82《立体几何》Word文件下载.docx

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解析　由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直线相矛盾．

3．下列命题正确的个数为（　　）

①经过三点确定一个平面

②梯形可以确定一个平面

③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面

④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合

A．0B．1

C．2D．3

解析　经过不共线的三点可以确定一个平面，∴①不正确；

两条平行线可以确定一个平面，∴②正确；

两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，∴③正确；

命题④中没有说清三个点是否共线，∴④不正确．

4.

如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，

B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（　　）

A．点AB．点B

C．点C但不过点MD．点C和点M

答案　D

解析　∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.

又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.

根据公理3可知，M在γ与β的交线上．

同理可知，点C也在γ与β的交线上．

5．已知空间四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列判断：

①MN≥

（AC＋BD）；

②MN>

（AC＋BD）；

③MN＝

④MN<

（AC＋BD）．

其中正确的是________．

答案　④

解析　

如图，取BC的中点O，

连接MO、NO，

则OM＝

AC，ON＝

BD，

在△MON中，MN<

OM＋ON＝

（AC＋BD），

∴④正确.

题型一　平面基本性质的应用

例1

如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和

AA1的中点．求证：

（1）E、C、D1、F四点共面；

（2）CE、D1F、DA三线共点．

思维启迪　

（1）两条相交直线或两条平行直线确定一个平面；

（2）可以先证CE与D1F交于一点，然后再证该点在直线DA上．

证明　

（1）连接EF，CD1，A1B.

∵E、F分别是AB、AA1的中点，

∴EF∥BA1.

又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，

∴E、C、D1、F四点共面．

（2）∵EF∥CD1，EF<

CD1，

∴CE与D1F必相交，设交点为P，

则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.

同理P∈平面ADD1A1.

又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，

∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点．

思维升华　基本性质1是判断一条直线是否在某个平面的依据；

基本性质2及推论是判断或证明点、线共面的依据；

基本性质3是证明三线共点或三点共线的依据．

（1）以下四个命题中

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；

③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面．

正确命题的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

（2）a、b是异面直线，在直线a上有5个点，在直线b上有4个点，则这9个点可确定________个平面．

答案　

（1）B　

（2）9

解析　

（1）①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面．这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确．②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；

③不正确；

④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．

（2）∵a、b是异面直线，

∴a上任一点与直线b确定一平面，共5个，b上任一点与直线a确定一平面，共4个，一共9个．

题型二　判断空间两直线的位置关系

例2

　如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、

B1C1的中点．问：

（1）AM和CN是否是异面直线？

说明理由；

（2）D1B和CC1是否是异面直线？

说明理由．

思维启迪　第

（1）问，连接MN，AC，证MN∥AC，即AM与CN共面；

第

（2）问可采用反证法．

解　

（1）

不是异面直线．理由如下：

连接MN、A1C1、AC.

∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，

∴MN∥A1C1.

又∵A1A綊C1C，

∴A1ACC1为平行四边形，

∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，

∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．

（2）是异面直线．证明如下：

∵ABCD—A1B1C1D1是正方体，

∴B、C、C1、D1不共面．

假设D1B与CC1不是异面直线，

则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，

∴D1、B、C、C1∈α，与ABCD—A1B1C1D1是正方体矛盾．

∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．

思维升华　

（1）证明直线异面通常用反证法；

（2）证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等．

（1）

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是（　　）

A．MN与CC1垂直

B．MN与AC垂直

C．MN与BD平行

D．MN与A1B1平行

（2）在图中，G、N、M、H分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．（填上所有正确答案的序号）

（3）下列命题中不正确的是________．（填序号）

①没有公共点的两条直线是异面直线；

②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；

③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；

④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．

答案　

（1）D　

（2）②④　（3）①②

解析　

（1）连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，

∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，

∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD.

又∵A1B1与B1D1相交，∴MN与A1B1不平行，故选D.

（2）图①中，直线GH∥MN；

图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，

因此直线GH与MN异面；

图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；

图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，

因此GH与MN异面．

所以图②、④中GH与MN异面．

（3）没有公共点的两直线平行或异面，故①错；

命题②错，此时两直线有可能相交；

命题③正确，因为若直线a和b异面，c∥a，则c与b不可能平行，用反证法证明如下：

若c∥b，又c∥a，则a∥b，这与a，b异面矛盾，故c

b；

命题④也正确，若c与两异面直线a，b都相交，由基本性质2可知，a，c可确定一个平面，b，c也可确定一个平面，这样，a，b，c共确定两个平面．

构造衬托平面研究直线相交问题

典例：

（5分）在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．

思维启迪　找三条异面直线都相交的直线，可以转化成在一个平面内，作与三条直线都相交的直线．因而可考虑过一条直线及另外一条直线上的一点作平面．进而研究公共交线问题．

解析　方法一　在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点．如图所示．

方法二　在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．

答案　无数

温馨提醒　

（1）本题难度不大，但比较灵活．对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查，难度一般都不会太大．

（2）误区警示：

本题解法较多，但关键在于构造平面，但不少学生不会构造平面，因此失分较多．这说明学生还是缺少空间想象能力，缺少对空间直线位置关系的理解.

方法与技巧

1．主要题型的解题方法

（1）要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内（即“纳入法”）．

（2）要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本性质3可知这些点在交线上，因此共线．

2．判定空间两条直线是异面直线的方法

（1）判定定理：

平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．

（2）反证法：

证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．

失误与防范

1．正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”．

2．不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件．

A组　专项基础训练

（时间：

40分钟）

一、选择题

1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的

（　　）

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件

答案　A

解析　“两条直线为异面直线”⇒“两条直线无公共点”．“两直线无公共点”⇒“两直线异面或平行”．故选A.

2．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c（　　）

A．一定平行

B．一定相交

C．一定是异面直线

D．平行、相交、是异面直线都有可能

解析　当a，b，c共面时，a∥c；

当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交．

3．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，

和a，且长为a的棱与长为

的棱异面，则a的取值范围是（　　）

A．（0，

）B．（0，

）

C．（1，

）D．（1，

解析　此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体，长为a的棱长一定大于0且小于

.选A.

如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，

C∉l，则平面ABC与平面β的交线是（　　）

A．直线AC

B．直线AB

C．直线CD

D．直线BC

解析　易知D∈β，D∈平面ABC，C∈β，C∈平面ABC.

∴平面ABC∩平面β＝CD.

5．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是（　　）

①P∈a，P∈α⇒a⊂α

②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β

③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α

④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b

A．①②B．②③C．①④D．③④

当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；

a∩β＝P时，

②错；

如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，

∴由直线a与点P确定唯一平面α，

又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，

∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；

两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．

二、填空题

6．平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．

答案　1或4

解析　若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；

否则确定四个平面．

7．a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：

①若a∥b，b∥c，则a∥c；

②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；

③若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．

上述命题中正确的命题是________（只填序号）．

答案　①

解析　由公理4知①正确；

当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；

a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故③不正确．

8.

如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中

点，有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；

②直线AM与BN是平行直线；

③直线BN与MB1是异面直线；

④直线AM与DD1是异面直线．

其中正确的结论为________．（注：

把你认为正确的结论的序号都填上）

答案　③④

解析　直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．

三、解答题

9．如图，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，

且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E、F、G

的平面交AD于点H.

（1）求AH∶HD；

（2）求证：

EH、FG、BD三线共点．

（1）解　∵

＝

＝2，∴EF∥AC，

∴EF∥平面ACD，而EF⊂平面EFGH，

平面EFGH∩平面ACD＝GH，

∴EF∥GH，∴AC∥GH.

∴

＝3.

∴AH∶HD＝3∶1.

（2）证明　∵EF∥GH，且

，

∴EF≠GH，∴EFGH为梯形．

令EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面ABD，

又P∈FG，FG⊂平面BCD，

平面ABD∩平面BCD＝BD，

∴P∈BD.

∴EH、FG、BD三线共点．

10．在三棱锥P－ABC中，E是PC的中点．求证：

AE与PB是异面直线．

证明　

假设AE与PB共面，

设平面为α，

∵A∈α，B∈α，E∈α，

∴平面α即为平面ABE，

∴P∈平面ABE，

这与P∉平面ABE矛盾，

所以AE与PB是异面直线．

B组　专项能力提升

30分钟）

1．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（　　）

A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3

B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面

D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面

答案　B

解析　当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1与l3也可能相交或异面，故A不正确；

l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3，故B正确；

当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；

l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．

2.

如图是正四面体（各面均为正三角形）的平面展开图，G、H、

M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，

①GH与EF平行；

②BD与MN为异面直线；

③GH与MN成60°

角；

④DE与MN垂直．

以上四个命题中，正确命题的序号是________．

答案　②③④

解析　还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°

角，DE⊥MN.

3．正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么，正方体的过P、Q、R的截面图形形状是________边形．

答案　六

解析　延长PQ或（QP）分别交CB延长线于E，交CD延长线于F，取C1D1中点M，连接RM，连接RE交BB1于S，连接MF交DD1于N，连接NQ，PS，则六边形PQNMRS即为正方体ABCD—A1B1C1D1的过P、Q、R三点的截面图形．

如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，

H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：

D1、H、O三点共线．

证明　连接BD，B1D1，

则BD∩AC＝O，

∵BB1綊DD1，∴四边形BB1D1D为平行四边形，又H∈B1D，

B1D⊂平面BB1D1D，

则H∈平面BB1D1D，

∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.

即D1、H、O三点共线．

5．定线段AB所在的直线与定平面α相交，P为直线AB外的一点，且P不在α内，若直线AP、BP与α分别交于C、D点，求证：

不论P在什么位置，直线CD必过一定点．

证明　设定线段AB所在直线为l，与平面α交于O点，即l∩α＝O.

由题意可知，AP∩α＝C，BP∩α＝D，∴C∈α，D∈α.

又∵AP∩BP＝P，∴AP、BP可确定一平面β，

且C∈β，D∈β.∴CD＝α∩β.

∵A∈β，B∈β，∴l⊂β，∴O∈β.∴O∈α∩β.即O∈CD.

∴不论P在什么位置，直线CD必过一定点．