4．已知多项式f（x）＝4x5＋3x4＋2x3－x2－x－，用秦九韶算法求f（－2）等于（ ）
A．－B.
C.D．－
解析：
选A ∵f（x）＝（（（（4x＋3）x＋2）x－1）x－1）x－，∴f（－2）＝－.
求最大公约数
[典例] 求228与1995的最大公约数．
[解] 法一：
（辗转相除法）1995＝8×228＋171,228＝1×171＋57,171＝3×57，
所以228与1995的最大公约数为57.
法二：
（更相减损术）1995－228＝1767,1767－228＝1539，
1539－228＝1311,1311－228＝1083，
1083－228＝855,855－228＝627，
627－228＝399,399－228＝171，
228－171＝57,171－57＝114，
114－57＝57.
所以228与1995的最大公约数为57.
辗转相除法计算次数少，步骤简捷，更相减损术计算次数多，步骤复杂，但是更相减损术每一步的计算都是减法，比做除法运算要简单一些，一般当数较小时可以考虑用更相减损术，当数较大时可以考虑用辗转相除法．
[活学活用]
用辗转相除法和更相减损术求1515与600的最大公约数，需要运算的次数分别为（ ）
A．4,15 B．5,14
C．5,13D．4,12
解析：
选B 辗转相除法：
1515＝600×2＋315；600＝315×1＋285,315＝285×1＋30,285＝30×9＋15,30＝15×2，故最大公约数为15，且需计算5次．用更相减损术：
1515－600＝915,915－600＝315,600－315＝285，315－285＝30,285－30＝255,255－30＝225，225－30＝195,195－30＝165,165－30＝135,135－30＝105，105－30＝75,75－30＝45,45－30＝15,30－15＝15.故最大公约数为15，且需计算14次.
秦九韶算法的应用
[典例] 用秦九韶算法求多项式f（x）＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1，当x＝2时的值．
[解] 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f（x）＝8x7＋5x6＋0·x5＋3·x4＋0·x3＋0·x2＋2x＋1＝（（（（（（8x＋5）x＋0）x＋3）x＋0）x＋0）x＋2）x＋1.
而x＝2，所以有
v0＝8，
v1＝8×2＋5＝21，
v2＝21×2＋0＝42，
v3＝42×2＋3＝87，
v4＝87×2＋0＝174，
v5＝174×2＋0＝348，
v6＝348×2＋2＝698，
v7＝698×2＋1＝1397.
所以当x＝2时，多项式的值为1397.
应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的3个问题
（1）要正确将多项式的形式进行改写．
（2）计算应由内向外依次计算．
（3）当多项式函数中间出现空项时，要以系数为零的齐次项补充．
[活学活用]
用秦九韶算法写出当x＝3时，f（x）＝2x5－4x3＋3x2－5x＋1的值．
解：
因为f（x）＝（（（（2x＋0）x－4）x＋3）x－5）x＋1，
v0＝2，v1＝2×3＋0＝6，v2＝6×3－4＝14，v3＝14×3＋3＝45，v4＝45×3－5＝130，v5＝130×3＋1＝391，
所以f（3）＝391.
进位制
[典例]
（1）把二进制数101101
（2）化为十进制数为________．
（2）将十进制数458转化为四进制数为________．
（3）比较85（9）和210（6）的大小．
[解析]
（1）101101
（2）＝1×25＋0×24＋1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝32＋8＋4＋1＝45，
所以二进制数101101
（2）转化为十进制的数为45.
（2）
所以458＝13022（4）．
答案：
（1）45
（2）13022（4）
（3）解：
因为85（9）＝5＋8×9＝77，
210（6）＝0＋1×6＋2×62＝78，
而78>77，所以210（6）>85（9）．
十进制数转化为其他进制数的方法步骤
[活学活用]
（1）将101111011
（2）转化为十进制的数；
（2）将235（7）转化为十进制的数；
（3）将137（10）转化为六进制的数；
（4）将53（8）转化为二进制的数．
解：
（1）101111011
（2）＝1×28＋0×27＋1×26＋1×25＋1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝379（10）．
（2）235（7）＝2×72＋3×71＋5×70＝124（10）．
（3）
∴137（10）＝345（6）．
（4）53（8）＝5×81＋3×80＝43（10）．
∴53（8）＝101011
（2）．
[层级一 学业水平达标]
1．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法运算的次数是（ ）
A．1 B．2
C．3D．4
解析：
选B 294＝84×3＋42,84＝42×2，故需要做2次除法运算．
2．三位四进制数中的最大数等于十进制数的（ ）
A．63B．83
C．189D．252
解析：
选A 三位四进制数中的最大数为333（4），则333（4）＝3×42＋3×41＋3＝63.
3．把389化为四进制数，则该数的末位是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
解析：
选A 由389＝4×97＋1,97＝4×24＋1,24＝4×6＋0,6＝4×1＋2,1＝4×0＋1,389化为四进制数的末位是第一个除法代数式中的余数1.
4．在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：
16－12＝4,12－4＝8,8－4＝4.由此可以看出12和16的最大公约数是（ ）
A．4B．12
C．16D．8
解析：
选A 根据更相减损术的方法判断．
[层级二 应试能力达标]
1．4830与3289的最大公约数为（ ）
A．23 B．35
C．11D．13
解析：
选A 4830＝1×3289＋1541；
3289＝2×1541＋207；
1541＝7×207＋92；
207＝2×92＋23；92＝4×23；
∴23是4830与3289的最大公约数．
2．用辗转相除法求72与120的最大公约数时，需要做除法次数为（ ）
A．4B．3
C．5D．6
解析：
选B 120＝72×1＋48，
72＝48×1＋24，
48＝24×2.
3．用更相减损术求459与357的最大公约数，需要做减法的次数为（ ）
A．4B．5
C．6D．7
解析：
选B 459－357＝102,357－102＝255,255－102＝153,153－102＝51,102－51＝51，所以459与357的最大公约数为51，共做减法5次．
4．下列各数，化为十进制后，最大的为（ ）
A．101010
（2）B．111（5）
C．32（8）D．54（6）
解析：
选A 101010
（2）＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋0×20＝42,111（5）＝1×52＋1×51＋1×50＝31,32（8）＝3×81＋2×80＝26,54（6）＝5×61＋4×60＝34.
故转化为十进制后，最大的是101010
（2）．
5.阅读程序框图，利用秦九韶算法计算多项式f（x）＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，当x＝x0时，框图中A处应填入________．
解析：
f（x）＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，先用秦九韶算法改为一次多项式，
f（x）＝（…（（anx＋an－1）x＋an－2）x＋…＋a1）x＋a0.
f1＝an；k＝1，f2＝f1x0＋an－1；
k＝2，f3＝f2x0＋an－2；…；
归纳得第k次fk＋1＝fkx0＋an－k.故A处应填an－k.
答案：
an－k
6．三进制数2012（3）化为六进制数为abc（6），则a＋b＋c＝________.
解析：
2012（3）＝2×33＋0×32＋1×31＋2×30＝59.
三进制数2012（3）化为六进制数为135（6），∴a＋b＋c＝9.
答案：
9
7．三位七进制数表示的最大的十进制数是______
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