天津市和平区八年级下《172勾股定理的逆定理》同步练习及答案Word下载.docx
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6
C.5：
12：
13
D.4：
6：
7
2、△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（
A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形
B.如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°
C.如果（c+a）（c﹣a）=b2，则△ABC是直角三角形
D.如果∠A：
∠B：
∠C=5：
2：
3，则△ABC是直角三角形
3、△ABC的三边为a、b、c，且（a+b）（a﹣b）=c2，则（
A.△ABC是锐角三角形
B.c边的对角是直角
C.△ABC是钝角三角形
D.a边的对角是直角
4、下列命题中，其中正确的命题的个数为（ ）
①Rt△ABC中,已知两边长分别为3和4,则第三边长为5；
②有一个内角与其他两个内角的和相等的三角形是直角三角形；
③三角形的三边分别为a，b，c，若a2＋c2=b2，则∠C=90°
；
④在△ABC中,∠A:
∠B:
∠C=1:
5:
6，则△ABC是直角三
角形．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5、如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形的线段是（）
A.CD、EF、GH
B.AB、CD、GH
C.AB、EF、GH
D.AB、CD、EF
6、如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°
，∠A=45°
，AB=3，CD=1，则BC的长为（
A．3
B．2
C．
D．
7、如图,有一块地ABCD,已知AD=4米，CD=3米,∠ADC=90°
AB=13米,BC=12米,则这块地面积为（
A．60米2
B．48米2
C．30米2
D．24米2
8、在△ABC中，∠C=90°
，c2=2b2，则两直角边a，b的关系是（ ）
A．a<
b
B．a>
bC．A=b
D．以上三种情况都有可能
9、已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，判断△ABC的形状（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
10、已知：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状（
）。
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
11、如图，在5×
5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
12、如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°
且BQ=BP,连结CQ.若PA:
PB:
PC=3:
4:
5，连结PQ，试判断△PQC的形状（
A.直角三角形
B.等腰三角形C.锐角三角形
二、填空题：
13、有四个三角形，分别满足下列条件：
（1）一个内角等于另外两个内角之和；
（2）三个内角之比为3：
5；
（3）三边之比为5：
13；
（4）三边长分别为7、24、25．
其中直角三角形有个．
14、在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，
①若a2＋b2＞c2，则∠c为____________；
②若a2＋b2＝c2，则∠c为____________；
③若a2＋b2＜c2，则∠c为____________．
15、已知一个三角形的三边长分别是12，16，20，则这个三角形的面积为
．
16、如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，则BC的长为__________．
17、已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足关系式
+|a-b|=0,则△ABC的形状为
。
18、如图，AB=5，AC=3，BC边上的中线AD=2，则△ABC的面积为______．
19、如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是
20、如图，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上均速移动，它们的速度分别为Vp=2cm/s，VQ=1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t=s时,△PBQ为直角三角形．
三、简答题：
21、如图,有一块地,已知AD=4m,CD=3m,∠ADC=90°
AB=13m,BC=12m.求这块地的面积。
22、如图,是一块四边形绿地的示意图,其中AB长为24米,BC长15米,CD长为20米,DA长7米,∠C=90°
.求绿地ABCD的面积．
23、已知△ABC三边长a,b,c满足a2+b2+c2-12a-16b-20c+200=0,请判断△ABC的形状并说明理由.
24、已知:
△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2（m,n为正整数,且m＞n）,判断△ABC是否为直角三角形.
25、如图,已知一块四边形草地ABCD,其中∠A=45°
∠B=∠D=90°
AB=20m,CD=10m,求这块草地的面积．
26、在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要暂时封锁？
请通过计算进行说明．
勾股定理逆定理同步测试题
1、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（
A．6，8，10B．5，12，13
C．1，2，3
D．9，12，15
2、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（
）
3、三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（
A．等边三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．锐角三角形
4、若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（
A.等腰三角形
B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
5、下列说法中,不正确的是（
）
A.三个角的度数之比为1:
3:
4的三角形是直角三角形B.三个角的度数之比为3:
5的三角形是直角三角形
C.三边长度之比为3:
5的三角形是直角三角形
D.三边长度之比为5:
12:
13的三角形是直角三角形
6、有长度为9cm、12cm、15cm、36cm、39cm的五根木棒,可搭成（首尾连接）直角三角形的个数为
（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
7、有下列判断:
①△ABC中，
，则△ABC不直角三角形；
②△ABC是直角三角形，
，则
③△ABC中，
，则△ABC是直角三角形；
④若△ABC是直角三角形，则（
，正确的有（
A、4个
B、3个
C、2个
D、1个
8、如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（
A．2
B．
C．
D．
9、
如图,有一块地,已知AD=4米,CD=3米,∠ADC=90°
AB=13米,BC=12米,则这块地的面积为（）
A.24平方米
B.26平方米
C.28平方米
D.30平方米
10、在下列条件中：
①在△ABC中,∠A:
2:
3；
②三
角形三边长分别为32，42，52；
③在△ABC中,三边a，b，c满足（a+b
）（a-b）=c2；
④三角形三边长分别为m-1,2m,m+1（m为大于1的整数），能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个
C．3个
11、在△ABC中，如果（a+b）（a﹣b）=c2，那么∠=90°
．
12、若三角形三边分别为6，8，10，那么它最长边上的中线长是．
13、某住宅小区有一块草坪如图4所示，已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，
DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是
14、若一个三角形的三边长分别为1、a、8（其中a为正整数）,则以
a-2、a、a+2为边的三角形面积为．
15、在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是________．
16、如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°
∠ABC=60°
BC=2cm,D为BC的中点,若动点E以1cm/s的速度从A点出发,沿着A→B→A的方向运动,设E点的运动时间为t秒,连接DE,当△BDE是直角三角形时,t的值
17、如图,一块地,已知AD=4m,CD=3m,∠ADC=90°
18、如图，已知∠ADC=90°
，AD=8，CD=6，AB=26，BC=24．
（1）证明：
△ABC是直角三角形．
（2）请求图中阴影部分的面积．
19、如图，在△ABC中,∠ABC=45°
CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,F为BC中点,BE与DF,DC分别交于点G,H,∠ABE＝∠CBE．
（1）求证：
BH=AC；
（2）求证：
BG2－GE2＝EA2．
20、已知a、b、c为△ABC的三边,且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：
∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，①
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）．②
∴c2=a2+b2．③
∴△ABC是直角三角形．
问：
（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？
请写出该步的代号：
；
（2）错误的原因为；
（3）本题正确的解题过程：
例题答案详解
【例1】解：
（1）∵（
）2+12=
=（
）2，∴BC2+AC2=AB2．∴△ABC是直角三角形；
（2）∵（n2﹣1）2+（2n）2=n4+2n2+1=（n2+1）2，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形．
【例2】解析：
由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得：
a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,
∴（a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0。
∵（a-3）2≥0,（b-4）2≥0,（c-5）2≥0。
∴a=3，b=4，c=5。
∵32+42=52,∴a2+b2=c2。
由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。
【例3】①通过SAS证明全等
②13
【例4】152+1122+1132.
【例5】提示：
连结AE，设正方形的边长为4a，计算得出AF，EF，AE的长，由AF2＋EF2＝AE2得结论．
【例6】提示：
延长FD到M使DM＝DF，连结AM，EM．
课堂同步参考答案
1、C2、B3、D4、B5、C6、D7、D8、C9、D10、A11、C12、A
13、答案为3．
14、①锐角；
②直角；
③钝角．
15、96
16、14
17、等腰直角三角形
18、6．提示：
延长AD到E，使DE＝AD，连结BE，可得△ABE为Rt△．
19、
20、
或
21、24
22、【解答】解：
连接BD．如图所示：
∵∠C=90°
，BC=15米，CD=20米，∴BD=
=
=25（米）；
在△ABD中，∵BD=25米，AB=24米，DA=7米，242+72=252，即AB2+BD2=AD2，
∴△ABD是直角三角形．∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=
AB•BD+
BC•CD=
×
24×
7+
15×
20=84+150=234（平方米）；
即绿地ABCD的面积为234平方米．
23、a=6,
b=8,
c=10,直角三角形
24、证明：
所以△ABC是直角三角形.
25、150m2．提示：
延长BC，AD交于E．
26、解：
公路AB需要暂时封锁．理由如下：
如图，过C作CD⊥AB于D．
因为BC=400米，AC=300米，∠ACB=90°
，所以根据勾股定理有AB=500米．
因为S△ABC=
AB•CD=
BC•AC所以CD=240米．
由于240米＜250米，故有危险，因此AB段公路需要暂时封锁．
同步测试题参考答案
1、C2、C
3、C4、C
5、B
6、B
7、C8、C9、A10、B
11、90°
12、5．
13、36
14、8提示：
7＜a＜9，∴a＝8．
15、
108
16、2,6,3.5,4.5
17、24
18、解答】
∵在Rt△ADC中，∠ADC=90°
，AD=8，CD=6，
∴AC2=AD2+CD2=82+62=100，∴AC=10（取正值）．
在△ABC中，∵AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676，
∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形；
（2）解：
S阴影=SRt△ABC﹣SRt△ACD=
10×
24﹣
8×
6=96．
19、证明：
（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°
，
∵∠ABC=45°
，∴∠BCD=180°
-90°
-45°
=45°
=∠ABC∴DB=DC，
1’
∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°
，
∴∠A+∠ACD=90°
，∠A+∠HBD=90°
，∴∠HBD=∠ACD，
∵在△DBH和△DCA中，
∠BDH＝∠CDABD＝CD∠HBD＝∠ACD
∴△DBH≌△DCA（ASA），∴BH=AC．
（2）连接CG，由
（1）知，DB=CD，
∵F为BC的中点，∴DF垂直平分BC，∴BG=CG，
∵点E为AC中点，BE⊥AC，∴EC=EA，
在Rt△CGE中，由勾股定理得：
CG2-GE2=CE2，
∵CE=AE，BG=CG，∴BG2-GE2=EA2．
20、【解答】解：
（1）③
（2）除式可能为零；
（3）∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2），∴a2﹣b2=0或c2=a2+b2，
当a2﹣b2=0时，a=b；
当c2=a2+b2时，∠C=90°
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
故答案是③，除式可能为零．
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