问题二阶线性常微分方程边值问题的数值解法.docx

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问题二阶线性常微分方程边值问题的数值解法

【关键字】问题

重庆三峡学院毕业论文

论文题目：

二阶线性常微分方程边值问题的数值解法

专业：

数学与应用数学

年级：

2004级

学号：

0203

作者：

指导老师：

查中伟（教授）

完成时间：

2008年5月

二阶线性常微分方程边值问题的数值解法

摘要对于二阶线性常微分方程定解问题，大多数是不存在解析解的，有的方程既使存在解析解，然而解出其解也是很难办到的.尤其是工程计算中更需要的是数值解.因此,本文给出两种二阶线性常微分方程边值问题的数值解法.首先给出了利用差分法求其数值解，在介绍此方法的过程中，第一步构造了二阶线性常微分方程边值问题的差分格式（差分方程组），然后论证了该边值问题的收敛性，最后利用二阶微分的四阶紧致差分公式对第一步构造的差分格式进行精度上的改进，得到了较好的结果.接着介绍了二阶线性常微分方程边值问题的第二种数值解法——Taylor展开解法，该方法主要是先将边值问题转化为Fredholm积分方程，再经过数学处理即可得到关于近似解、近似解的一阶导数和近似解的二阶导数的线性方程组，最后利用Crammer法则解出了该二阶线性常微分方程边值问题的数值解.并且利用工程数学软件MATLAB，给出了计算机程序，使前面两种算法在计算机上得以实现.最后给出了具体实例，分别运用以上两种解法进行求解，对这两种方法的计算精度进行了对比分析.

关键词数值解；差分格式；解的收敛性；MATLAB

NumericalSolutionforBoundaryValueProblemsof

theSecond-orderLinearordinaryDifferentialEquations

Kai-minCheng

（Grade2004,mathematicsandappliedmathematics,SchoolofMathematicsandComputerScience,,ChongqingWanzhou404000）

Abstract:

Thereisnoexactsolutionforthemajorityofsecond-orderlinearordinarydifferentialequations’solutionproblem.Someofthemevenexiststheexactsolution,buttosolveitssolutionisaverydifficultjob.Especially,weneedthenumericalsolutionurgentlyinEngineeringMathematics.Basedonthis,thispapergivestwokindsofnumericalsolutionforBoundaryValueProblemsofthesecond-orderlinearordinarydifferentialequations.Firstly,thispapergivesthedifferencemethodtosolveitsnumericalsolution.Intheprocessofintroducingthismethod,weconstructdifferentialformatoftheBoundaryValueProblemsinthefirststep.ThenwedemonstratetheconvergenceoftheBoundaryValueProblem.Finally,weimprovetheaccuracyforthedifferenceformatconstructedinfirststepbythefour-orderdifferentialformatSecondly,thispapergivesmethodofexpansiontosolveitsnumericalsolution.Inthismethod,wefirsttransformtheboundaryvalueproblemsintoFredholmintegralequation,andthencangetagroupoflinearequationswithunknownstotheapproximatesolution,thefirstorderderivativeoftheapproximatesolutionandthesecondderivativeoftheapproximatesolutionaftermathematicaltreatment,andcansolveitinCrammerrule.Thirdly,wewriteanalgorithmprogrambyusingengineeringmathematicalsoftwareandmakeabovetwomethodsrealizedonthecomputer.Finally,thispapergivesaspecificexampleandsolvesitwithabovetwomethodsseparately.Thispaperalsoanalyzesthefeasibilityfortheiraccuracy.

Keywords:

Numericalsolutions;Differentialformat;Theconvergenceofsolutions;Matlablanguage

0引言

当前，常微分方程的定解问题已经有很多重要结果，如解的存在性定理.在很多典型的常微分方程的解法上也有较大突破，同时也涌现出了一批较为经典的解法，如降阶法、积分变换法、变易常数法、特征方程法等方法.尽管如此，在数学领域中还存在着迄今为止还难以解出其解析解的微分方程，这就使得微分方程领域必然会产生一个新的微分方程分支——微分方程数值解法.

对于较为简单的常微分方程，只需利用经典解法即可解出其解析解，边值问题也是如此.往往在实际工程中抽象出来的微分方程，其边值问题是相当复杂的，所以用求其解析解的方法来计算微分方程的边值问题往往是不适宜的，有时甚至是很难办到的.实际上，对于解微分方程，我们所要获取的或感兴趣的，往往只是一个或几个特定点上的数据，并且既使有的方程存在解析解，也并不意味着其一定能够表达成初等函数形式，如多项式函数、对数函数、指数函数、三角函数、反三角函数以及它们的有限组合形式.在利用数值计算方法理论的基础上，再辅之计算机若能很好的解决现实工程数学中的许多常微分方程的边值问题，这是非常好的.本文主要论述二阶线性常微分方程边值问题数值解的两种解法：

差分法和Taylor展开法.

考虑二阶线性常微分方程的边值问题

（1）

1差分法

1.1差分格式的构造

对于边值问题

（1）将区间进等距划分，分点为：

其中

称与为边界点，称为内部节点.

在每个节点上将用差商近似表示.这里要求有相同的截断误差，以保证精度协调.对于内部节点，二阶导数用二阶中心差商表示，得

，

（2）

一阶导数用一阶中心差商表示，得

，（3）

假设，则

；

于是方程

（1）的差分方程：

，（4）

其中，，.

称（4）为

（1）的中心差分格式.

1.2差分格式（4）的收敛性

作适当变换可以消除线性方程

（1）中的一阶导数项.事实上，可令，再作，将之代入

（1）得

所以，不妨仅就缺少一阶导数项的方程来讨论.对于边值问题：

（5）

这里假定，其对应的差分问题是：

（6）

下面讨论差分问题（6）的可解性.由于（6）式是关于变量的线性方程组，要证明它的解存在唯一，只要证明对应的齐次方程组只有零解.为此，引进文献[5]的极值原理：

引理1（极值原理）对于一组不全相等的数，记

其中

如果，则的正的最大值只能是或；如果

，则的负的最小值只能是或.

证明用反证法考察的情形，设是正的最大值，即

，且和中至少有一个小于，此时有:

由于，故由上式推出，此与原假设矛盾.

此外，的情形可类似地进行讨论，证毕.

利用引理1的结论有：

定理1差分问题（6）的解存在并且是唯一的.

证明只要证明对应的其次方程组

只有零解，由于这里，由极值原理知，的正的最大值和负的最小值只能是或，而按边界条件，故所有全为零，证毕.

下面运用极值原理论证差分方法的收敛性并估计误差.

定理2设是差分问题（6）的解，而是边值问题（6）的解在节点处的值.则截断误差有估计式：

（7）

式中

证明由Taylor展开式，易得

（8）

将（8）与（6）相减，知误差满足

（9）

式中的一般不知道的，讨论下列差分问题

（9-1）

式中.

首先证明（9）和（9-1）两个差分问题的解存在下列关系：

（10）

事实上，由于，故有

又

利用引理1知，即（10）式成立.

我们进一步考察

（11）

这里，又，故由引理1（注意时就是），知，即，于是有

然而是容易求出的.事实上，可以先求解差分问题（9）所对应的边值问题

得

容易验证是差分问题（11）的解，注意到在点达到最大值

因此有估计式（7），证毕.

根据估计式（7）知，当时有，这表明差分问题（6）是收敛的.

又因为（4）式是含有个未知数的线性方程组，方程的个数，要使方程组（4）有唯一解，还需要有两个边值条件，它们和（4）一起构成三对角方程组.通过分解，采用追赶法即可解出（4）（见3.1）

1.3差分格式（4）的改进

从1.2的讨论可以得知，在1.1构造的差分格式是直接的中心差分格式，其截断误差是即有二阶精度.基于中心差分格式的分析，直接利用二阶微分的四阶紧致差分公式，我们得到了数值求解二阶线性常微分方程边值问题的一种四阶精度的差分格式.

1.3.1改进后的差分格式的推导

为了便于推导，可将方程

（1）改写为

（12）

为了使格式具有更高得精度，利用[11]中的四阶差分公式

（13）

其中，为二阶中心差分算子

（14）

可以表示、、及等.

将（13）代入（12）得:

（15）

即

（16）

而

（2）即为

（17）

联立（16）（17）知

（18）

即

（19）

显然要使（19）具有四阶精度，必须对也进行四阶离散，于是利用Taylor公式知

（20）

又由（12）可得

（21）

于是有

（22）

再将

（2）、（3）、（21）及（22）代入（19），经整理并略去高阶项可得

（23）

其中

（24）

（25）

（26）

（27）

故差分方程（23）即为所要推导的四阶精度格式，其截断误差为.

1.3.2差分格式（23）稳定性分析

现对改进后的差分格式（23）进行稳定性分析.首先引用文献[12]对差分方程的稳定性的定义.

定义1（差分算子的稳定性定义）如果对于充分小的网格步长，线性差分算子对任何离散函数均存在不依赖于的正常数，使得

（28）

则称差分算子是稳定的.

为了论证差分格式（23）的稳定性，先引入文献[13]的一个引理.

引理2假设是正型差分算子，