圆形薄板在均布载荷作用下的挠度Word文档格式.docx
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①薄膜力——中面内的拉、压力和面内剪力，并产生面内变形
②弯曲内力——弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形
◆当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲载荷也会产生面内力，所以，大挠度分析要比小挠度分析复杂的多。
◆本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论。
4、弹性薄板的小挠度理论基本假设---克希霍夫Kirchhoff
①板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切变形，只有沿中面法线w的挠度。
只有横向力载荷
②变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同一法线上，且法线上各点间的距离不变。
类同于梁的平面假设:
变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。
③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应力较小，可忽略不计。
◆研究:
弹性,薄板/受横向载荷/小挠度理论/近似双向弯曲问题
3.4.2圆平板对称弯曲微分方程
分析模型
分析模型：
半径R，厚度t的圆平板受轴对称载荷Pz，在r、θ、z圆柱坐标系中，内力Mr、Mθ、Qr三个内力分量
轴对称性：
几何对称，载荷对称，约束对称，在r、θ、z圆柱坐标系中，挠度w只pz
是r的函数，而与θ无关。
求解思路：
经t/2一系列推导（基于平衡、几何、物理方程）→弯r曲挠度微分方程（pz:
w）
t/2
→求w求→内力
M→求应力
z
微元体：
用半径为r和r+dr的圆柱a面.和夹角为dθ的两个径向截面截取板上一微元体
微元体内力
径向：
Mr、Mr+（dMr/dr）dr
周向：
Mθ、Mθ
横向剪力：
Qr、Qr+（dQr/dr）dr
微元体外力：
上表面Ppzrddr
1、平衡方程
dr
Qr
d.
za.
Qrdr
圆平板在轴对称载y荷下的平衡方程）c.
2、几何协调方程（W~ε）
取ABdr，径向截面上与中面相距为z，半径为r与rdr两点A与B构成的微段
板变形后：
应变与挠度关系的几何方程：
d2w
rzdr2
dr（2-55）
zdw
rdr
3、物理方程
根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力状态。
由广义虎克
定律可得圆板物理方程为：
2-56）
4、圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程
（2-55）代入（2-56）式：
Ezd2wdw
2-57）
r12dr2rdr
2
Ez1dwdw
12rdrdr2
可见，r和沿着厚度（即z方向）均为线性分布，图2-31中所示为径向应力的分布图
图2-31圆平板内的应力与内力之间的关系
的线性分布力系便组成弯矩Mr、M。
单位长度上的径向弯矩为：
t2E
d2w
dw
z2dz
21
2dr2
t
Mr2trzdz
参照38页壳体的抗弯刚度，——“抗弯刚度”与圆板的几何尺寸及材料性能有关
（2-58）代入（2-57），得弯矩和应力的关系式为：
12Mr
2-59）
12tM3rz12M
t3z
即：
受轴对称横向载荷圆形薄板小挠度弯曲微分方程：
d1dd
r
drrdrdr
D
2-60）
Qr值可依不同载荷情况用静力法求得
3.4.3圆平板中的应力（圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程的应用）
承受均布载荷时圆平板中的应力：
①简支②固支
承受集中载荷时圆平板中的应力
图2-32均布载荷作用时圆板内Qr的确定
、承受均布载荷时圆平板中的应力
据图2-32，可确定作用在半径为r的圆柱截面上的剪力，即：
rppr
2r2
代入2-60式中，得均布载荷作用下圆平板弯曲微分方程为：
d1ddwrdrrdrdr
pr
2D
对r连续两次积分得到挠曲面在半径方向的斜率：
3
dwprC1rC2dr16D2r
2-61）
对r连续三次积分，得到中面在弯曲后的挠度
4pr464D
C1r
C2lnrC3
2-62）
C2
因而要求积分常数
C1、C2、C3均为积分常数。
对于圆平板在板中心处（r=0）挠曲面之斜率与挠度均为有限值，＝0，于是上述方程改写为：
式中C1、C3由边界条件确定
下面讨论两种典型支承情况（两种边界条件）
①周边固支圆平板
②周边简支圆平板
p
R
a.b.
周边固支圆平板周边简支圆平板图2-33承受均布横向载荷的圆板
pR2
8D
pR4
64D
1、周边固支圆平板：
（在支承处不允许有挠度和转角）
周边固支圆平板
rR,0
rR,w0
C1将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数：
C3
代入式（2-63）得周边固支平板的斜率和挠度方程：
dwdrw
prR2
16D
22
R2r2
2-64）
将挠度w对r的一阶导数和二阶导数代入式（2-58），便得固支条件下的周边固支
圆平板弯矩表达式：
Mr
16
R21
r23
M
r213
2-65）
由此（代入2-59）弯曲应力计算试，可得r处上、下板面的应力表达式：
周边固支圆平板下表面的应力分布，如图2-34（a）所示
图2-34圆板的弯曲应力分布（板下表面）
2、周边简支圆平板
将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数C1、C3：
代入式（2-63）得周边简支平板的挠度方程：
222R2r224R2R2r2
2-67）
b.
周边简支圆平板
弯矩表达式：
Mrp3R2r2
2-68）
r16
MpR23r213
应力表达式：
m3p23R2r2
2-69）
8t2
3p22
m2R3r13
可以看出，最大弯矩和相应的最大应力均在板中心处r0，
周边简支板下表面的应力分布曲线见图2-34（b）。
a.
b.图2-34圆板的弯曲应力分布（板下表面）
3、比较两种支承
a.边界条件
周边固支时:
R,
0dr
w0
周边简支时:
Mr0
b.挠度
c.
2-70）
2-71）
表明:
周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度
d.应力
周边固支圆平板中的最大正应力为支承处的径向应力，其值为
f
rmax
3pR2
4t2
2-72）
周边简支圆平板中的最大正应力为板中心处的径向应力，其值为
表明:
周边简支板的最大正应力大于周边固支板的应力
内力引起的切应力：
在均布载荷p作用下，圆板柱面上的最大剪力
max
pR
p2R（r
R处），
近似采用矩形截面梁中最大切应力公式
3Q
2bh
得到3Qrmax3pR
得到max
21t4t
2最大正应力与Rt2同一量级；
最大切应力则与Rt同一量级。
因而对于薄板R>
>
t，板内的正应力远比切应力大。
从以上可以看出：
max与wmax圆平板的材料（E、μ）、半径、厚度有关•若构成板的材料和载荷已确定，则减小半径或增加厚度都可减小挠度和降低最大正
应力。
•工程中较多的是采用改变其周边支承结构，使它更趋近于固支条件•增加圆平板厚度或用正交栅格、圆环肋加固平板等方法来提高平板的强度与刚度
4、结论
a.板内为二向应力状态：
r、且为弯曲应力，平行于中面各层相互之间的正应力z及剪力Qr引起的切应力均可予以忽略。
b.应力分布:
沿厚度呈线性分布,且最大值在板的上下表面。
沿半径呈抛物线分
布,且与周边支承方式有关
工程实际中的圆板周边支承是介于两者之间的形式。
c.强度:
e.刚度:
∴周边固支的圆平板在刚度和强度两方面均优于周边简支圆平板
f.薄板结构的最大弯曲应力max与Rt成正比，而薄壳的最大拉（压）应力max与Rt成正比。
故在相同Rt条件下，薄板所需厚度比薄壳大。
、承受集中载荷时圆平板中的应力
挠度微分方程式（2-60）中，剪力Qr可由图2-35中的平衡条件确定：
Qr2Fr
采用与求解均布载荷圆平板应力相同的方法，可求得周边固支与周边简支圆板的挠度
和弯矩方程及计算其应力值
图2-35圆板中心承受集中载荷时板中的剪力Qr
3.4.4承受轴对称载荷时环板中的应力
◆通常的环板仍主要受弯曲，仍可利用上述圆板的基本方程求解环板的应力、应变，只是在内孔边缘上增加了一个边界条件。
◆当环板内半径和外半径比较接近时，环板可简化为圆环。
圆环在沿其中心线（通过形心）均布力矩M作用下，矩形截面只产生微小的转角而无其它变形，从而在圆环上
产生周向应力。
这类问题虽然为轴对称问题，但不能应用上述圆平板的基本方程求解。
R1
设圆环的内半径为Ri、外半径为Ro、形心处的半径为Rx、厚度t，沿其中心线（通
过形心）均布力矩M的作用，如图2-37所示。
文献［40］给出了导出圆环绕其形心的转角
和最大应力max（在圆环内侧两表面）
12MRx
Et3lnRo
Ri（2-74）
6MRx
t2RilnRo
iRi
图2-37圆环转角和应力分析
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