基于数学建模的房贷还款方式选择文档格式.docx

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引言

在当今这个飞速发展的时代，人们的社会生活也随之的得到了一定程度的改善，但和昂贵的消费水平相比，还似乎有点牵强，很多人努力工作，到头来却买不起他们想要的东西，进而出现了提前消费这个概念，也就是说，先贷款买来自己想要的东西，然后再慢慢的还清所欠的债务。

最明显的例子就是按揭贷款买房，很多人在拿到房子之后，住进新房的同时，房子从此也注入了他们的生活，他们成了现实中的“房奴”，一辈子都在还款。

其实，对于大多数按揭贷款购房人来说，只要他们掌握了贷款知识，知道如何贷款、如何还款，了解了月供年限与每月收入之间的关系，明确等额本息还款和等额本金还款方式在利息总额、可贷款总量、利率调整以及提前还款等方面对自身的影响，就能够做出合理的贷款计划和还款安排，并根据自身经济能力变化和对房贷利率预期对房贷还款方式是否或何时提前还款等操作进行合理选择和决策。

本文先从房贷、房贷还款、贷款额度、月供额度以及还款人月收入等几个方面出发，分析其相互关系，进而评价四种基本还款方式的优势和劣势；

然后全面分析还贷计算的相关条件与逻辑关系，建立数学模型，利用matlab数学软件/Excel应用软件，演算20年内月供、本金与利息的额度变化，分析两种主要的还款方式在利息总额、可贷款总量、利率调整以及提前还款等方面对按揭贷款人的影响。

该模型可能存在一些不完美的地方，但基本能够反映出房贷方案相关数据，可以通过改变技术参数来适应新的变化，对房贷方式的选择提供了理论和数据支持，具备很强的针对性和可操作性，对现实生活具有一定的参考价值和指导意义。

第1章房贷还款

房贷，又称房屋抵押贷款，是由购房者向银行填报房屋抵押贷款申请，并提供身份证、收入证明、房屋买卖合同、担保书等规定必须提交的证明文件，银行经过审查合格，向购房者承诺发放贷款，并根据购房者提供的房屋买卖合同和银行与购房者所订立的抵押贷款合同办理房地产抵押登记和公证，银行在合同规定的期限内把所贷出的资金直接划入售房单位在该行的账户上。

1.1基本的还款方式

房贷还款共有固定利率还款、等额本金还款、等额本息还款、公积金自由还款等四种方式。

固定利率还款，利率标准虽各家银行不同，但好处是利率不随物价或其他因素变化调整；

由于固定利率是借款人提前锁定的加息风险，所以常比基准利率高出一定的百分点。

等额本金还款，借款人在开始还贷时，每月负担会较大些，但随着还款时间的推移，还款负担逐渐减轻，最后总的利息支出较低。

等额本息还款，借款人每月月供不变，方便借款人安排收支。

公积金自由还款，即设定每月最低的还款额，只要月还款额不低于设置的最低还款额即可，每月多还的部分系统会自动划为提前还款，与传统的等额本息或是等额本金还款相比，公积金自由还款方式更为灵活。

表1-1四种房贷还款方式比较

还款方式

优点

缺点

适用人群

固定利率还款

利率风险小；

.收益稳定；

利率固定。

银行利率调整，不影响按照固定的利率支付利息。

收入固定的专业投资者/者商人等。

总体利息支出较低；

月供额度逐月递减。

前期还款负担较重，特别是第一期还款时压力大。

收入较高的企业高层、金领、海归等。

等额本息还款

月供金额固定；

利息比重逐月递减。

总体利息支出较多。

收入稳定的国家企事业单位职员等。

公积金自由还款

每月可自由还款、灵活便捷。

最低还款额低于正常月供，末期本金支付量较大。

符合贷款条件的公积金缴存职工。

目前，房贷还款的主要方式是等额本金还款法和等额本息还款法。

1.2等额本息还款法

等额本息还款法是指先按照总的本息和计算公式计算出总的应还贷款额，再平均分配到每个月，作为每个月固定的还款数目，之后随着时间变化，还款的本金和利息的比例在发生变化，即：

刚开始是本金少、利息多，随时间变化逐渐变为利息少、本金多，但总的还款额不变。

这种一般适合前期还款能力弱，而后期还款能力强的情况。

1.3等额本金还款法

等额本金还款法是指先将总的贷款额平均分配到还款期间的每个月，作为每个月固定的还款额度，另外每个月还要偿还上个月剩余的还款总额所产生的利息，也就是说随着时间的推移，所欠总贷款在不断减少，每个月所需偿还的利息在不断的减少。

这种一般适合前期还款能力比较强的情况。

第2章数学建模

2.1问题重述

对于等额本息还款法和等额本金还款法，我们可以根据二者的定义比较，在建立数学模型的基础上，利用还款总数的计算公式计算出它们最终所需的还款总额度，从而判断出哪一种还款方法好，适合在什么请款下使用。

表2-1中国人民银行2014年5月22日公布的贷款利率标准

序号

日期

短期

中长期

1

2014-05-22

6个月以内

6个月到1年

1年到3年

3年到5年

5年以上

5.60%

6.00%

6.15%

6.40%

6.55%

本文将以400000元人民币为例，利用等额本息还款法和等额本金还款法两种方法分别来计算贷款时间为20年的月还款额度。

2.2模型假设

为了避免建立模型过程中可能出现的问题，现将有关问题假设罗列如下：

1.从拿到贷款之日开始，到还清所有款项为止的这段时间内，中国人民银行贷款利率不会改变且货币价值不会受经济危机、通货膨胀、国家政策等客观因数的影响；

2.在这段期间内不考虑经济波动的影响，即货币价值在贷款期限内不会发生升值或值；

3.银行利息按复利计算；

4.贷款人在还款期限内，不会出现重大变故导致还款能力大大减弱；

5.固定还款期限不会因为外界事物的改变而发生改变；

……

2.3符号说明

:

贷款总额

月供金额

月利息率

还款月数

2.4问题分析

等额本息还款法是先按照总的本息和计算公式计算出总的应还贷款额，再平均分配到每个月，作为每个月固定的还款数目，之后随着时间变化，还款的本金和利息的比例在发生变化，所以可以得出：

每月应付利息=剩余本金×

月利率=（本金－累计已还本金）×

月利率

每月应还本金=平均每月应还欠款额－每月应付利息

等额本金还款法是先将总的贷款额平均分配到还款期间的每个月，作为每个月固定的还款额度，另外还要加上每个月所要偿还上个月剩余的还款总额所产生的利息，所以：

每月本金=总的贷款本金/还款月数

每月本金不会发生改变，在还款期限内每期还款都是一样的，反而利息会随着还款时间的变化而逐渐减少。

每期应还利息=剩余未还本金额×

月利率=（总的贷款本金—已归还本金累计额）×

每期应还欠款额=总的贷款本金/贷款期月数＋（总的贷款本金—已归还本金累计额）×

2.5数学模型

2.5.1等额本息模型

根据银行计息办法，等额本息还款公式推导步骤：

第1次月供后所欠贷款：

第2次月供后所欠贷款：

第3次月供后所欠贷款：

第m次月供后所欠贷款：

由于还款月数为n，因此有

由此可得：

月供求解公式

2.5.2等额本金模型

根据银行计息办法，等额本金还款公式推导步骤：

月供

本金（

）+贷款余额的月利息

第1次月供金额：

第2次月供金额：

第3次月供金额：

第m次月供金额：

第3章模型演示

根据以上推导得出的等额本金还款公式和等额本息还款公式，可以利用Matlab或Excel软件，按照当期六个月以下5.6%的贷款利率标准，分别计算出期限20年、总额40万元的房贷在等额本息还款法和等额本金还款法两种还款方式之下的每月应还欠款额以及本息总额。

3.1模型求解

表3-1等额本金还款法和等额本息还款法的具体还款方案单位元

期数

等额本金还款法

等额本息还款法

本金余额

本金

利息

400000.00

3906.67

1666.67

2240.00

3034.33

794.33

2

398333.33

3897.34

2230.67

399205.67

798.78

2235.55

3

396666.66

3888.00

2221.33

398406.90

803.25

2231.08

…

30

351666.57

3636.00

1969.33

375072.99

933.92

2100.41

31

349999.90

3626.67

1960.00

374139.07

939.15

2095.18

120

201666.27

2796.00

1129.33

266155.65

1543.86

1490.47

121

199999.60

2786.67

1120.00

264611.79

1552.50

1481.83

239

3332.54

1685.33

18.66

6016.01

3000.64

33.69

240

1665.87

1676.00

9.33

3015.37

3017.44

16.89

共计

总计

669920.3

400000

269919.4

728239.2

328237.1

3.2数据分析

数据表明，总贷款数额40万元，如果选择等额本金还款法，月供逐月递减，首期月供3906元，全期偿还利息总量为27万元；

如果选择等额本息还款法，月供金额相同，每期月供3034元，全期偿还利息总量为32万8千元。

表3-2等额本金还款法和等额本息还款法的相对优势

相对优势

月供金额递减，利息总额略小

月供金额相同，还款压力均衡

相对劣势

前期还款较多

利息相对较重

适合对象

当前收入较高的人群

职业收入稳定的人群

以上是在静态情况下对两种还款法的优劣进行的比较。

因为还款期限越短，应付给银行总的利息额相对越少；

银行依据首次月供额度判断贷款人付款能力，继而决定可贷款总额。

在实际生活中，房贷决策还要考虑到可贷款总额、利息率调整、提前还款等多种动态因素。

第4章房贷决策

4.1决策要素

进行房贷决策主要有以下几种要素和情况：

贷款总额不定时，需要考虑两种还款方式的首期月供额度和可贷款总额；

月供能力一定时，需要考虑两种还款方式的还款期限、还款总额和全部利息；

贷款总额一定时，需要考虑两种还款方式的还款期限、还款总额和全部利息；

预期贷款利率可能调整时，需要考虑两种还款方式最终产生的利息总量。

表4-1等额本金还款法和等额本息还款法对房贷决策要素的影响

决策要素

条件

利息总额

贷款金额相同

贷款期限相同

利息总量较小

初期占用资金较多，故利息量较大

贷款总量

依据收入证明

月供能力确定

可贷款总量较小

首期月供额较小，故可贷款总量相对较大

利率上调

贷款利率上调

利息增量小

本金归还前少后多，利率上调，利息量增大

提前还款

交纳本期月供

还清剩余本金

总支出减少

前期支付利息多本金少，提前还款总支出大

4.2决策分析

我们以上文建模问题为案例，着重对以下四种动态要素进行决策分析。

1、可贷款量。

如果需要争取最大可贷款额度，要考虑还款方式的首期月供额度对可贷款总额产生的影响。

申请房贷时，贷款人需向银行提供收入证明，银行据此确定贷款人月还款能力。

在收入不变、贷款期限相同的情况下，选择等额本息还款法，引起首期还款额度较小，可以申请的贷款总额相对较大。

以表3-1为例，若贷款人月还款能力为3000元，贷款期限20年，选择等额本金还款法，只可从银行贷款30.7万元（3000/3053×

400000元）；

而选择等额本息还款法，可贷款39.3万元，比等额本金还款法多贷8.6万元，贷款比例提高28%。

2、利息总量。

在贷款金额相同，贷款期限相同的条件下，若月供能力许可，尽可能考虑选用等额本金还款法还款，利息总量较小。

详见3.2中的数据分析。

3、利率调整。

如果预期贷款利率会大幅上调或下调，则需要考虑两种还款方式的利息总量变化。

假设上例中，自第121期开始，住房贷款月利率上调到0.64%,我们可以利用Matlab或Excel软件，按照6.4%的贷款利率标准，分别计算出等额本金还款法和等额本息还款法的具体还款方案。

表4-2等额本金还款法和等额本息还款法的具体还款方案单位元

2946.67

1280.00

3246.02

1693.52

122

198332.93

2936.00

1269.33

263059.29

3244.78

1561.20

1683.58

238

4999.21

1698.66

31.99

8999.95

3041.53

2983.93

57.60

1688.00

21.33

6016.02

3039.14

38.50

1677.33

10.66

3015.38

3036.74

19.30

679600

279599

742454

400000

342452

等额本金还款法未偿还的银行贷款本金为199999.60元,等额本息还款法未偿还的银行贷款本金为264611.79元。

利率上调后,月供额度和利息总量都相应增加。

等额本金还款法利息总量由原方案的269919元上升到279599元，增加了9680元；

等额本息还款法利息总量由原方案的328237元上升到342452元，增加了14215元。

这是因为前期，等额本金还款法在偿还本金量大于等额本息还款法，利率上调后，支付利息的基数相对较小，利息增加量也相应较小。

因此，如果预期住房贷款利率上调，则宜于选择等额本金还款法。

4、提前还款。

如果经济条件允许，可能提前还款，就要考虑提前还款时的支出总量。

购房总支出等于以前各期月供累计额和当期应还本金余额之和。

表4-3等额本金还款法和等额本息还款法的提前还款方案单位元

提前还款支出总量：

402240

408359

407510

374130.04

939.20

2095.13

466767

468194

199