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解析 由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线,但不可能为平行直线,若b∥c,则a∥b,与已知a、b为异面直线相矛盾.

3.下列命题正确的个数为(  )

①经过三点确定一个平面

②梯形可以确定一个平面

③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面

④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合

A.0B.1

C.2D.3

解析 经过不共线的三点可以确定一个平面,∴①不正确;

两条平行线可以确定一个平面,∴②正确;

两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面,∴③正确;

命题④中没有说清三个点是否共线,∴④不正确.

4.

如图,α∩β=l,A、B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l=M,过A,

B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过(  )

A.点AB.点B

C.点C但不过点MD.点C和点M

答案 D

解析 ∵AB⊂γ,M∈AB,∴M∈γ.

又α∩β=l,M∈l,∴M∈β.

根据公理3可知,M在γ与β的交线上.

同理可知,点C也在γ与β的交线上.

5.已知空间四边形ABCD中,M、N分别为AB、CD的中点,则下列判断:

①MN≥

(AC+BD);

②MN>

(AC+BD);

③MN=

④MN<

(AC+BD).

其中正确的是________.

答案 ④

解析 

如图,取BC的中点O,

连接MO、NO,

则OM=

AC,ON=

BD,

在△MON中,MN<

OM+ON=

(AC+BD),

∴④正确.

题型一 平面基本性质的应用

例1

 

如图所示,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是AB和

AA1的中点.求证:

(1)E、C、D1、F四点共面;

(2)CE、D1F、DA三线共点.

思维启迪 

(1)两条相交直线或两条平行直线确定一个平面;

(2)可以先证CE与D1F交于一点,然后再证该点在直线DA上.

证明 

(1)连接EF,CD1,A1B.

∵E、F分别是AB、AA1的中点,

∴EF∥BA1.

又A1B∥D1C,∴EF∥CD1,

∴E、C、D1、F四点共面.

(2)∵EF∥CD1,EF<

CD1,

∴CE与D1F必相交,设交点为P,

则由P∈CE,CE⊂平面ABCD,得P∈平面ABCD.

同理P∈平面ADD1A1.

又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,

∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点.

思维升华 基本性质1是判断一条直线是否在某个平面的依据;

基本性质2及推论是判断或证明点、线共面的依据;

基本性质3是证明三线共点或三点共线的依据.

 

(1)以下四个命题中

①不共面的四点中,其中任意三点不共线;

②若点A、B、C、D共面,点A、B、C、E共面,则点A、B、C、D、E共面;

③若直线a、b共面,直线a、c共面,则直线b、c共面;

④依次首尾相接的四条线段必共面.

正确命题的个数是(  )

A.0B.1C.2D.3

(2)a、b是异面直线,在直线a上有5个点,在直线b上有4个点,则这9个点可确定________个平面.

答案 

(1)B 

(2)9

解析 

(1)①假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不共面矛盾,故其中任意三点不共线,所以①正确.②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C,但是若A、B、C共线,则结论不正确;

③不正确;

④不正确,因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上,如空间四边形.

(2)∵a、b是异面直线,

∴a上任一点与直线b确定一平面,共5个,b上任一点与直线a确定一平面,共4个,一共9个.

题型二 判断空间两直线的位置关系

例2

 如图所示,正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N分别是A1B1、

B1C1的中点.问:

(1)AM和CN是否是异面直线?

说明理由;

(2)D1B和CC1是否是异面直线?

说明理由.

思维启迪 第

(1)问,连接MN,AC,证MN∥AC,即AM与CN共面;

(2)问可采用反证法.

解 

(1)

不是异面直线.理由如下:

连接MN、A1C1、AC.

∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点,

∴MN∥A1C1.

又∵A1A綊C1C,

∴A1ACC1为平行四边形,

∴A1C1∥AC,∴MN∥AC,

∴A、M、N、C在同一平面内,故AM和CN不是异面直线.

(2)是异面直线.证明如下:

∵ABCD—A1B1C1D1是正方体,

∴B、C、C1、D1不共面.

假设D1B与CC1不是异面直线,

则存在平面α,使D1B⊂平面α,CC1⊂平面α,

∴D1、B、C、C1∈α,与ABCD—A1B1C1D1是正方体矛盾.

∴假设不成立,即D1B与CC1是异面直线.

思维升华 

(1)证明直线异面通常用反证法;

(2)证明直线相交,通常用平面的基本性质,平面图形的性质等.

 

(1)

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列判断错误的是(  )

A.MN与CC1垂直

B.MN与AC垂直

C.MN与BD平行

D.MN与A1B1平行

(2)在图中,G、N、M、H分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号)

(3)下列命题中不正确的是________.(填序号)

①没有公共点的两条直线是异面直线;

②分别和两条异面直线都相交的两直线异面;

③一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线不可能平行;

④一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两个平面.

答案 

(1)D 

(2)②④ (3)①②

解析 

(1)连接B1C,B1D1,则点M是B1C的中点,MN是△B1CD1的中位线,∴MN∥B1D1,

∵CC1⊥B1D1,AC⊥B1D1,BD∥B1D1,

∴MN⊥CC1,MN⊥AC,MN∥BD.

又∵A1B1与B1D1相交,∴MN与A1B1不平行,故选D.

(2)图①中,直线GH∥MN;

图②中,G、H、N三点共面,但M∉面GHN,

因此直线GH与MN异面;

图③中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面;

图④中,G、M、N共面,但H∉面GMN,

因此GH与MN异面.

所以图②、④中GH与MN异面.

(3)没有公共点的两直线平行或异面,故①错;

命题②错,此时两直线有可能相交;

命题③正确,因为若直线a和b异面,c∥a,则c与b不可能平行,用反证法证明如下:

若c∥b,又c∥a,则a∥b,这与a,b异面矛盾,故c

b;

命题④也正确,若c与两异面直线a,b都相交,由基本性质2可知,a,c可确定一个平面,b,c也可确定一个平面,这样,a,b,c共确定两个平面.

构造衬托平面研究直线相交问题

典例:

(5分)在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有________条.

思维启迪 找三条异面直线都相交的直线,可以转化成在一个平面内,作与三条直线都相交的直线.因而可考虑过一条直线及另外一条直线上的一点作平面.进而研究公共交线问题.

解析 方法一 在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有1个交点N,当M取不同的位置时就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点.如图所示.

方法二 在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面α,因CD与平面α不平行,所以它们相交,设它们交于点Q,连接PQ,则PQ与EF必然相交,即PQ为所求直线.由点P的任意性,知有无数条直线与三条直线A1D1,EF,CD都相交.

答案 无数

温馨提醒 

(1)本题难度不大,但比较灵活.对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查,难度一般都不会太大.

(2)误区警示:

本题解法较多,但关键在于构造平面,但不少学生不会构造平面,因此失分较多.这说明学生还是缺少空间想象能力,缺少对空间直线位置关系的理解.

方法与技巧

1.主要题型的解题方法

(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面,再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”).

(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线,只要证明这些点都是这两个平面的公共点,根据基本性质3可知这些点在交线上,因此共线.

2.判定空间两条直线是异面直线的方法

(1)判定定理:

平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线.

(2)反证法:

证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面.

失误与防范

1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义,不要理解成“不在同一个平面内”.

2.不共线的三点确定一个平面,一定不能丢掉“不共线”条件.

A组 专项基础训练

(时间:

40分钟)

一、选择题

1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的

(  )

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件

答案 A

解析 “两条直线为异面直线”⇒“两条直线无公共点”.“两直线无公共点”⇒“两直线异面或平行”.故选A.

2.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b⊥c,则直线a与c(  )

A.一定平行

B.一定相交

C.一定是异面直线

D.平行、相交、是异面直线都有可能

解析 当a,b,c共面时,a∥c;

当a,b,c不共面时,a与c可能异面也可能相交.

3.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,

和a,且长为a的棱与长为

的棱异面,则a的取值范围是(  )

A.(0,

)B.(0,

C.(1,

)D.(1,

解析 此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体,长为a的棱长一定大于0且小于

.选A.

如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,

C∉l,则平面ABC与平面β的交线是(  )

A.直线AC

B.直线AB

C.直线CD

D.直线BC

解析 易知D∈β,D∈平面ABC,C∈β,C∈平面ABC.

∴平面ABC∩平面β=CD.

5.设P表示一个点,a、b表示两条直线,α、β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是(  )

①P∈a,P∈α⇒a⊂α

②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β

③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α

④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b

A.①②B.②③C.①④D.③④

当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a⊄α,∴①错;

a∩β=P时,

②错;

如图,∵a∥b,P∈b,∴P∉a,

∴由直线a与点P确定唯一平面α,

又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β经过直线a与点P,

∴β与α重合,∴b⊂α,故③正确;

两个平面的公共点必在其交线上,故④正确.

二、填空题

6.平面α、β相交,在α、β内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定________个平面.

答案 1或4

解析 若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行,则确定一个平面;

否则确定四个平面.

7.a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:

①若a∥b,b∥c,则a∥c;

②若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;

③若a⊂平面α,b⊂平面β,则a,b一定是异面直线.

上述命题中正确的命题是________(只填序号).

答案 ①

解析 由公理4知①正确;

当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故②不正确;

a⊂α,b⊂β,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故③不正确.

8.

如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N分别为棱C1D1、C1C的中

点,有以下四个结论:

①直线AM与CC1是相交直线;

②直线AM与BN是平行直线;

③直线BN与MB1是异面直线;

④直线AM与DD1是异面直线.

其中正确的结论为________.(注:

把你认为正确的结论的序号都填上)

答案 ③④

解析 直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,故①②错误.

三、解答题

9.如图,空间四边形ABCD中,E、F、G分别在AB、BC、CD上,

且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过E、F、G

的平面交AD于点H.

(1)求AH∶HD;

(2)求证:

EH、FG、BD三线共点.

(1)解 ∵

=2,∴EF∥AC,

∴EF∥平面ACD,而EF⊂平面EFGH,

平面EFGH∩平面ACD=GH,

∴EF∥GH,∴AC∥GH.

=3.

∴AH∶HD=3∶1.

(2)证明 ∵EF∥GH,且

∴EF≠GH,∴EFGH为梯形.

令EH∩FG=P,则P∈EH,而EH⊂平面ABD,

又P∈FG,FG⊂平面BCD,

平面ABD∩平面BCD=BD,

∴P∈BD.

∴EH、FG、BD三线共点.

10.在三棱锥P-ABC中,E是PC的中点.求证:

AE与PB是异面直线.

证明 

假设AE与PB共面,

设平面为α,

∵A∈α,B∈α,E∈α,

∴平面α即为平面ABE,

∴P∈平面ABE,

这与P∉平面ABE矛盾,

所以AE与PB是异面直线.

B组 专项能力提升

30分钟)

1.l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是(  )

A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3

B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3

C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面

D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面

答案 B

解析 当l1⊥l2,l2⊥l3时,l1与l3也可能相交或异面,故A不正确;

l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3,故B正确;

当l1∥l2∥l3时,l1,l2,l3未必共面,如三棱柱的三条侧棱,故C不正确;

l1,l2,l3共点时,l1,l2,l3未必共面,如正方体中从同一顶点出发的三条棱,故D不正确.

2.

如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图,G、H、

M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点,在这个正四面体中,

①GH与EF平行;

②BD与MN为异面直线;

③GH与MN成60°

角;

④DE与MN垂直.

以上四个命题中,正确命题的序号是________.

答案 ②③④

解析 还原成正四面体知GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成60°

角,DE⊥MN.

3.正方体ABCD—A1B1C1D1中,P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点.那么,正方体的过P、Q、R的截面图形形状是________边形.

答案 六

解析 延长PQ或(QP)分别交CB延长线于E,交CD延长线于F,取C1D1中点M,连接RM,连接RE交BB1于S,连接MF交DD1于N,连接NQ,PS,则六边形PQNMRS即为正方体ABCD—A1B1C1D1的过P、Q、R三点的截面图形.

如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,

H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证:

D1、H、O三点共线.

证明 连接BD,B1D1,

则BD∩AC=O,

∵BB1綊DD1,∴四边形BB1D1D为平行四边形,又H∈B1D,

B1D⊂平面BB1D1D,

则H∈平面BB1D1D,

∵平面ACD1∩平面BB1D1D=OD1,∴H∈OD1.

即D1、H、O三点共线.

5.定线段AB所在的直线与定平面α相交,P为直线AB外的一点,且P不在α内,若直线AP、BP与α分别交于C、D点,求证:

不论P在什么位置,直线CD必过一定点.

证明 设定线段AB所在直线为l,与平面α交于O点,即l∩α=O.

由题意可知,AP∩α=C,BP∩α=D,∴C∈α,D∈α.

又∵AP∩BP=P,∴AP、BP可确定一平面β,

且C∈β,D∈β.∴CD=α∩β.

∵A∈β,B∈β,∴l⊂β,∴O∈β.∴O∈α∩β.即O∈CD.

∴不论P在什么位置,直线CD必过一定点.

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