主应力方向判别定.docx

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主应力方向判别定

宁夏师范学院毕业论文

题目：

平面应力状态下主应力方向判别新方法

指导教师：

伏振兴职称：

副教授

学生姓名：

王德俭学号：

200607210221

专业：

物理学

院（系）：

物理与信息技术学院

完成时间：

2010-5-24

宁夏师范学院本科生毕业论文（设计）成绩评定表

姓名

院、系

专业

班级

学号

毕业论文（设计）题目

指导教师评语：

等级：

指导教师签字：

年月日

答辩小组评语：

等级：

组长签字：

年月日

答辩委员会综合评语：

等级：

答辩委员会主任签字：

（办公室盖章）

年月日

摘要

总结了现行材料力学教材中平面应力状态下最大主应力方向的判别方法——解析法和图解法,这两种方法不够理想,在计算时比较麻烦且容易出错，本文阐述了一种平面应力状态下判别主应力方向的新方法，并做出了证明和举例,发现在应用时极为简单、快捷、易行.

关键词:

平面应力状态;主应力;单元体

Abstract

Summaringthecurrentstrengthofmaterialsinplanestressstateprincipalstressdirectiondiscriminationmethodinmaximumisanalyticalmethodandgraphicalmethod,thetwomethodsisnotquiteideal,inthecalculation.Itisverytroubleandeasytomakeerror-prone,inthispaper,Imadeanewmethodwhichisplanestressidentifiedprincipalstressdirection,andmadelotsofexamplestoproofitAtlast,foundthattheapplicationofitisextremelysimple,quicklyandeasily.

Keywords:

Planestressstate;Principalstress;Unitbody;Direction;Angle

一引言

平面应力状态下主应力方向的确定,无论是在工程应用还是在材料力学中都是非常重要的.在工程实际问题中,受力构件的最大主应力的判定不可缺少,尤其是脆性材料的受拉部位最大拉应力的大小和方向的判定最为主要,有了正确快捷的计算结果才能更有效的改善构件的内部特征,以适应其受力特点达到构件安全的目的.主平面即极值正应力作用平面,通常情况下,主平面的位置决定着构件的破坏位置,主平面上作用的主应力的大小决定着构件强度的大小,而确定平面应力状态下主应力的方向,在笔者所阅读的书籍[1～4]中,大致是两种较为传统的判别方法,分别为解析法和图解法,这两种方法能够解决问题但比较繁琐,笔者在该篇文章中给出了一种较为简单的新的判别方法.

二基本概念

2.1应力与应变

当材料在外力作用下不能产生位移时,它的几何形状和尺寸将发生变化,这种形变称为应变.材料发生形变时内部产生了大小相等但方向相反的反作用力抵抗外力,我们把发布内力在一点的集度称为应力;或者说物体由于外因（受力、温度变化等）而发生形变时,在物体内各部分之间产生相互作用的内力,以抵抗这种外因的作用,并力图使物体从变形后的位置回复到变形前的位置.总起来说,应力就是在所考察的截面某一点单位面积上所承受的附加内力.

如图2-1-1所示，在截面上任一点K的周围取一微小面积△A,并设作用在该面积上的内力为△F,则△F与△A的比值称为△A内的平均应力,并用表示,即,一般情况下,内力沿截面并非均匀分布,平均应力之值及其方向将随所取面积△A的大小而异.为了更精确的描述内力的分布情况,应使△A趋于零,由此所得平均应力的极限值,称为平面上K点处的应力或总应力，并用P表示，即，显然，应力P的方向即

的极限方向.为分析方便,通常将应力P沿截面法向与切向分解为两个分量（图2-1-2）,沿截面法向的应力分量称为正应力,并用表示;沿截面切向的应力分量称为剪应力,并用表示.应力P与正应力、剪应力之间的关系为.

按照载荷作用的形式不同,应力又可以分为拉伸压缩应力,弯曲应力和扭转应力.

2.2应力状态

物体受力作用时,其内部应力的大小和方向不仅随截面的方位而变化,而且在同一界面上的各点处也不一定相同.通过物体内一点可以作出无数个不同取向的截面,其中一定可以选出三个互相垂直的截面,在它上面只有正应力作用,剪应力等于零,用这三个截面表达的某点上的应力,即称为此点的应力状态.三个主应力不相等且都不等于零的应力状态称为空间（三向、三轴、三维）应力状态,有两个主应力不等于零的应力状态称为平面（二向、双轴、二维）应力状态,有一个主应力不等于零的应力状态称为单向（或单轴）应力状态.

三传统的判定方法

3.1解析法

在材料力学教科书[1～4]中,用解析法确定主应力方向的方法如下:

平面应力状态下,一点的主应力为:

①

两主应力和与单元体上所设x轴的夹角由下式确定

②

式中和是法线与x轴平行的面上的正应力和切应力;和（式中未出现）是法线与y轴平行的面上的应力.

求出及,然后分别代入公式

③

计算出两个主应力及的值,再比较二者的大小,方能确定两个主应力分别x轴的夹角,最后判断出两个主应力的方向.

3.2图解法

同样的,在[1～4]中用图解法确定主应力的方法如下:

先将单表单元体（图3-2-1）上、及D1点到轴上的A1点弧长找到，量出所对圆心角,在据转动方向确定其正负号（顺时针转为负,逆时针转为正）,知道了大小及方向,然后在单元体上自作用的平面法线方向起量出一个角,转向与转向相同,再根据应力圆A点坐标的正负号,就可以确定出的方向（图3-2-2）.

四平面应力状态下主应力方向判别新方法

4.1结论

显然,传统的判别方法比较繁琐,笔者参阅了其他文献资料[5～12],总结其在该问题上的见解,得出了一种新的判别的简单方法:

在求出主应力后,用公式②求出α0和α0+90o,然后比较σx与σy的大小（按带数量），若σx>σy,则主用力σmax与x轴的夹角为α0;若σx<σy,则主用力σmax与x轴的夹角为α0+90o,若σx=σy,则α0=-45o.即最大主应力总是偏向于σx和σy的较大者,最小的主应力则偏向于σx和σy的较小者.

4.2对上述结论的证明

在公式③中,随α角的改变而改变,也就是说是α的函数,在这里,我们根据数学的极值问题,将分别对α求一阶导数及二阶导数：

④⑤

当时,取得极值,,则由④式得:

（同上文②式）

于是及即为的两个极值.（α1和α2）

由②式可解得：

⑥

⑦

（1）若

当时,,,代入⑤式得:

所以，在时取得极大值，即，从而证明了此时α0为σmax与x轴的夹角.

当时,

代入⑤式得:

所以,在时取得极小值,即.

（2）若

同理可证此时.

（3）若

在这种特殊情况下,由公式

则.

五实例

例1.试求图5-1所示单元体主应力的大小及方向.

解:

则

例2.试求图5-2所示单元体主应力的大小及方向.

解：

是与y轴的夹角.

例三.试求图5-3所示单元体主应力的大小及方向.

解:

是与x轴的夹角.

致谢

笔者在写作该篇论文的过程中,得到了宁夏师范学院物理与信息技术学院伏振兴和惠治鑫两位老师的大力帮助与热情指导,笔者在此表示由衷的感谢!

另外,大学四年以来,笔者在知识积累的过程中,得到了郝福生、张国前、郑云、马文宾、蒙占海、李永超、张玉宁、张爱、伏振兴、许连强、桑苏玲、赵飞燕、刘德全、李兆义、张喜荣、温存华、马艳等诸位恩师的教诲与厚爱，笔者在此表示非常的感谢，并祝他们工作顺利，身体健康！

当然在这期间也得到过许多同学的帮助，笔者在此一并表示感谢！

就该篇论文的内容而言，笔者还得到了参考文献中各位作者前辈的启发，笔者在此表示万分感谢！

参考文献

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高等教育出版社,1994

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