等边三角形专题文档格式.docx
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6.（2009•攀枝花）如图所示,在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AB上,且BD=AE,AD与CE交于点F,则∠DFC得度数为（ ）
60°
45°
40°
30°
7.（2007•绵阳）如图,在正方形ABCD得外侧,作等边△ADE,BE、CE分别交AD于G、H,设△CDH、△GHE得面积分别为S1、S2,则（ ）
3S1=2S2
2S1=3S2
2S1=S2
S1=2S2
8.（2007•娄底）如图,△ABC就是边长为6cm得等边三角形,被一平行于BC得矩形所截,AB被截成三等分,则图中阴影部分得面积为（ ）
4cm2
2cm2
3cm2
9.（2006•天津）如图,A、C、B三点在同一条直线上,△DAC与△EBC都就是等边三角形,AE、BD分别与CD、CE交于点M、N,有如下结论:
①△ACE≌△DCB;
②CM=CN;
③AC=DN.其中,正确结论得个数就是（ ）
3个
2个
1个
0个
10.（2006•南宁）如图就是一个等边三角形木框,甲虫P在边框AC上爬行（A,C端点除外）,设甲虫P到另外两边得距离之与为d,等边三角形ABC得高为h,则d与h得大小关系就是（ ）
d＞h
d＜h
d=h
无法确定
11.（2007•南充）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°
得方向行驶40海里到达B地,再由B地向北偏西20°
得方向行驶40海里到达C地,则A、C两地相距（ ）
30海里
40海里
50海里
60海里
12.（2006•曲靖）如图,CD就是Rt△ABC斜边AB上得高,将△BCD沿CD折叠,B点恰好落在AB得中点E处,则∠A等于（ ）
25°
13.（2011•茂名）如图,已知△ABC就是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E= _________ 度.
14.（2008•日照）如图,C为线段AE上一动点（不与点A,E重合）,在AE同侧分别作正三角形ABC与正三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下五个结论:
①AD=BE;
②PQ∥AE;
③AP=BQ;
④DE=DP;
⑤∠AOB=60度.恒成立得结论有 _________ .（把您认为正确得序号都填上）
15.（2005•扬州）如图,将边长为4得等边△ABC,沿x轴向左平移2个单位后,得到△A′B′C′,则点A′得坐标为 _________ .
16.（2004•茂名）如图,正三角形A1B1C1得边长为1,△A1B1C1得三条中位线组成△A2B2C2,△A2B2C2得三条中线又组成△A3B3C3,…,如此类推,得到△AnBnCn.则:
（1）△A3B3C3得边长a3= _________ ;
（2）△AnBnCn得边长an= _________ （其中n为正整数）.
17.（2006•嘉峪关）△ABC为等边三角形,
D、E、F分别在边BC、CA、AB上,且
AE=CD=BF,则△DEF为 _________ 三角形.
18.（1999•广州）如图,以A,B两点为其中两个顶点作位置不同得等边三角形,最多可以作出 _________ 个.
19.如图所示,P就是等边三角形ABC内一点,将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°
得到△CBP′,若PB=3,则PP′= _________ .
20.（2009•浙江）如图,在边长为4得正三角形ABC中,AD⊥BC于点D,以AD为一边向右作正三角形ADE.
（1）求△ABC得面积S;
（2）判断AC、DE得位置关系,并给出证明.
21.（2009•辽阳）如图,△ABC为正三角形,D为边BA延长线上一点,连接CD,以CD为一边作正三角形CDE,连接AE,判断AE与BC得位置关系,并说明理由.
22.（2008•绍兴）附加题,学完“几何得回顾”一章后,老师布置了一道思考题:
如图,点M,N分别在正三角形ABC得BC,CA边上,且BM=CN,AM,BN交于点Q.求证:
∠BQM=60度.
（1）请您完成这道思考题;
（2）做完
（1）后,同学们在老师得启发下进行了反思,提出了许多问题,如:
①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°
”得位置交换,得到得就是否仍就是真命题？
②若将题中得点M,N分别移动到BC,CA得延长线上,就是否仍能得到∠BQM=60°
？
③若将题中得条件“点M,N分别在正三角形ABC得BC,CA边上”改为“点M,N分别在正方形ABCD得BC,CD边上”,就是否仍能得到∠BQM=60°
…
请您作出判断,在下列横线上填写“就是”或“否”:
① _________ ;
② _________ ;
③ _________ .并对②,③得判断,选择一个给出证明.
23.（2007•河北）在△ABC中,AB=AC,CG⊥BA交BA得延长线于点G.一等腰直角三角尺按如图1所示得位置摆放,该三角尺得直角顶点为F,一条直角边与AC边在一条直线上,另一条直角边恰好经过点B.
（1）在图1中请您通过观察、测量BF与CG得长度,猜想并写出BF与CG满足得数量关系,然后证明您得猜想;
（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示得位置时,一条直角边仍与AC边在同一直线上,另一条直角边交BC边于点D,过点D作DE⊥BA于点E.此时请您通过观察、测量DE、DF与CG得长度,猜想并写出DE+DF与CG之间满足得数量关系,然后证明您得猜想;
（3）当三角尺在
（2）得基础上沿AC方向继续平移到图3所示得位置（点F在线段AC上,且点F与点C不重合）时,
（2）中得猜想就是否仍然成立（不用说明理由）.
24.（2004•苏州）已知:
如图,正△ABC得边长为a,D为AC边上得一个动点,延长AB至E,使BE=CD,连接DE,交BC于点P.
（1）求证:
DP=PE;
（2）若D为AC得中点,求BP得长.
25.（2002•黑龙江）已知等边△ABC与点P,设点P到△ABC三边AB、AC、BC得距离分别为h1、h2、h3,△ABC得高为h.“若点P在一边BC上（如图1）,此时h3=0,可得结论h1+h2+h3=h”请直接应用上述信息解决下列问题:
（1）当点P在△ABC内（如图2）,
（2）点P在△ABC外（如图3）这两种情况时,上述结论就是否还成立？
若成立,请给予证明;
若不成立,h1、h2、h3与h之间得关系如何？
请写出您得猜想,不需证明.
26.（2000•河南）如图,点C、D在线段AB上,△PCD就是等边三角形.
（1）当AC、CD、DB满足怎样得关系时,△ACP∽△PDB;
（2）当△ACP∽△PDB时,求∠APB得度数.
27.（2010•雅安）如图,点C就是线段AB上除点A、B外得任意一点,分别以AC、BC为边在线段AB得同旁作等边△ACD与等边△BCE,连接AE交DC于M,连接BD交CE于N,连接MN.
AE=BD;
（2）求证:
MN∥AB.
28.（2005•临沂）如图,已知AD与BC交于点O,且△OAB与△OCD均为等边三角形,以OD与OB为边作平行四边形ODEB,连接AC、AE与CE,CE与AD相交于点F.
求证:
△ACE为等边三角形.
29.已知:
如图,△ABC、△CDE都就是等边三角形,AD、BE相交于点O,点M、N分别就是线段AD、BE得中点.
AD=BE;
（2）求∠DOE得度数;
（3）求证:
△MNC就是等边三角形.
30.如图,等边△ABC得边长为10,点P就是边AB得中点,Q为BC延长线上一点,CQ:
BC=1:
2,过P作PE⊥AC于E,连PQ交AC边于D,求DE得长？
《全等三角形》练习参考答案与试题解析
1.C 2.C 3.C 4.D5、B6、A7、A9、B10、C11、B12、B13.∠E= 15 度.14. ①②③⑤ .
15.、16.a3=;
△AnBnCn得边长an= （或21﹣n）
17. 等边 三角形.18. 2 个.19PP′= 3 .
20.
解:
（1）在正△ABC中,AD=4×
（2分）
∴S=BC×
AD=×
4×
2=4.（3分）
（2）AC、DE得位置关系:
AC⊥DE.（1分）
在△CDF中,∵∠CDE=90°
﹣∠ADE=30°
∴∠CFD=180°
﹣∠C﹣∠CDE=180°
﹣60°
﹣30°
=90°
.
∴AC⊥DE.（3分）
（注:
其它方法酌情给分）.
21.
AE∥BC.理由如下:
∵△ABC与△CDE为正三角形,
∴BC=AC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,
即∠BCD=∠ACE,
∴△BCD≌△ACE,
∴∠B=∠EAC,
∵∠B=∠ACB,
∴∠EAC=∠ACB,
∴AE∥BC.
22.请您作出判断,在下列横线上填写“就是”或“否”:
① 就是 ;
② 就是 ;
③ 否 .并对②,③得判断,选择一个给出证明.
（1）证明:
在△ABM与△BCN中,
∴△ABM≌△BCN,
∴∠BAM=∠CBN,
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°
（2）①就是;
②就是;
③否.
②得证明:
如图,
在△ACM与△BAN中,
∴△ACM≌△BAN,
∴∠AMC=∠BNA,
∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°
=120°
∴∠BQM=60°
③得证明:
在Rt△ABM与Rt△BCN中,
∴Rt△ABM≌Rt△BCN,
∴∠AMB=∠BNC.
又∠NBM+∠BNC=90°
∴∠QBM+∠QMB=90°
∴∠BQM=90°
即∠BQM≠60°
23
（1）BF=CG;
证明:
在△ABF与△ACG中
∵∠F=∠G=90°
∠FAB=∠GAC,AB=AC
∴△ABF≌△ACG（AAS）
∴BF=CG;
（2）DE+DF=CG;
过点D作DH⊥CG于点H（如图2）
∵DE⊥BA于点E,∠G=90°
DH⊥CG
∴四边形EDHG为矩形
∴DE=HG,DH∥BG
∴∠GBC=∠HDC
∵AB=AC
∴∠FCD=∠GBC=∠HDC
又∵∠F=∠DHC=90°
CD=DC
∴△FDC≌△HCD（AAS）
∴DF=CH
∴GH+CH=DE+DF=CG,即DE+DF=CG;
（3）仍然成立.
过点D作DH⊥CG于点H（如图3）
∴四边形EDHG为矩形,
∴DE=HG,DH∥BG,
∴∠GBC=∠HDC,
∵AB=AC,
∴∠FCD=∠GBC=∠HDC,
CD=DC,
∴DF=CH,
∴GH+CH=DE+DF=CG,
即DE+DF=CG.
24.
过点D作DF∥AB,交BC于F.
∵△ABC为正三角形,
∴∠CDF=∠A=60°
∴△CDF为正三角形.
∴DF=CD.
又BE=CD,
∴BE=DF.
又DF∥AB,
∴∠PEB=∠PDF.
∵在△DFP与△EBP中,
∵,
∴△DFP≌△EBP（AAS）.
∴DP=PE.
（2）解:
由
（1）得△DFP≌△EBP,可得FP=BP.
∵D为AC中点,DF∥AB,
∴BF=BC=a.
∴BP=BF=a.
25.
（1）当点P在△ABC内时,结论h1+h2+h3=h仍然成立.
理由如下:
过点P作BC得平行线,交AB于G,交AC于H,交AM于N,则可得结论h1+h2=AN.
∵四边形MNPF就是矩形,
∴PF=MN,即h3=MN.
∴h1+h2+h3=AN+MN=AM=h,
即h1+h2+h3=h.
（2）当点P在△ABC外时,结论h1+h2+h3=h不成立.此时,它们得关系就是h1+h2﹣h3=h.
过点P作BC得平行线,与AB、AC、AM分别相交于G、H、N,则可得结论h1+h2=AN.
∴h1+h2﹣h3=AN﹣MN=AM=h,
即h1+h2﹣h3=h.
26.
（1）当CD2=AC•DB时,△ACP∽△PDB,
∵△PCD就是等边三角形,
∴∠PCD=∠PDC=60°
∴∠ACP=∠PDB=120°
若CD2=AC•DB,由PC=PD=CD可得:
PC•PD=AC•DB,
即=,
则根据相似三角形得判定定理得△ACP∽△PDB
（2）当△ACP∽△PDB时,∠APC=∠PBD
∵∠PDB=120°
∴∠DPB+∠DBP=60°
∴∠APC+∠BPD=60°
∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°
即可得∠APB得度数为120°
27.
（1）∵△ACD与△BCE就是等边三角形,
∴AC=DC,CE=CB,∠DCA=60°
∠ECB=60°
∵∠DCA=∠ECB=60°
∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE,∠ACE=∠DCB,
在△ACE与△DCB中,
∴△ACE≌△DCB,
∴AE=BD;
（2）∵由
（1）得,△ACE≌△DCB,
∴∠CAM=∠CDN,
∵∠ACD=∠ECB=60°
而A、C、B三点共线,
∴∠DCN=60°
在△ACM与△DCN中,
∴△ACM≌△DCN,
∴MC=NC,
∵∠MCN=60°
∴△MCN为等边三角形,
∴∠NMC=∠DCN=60°
∴∠NMC=∠DCA,
∴MN∥AB.
28.
∵△OAB与△OCD为等边三角形,
∴CD=OD,OB=AB,∠ADC=∠ABO=60°
∵四边形ODEB就是平行四边形,
∴OD=BE,OB=DE,∠CBE=∠EDO.
∴CD=BE,AB=DE,∠ABE=∠CDE.
∴△ABE≌△EDC.
∴AE=CE,∠AEB=∠ECD.
∵BE∥AD,
∴∠AEB=∠EAD.
∴∠EAD=∠ECD.
在△AFE与△CFD中
又∵∠AFE=∠CFD,
∴∠AEC=∠ADC=60°
∴△ACE为等边三角形.
29.
（1）∵△ABC、△CDE都就是等边三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,
∴∠ACD=∠BCE,
在△ACD与△BCE中
∴△ACD≌△BCE,
∴AD=BE.
∵△ACD≌△BCE,
∴∠ADC=∠BEC,
∵等边三角形DCE,
∴∠CED=∠CDE=60°
∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED,
=∠ADC+60°
+∠BED,
=∠CED+60°
=60°
+60°
∴∠DOE=180°
﹣（∠ADE+∠BED）=60°
答:
∠DOE得度数就是60°
（3）证明:
∴∠CAD=∠CBE,AD=BE,AC=BC
又∵点M、N分别就是线段AD、BE得中点,
∴AM=AD,BN=BE,
∴AM=BN,
在△ACM与△BCN中
∴△ACM≌△BCN,
∴CM=CN,
∠ACM=∠BCN,
又∠ACB=60°
∴∠ACM+∠MCB=60°
∴∠BCN+∠MCB=60°
∴∠MCN=60°
∴△MNC就是等边三角形.
30.
过P点作PF∥BC交AC于F点,
∵等边△ABC得边长为10,点P就是边AB得中点,CQ:
2,
∴AB=BC,∠B=∠ACB=∠A=60°
∴AP=CQ,
∵PF∥AB,
∴∠APF=∠B=60°
∠AFP=∠ACB=60°
∴∠A=∠APF=∠AFP=60°
∴△APF就是等边三角形,
∵PE⊥AC,
∴EF=AF,
∵△APF就是等边三角形,AP=CQ,
∴PF=CQ
∴∠Q=∠FPD,
在△PDF与△QDC中
∴△PDF≌△QDC,
∴DF=CD,∴DF=CF,
∴DE=EF+DF=AF+CF=AC,
∴ED=5.
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