（n）由（i）可得，当a
0时,
求出函数的最大值
1，把不等式fx
-b恒成立，转化为b1
In
1-在a0时恒
成立，换元后利用导数求最值得答案.
（i）f
lnx
2ax
2ax2a2x1
（x0）.
fx在0,上是单调增函数;
2a
当x
1时,
f'
x0,当x-,
时，
x0,
f
x在
0,丄
上单调递增，在，
上单调递减.
综上，
当a
fx在0,上是单调增函数，
fx
在0,上单调递增，在
J
上单调递减;
（n）
由（I
）可得,
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