版浙江《学业水平考试》数学知识清单与冲A训练3基本初等函数.docx

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版浙江《学业水平考试》数学知识清单与冲A训练3基本初等函数

知识点一　根式

1．a的n次方根的定义

如果________，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.

2．a的n次方根表示

x＝

3．根式

4．根式的性质（n>1，且n∈N*）

（1）n为奇数时，＝________.

（2）n为偶数时，＝________＝

（3）＝________.

（4）负数没有________方根．

知识点二　分数指数幂

正数的分数指数幂

正数的正分数指数幂

规定：

a－＝________（a>0，m，n∈N*，且n>1）

正数的负分数指数幂

规定：

a＝________（a>0，m，n∈N*，且n>1）

规定

0的正分数指数幂等于________，0的负分数指数幂________

知识点三　指数幂的运算性质

1．有理数指数幂的运算性质

（1）aras＝________（a>0，r，s∈Q）；

（2）（ar）s＝________（a>0，r，s∈Q）；

（3）（ab）r＝________（a>0，b>0，r∈Q）．

2．无理数指数幂的运算

无理数指数幂aα（a>0，α是无理数）是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．

知识点四　指数函数及其性质

1．指数函数的定义

一般地，函数________（a>0，且a≠1）叫做指数函数，其中________是自变量，函数的定义域是________．

2．指数函数的图象和性质

a>1

0

图象

性质

定义域

R

值域

过定点

________，即当x＝0时，y＝________

单调性

在R上是________

在R上是________

奇偶性

非奇非偶函数

知识点五　对数的概念

1．定义

一般地，如果ax＝N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以________为底________的对数．记作________________，a叫做对数的________，N叫做________．

2．特殊对数

3．对数和指数的关系

当a>0，a≠1时，ax＝N⇔x＝________.

4．对数的性质

（1）负数和0没有对数．

（2）loga1＝0.

（3）logaa＝1.

知识点六　对数的运算

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0.

（1）loga（M·N）＝________________.

（2）loga＝________________.

（3）logaMN＝________（N∈R）．

（4）alogaN＝N（对数恒等式）．

（5）对数的换底公式：

logab＝________________（a>0，a≠1，b>0，c>0，c≠1）．

特别地，logab·logba＝1（a>0，a≠1，b>0，b≠1）．

知识点七　对数函数及其性质

1．对数函数的定义

一般地，我们把函数y＝________（a>0，且a≠1）叫做对数函数，其中________是自变量，函数的定义域是________．

2．对数函数的图象及其性质

a>1

0

图象

性质

定义域

（0，＋∞）

值域

R

过定点

过定点（1,0），即x＝1时，y＝0

函数值的变化

当01时，y>0

当00，当x>1时，y<0

单调性

在（0，＋∞）上是增函数

在（0，＋∞）上是减函数

知识点八　指数函数和对数函数的关系

同底的指数函数与对数函数图象关于直线________对称，单调性________．

知识点九　幂函数

1．幂函数的概念

一般地，函数________叫做幂函数，其中________是自变量，α是常数．

2．幂函数的图象与性质

幂函数

y＝x

y＝x2

y＝x3

y＝

y＝x－1

图象

定义域

值域

奇偶性

奇函数

单调性

在R上是________

x∈[0，＋∞）______，x∈（－∞，0]______

在R上是________

在[0，＋∞）上是增函数

x∈（0，＋∞）____，x∈（－∞，0）____

公共点

（1,1）

例1　（2016年4月学考）对任意的正实数a及m，n∈Q，下列运算正确的是（　　）

A．（am）n＝am＋n

B．（am）n＝amn

C．（am）n＝am－n

D．（am）n＝amn

例2　（2016年10月学考）设函数f（x）＝（）x，g（x）＝（）x，其中e为自然对数的底数，则（　　）

A．对于任意实数x恒有f（x）≥g（x）

B．存在正实数x0使得f（x0）>g（x0）

C．对于任意实数x恒有f（x）≤g（x）

D．存在正实数x0使得f（x0）

例3　（2016年4月学考）函数f（x）＝2x＋a（a∈R），若函数f（x）的图象过点（3,18），则a的值为________．

例4　若loga（a2＋1）

A．（0,1）B．（，1）

C．（0，）D．（1，＋∞）

例5　已知lga＋lgb＝0，则函数f（x）＝ax与函数g（x）＝－logbx的图象可能是（　　）

例6　幂函数f（x）＝（m2－m－1）在（0，＋∞）上为增函数，则m＝________.

例7　在同一平面直角坐标系中，函数y＝f（x）的图象与y＝ex的图象关于直线y＝x对称，函数y＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象关于y轴对称．若g（m）＝－1，则m＝________.

例8　已知函数f（x）＝logax（a>0，且a≠1）．

（1）若a＝3，f（）＝－5，求x的值；

（2）若f（3a－1）>f（a），求实数a的取值范围；

（3）若函数f（x）在区间[a,2a]上最大值是最小值的3倍，求a的值．

例9　已知定义在R上的奇函数f（x）＝a·3x＋3－x，a为常数．

（1）求a的值；

（2）用单调性定义证明f（x）在[0，＋∞）上是减函数；

（3）解不等式f（x－1）＋f（2x＋3）<0.

一、选择题

1．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f（x）满足f（x＋y）＝f（x）f（y）”的是（　　）

A．幂函数B．对数函数

C．指数函数D．余弦函数

2．若log32＝a，则log38－2log36用a表示为（　　）

A．a－2B．a－1－a2

C．5a－2D．3a－2－a2

3．设a＝3，b＝（）0.2，c＝，则（　　）

A．a

C．c

4．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，＋∞）上是单调增函数的是（　　）

A．y＝B．y＝|x|－1

C．y＝lgxD．y＝（）|x|

5．对a（a>0且a≠1）取不同的值，函数y＝loga的图象恒过定点P，则P的坐标为（　　）

A．（1,0）B．（－2,0）

C．（2,0）D．（－1,0）

6．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax（a>0，且a≠1）与函数y＝（1－a）x的图象可能是（　　）

7．设偶函数f（x）＝loga|x＋b|在（－∞，0）上单调递减，则f（b－2）与f（a＋1）的大小关系是（　　）

A．f（b－2）＝f（a＋1）

B．f（b－2）>f（a＋1）

C．f（b－2）

D．不能确定

二、填空题

8．已知幂函数f（x）的图象过点（2，），则f（x）的单调减区间为________．

9．若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a>0且a≠1）的反函数，其图象经过点（，a），则f

（2）＝________.

10．若x＋x－1＝4，则＋＝________.

11．已知f（x）＝则f（log23）＝________.

12．函数f（x）＝log2·（2x）的最小值为________．

三、解答题

13．已知函数f（x）＝2x＋k·2－x，k∈R.

（1）若函数f（x）为奇函数，求实数k的值；

（2）若对任意的x∈[0，＋∞），都有f（x）>2－x成立，求实数k的取值范围．

答案精析

知识条目排查

知识点一

1．xn＝a

3．根指数　被开方数

4．

（1）a　

（2）|a|　（3）0　（4）偶次

知识点二

　　0　没有意义

知识点三

1．

（1）ar＋s　

（2）ars　（3）arbr

知识点四

1．y＝ax　x　R

2．（0，＋∞）　（0,1）　1　增函数　减函数

知识点五

1．a　N　x＝logaN　底数　真数

3．logaN

知识点六

（1）logaM＋logaN　

（2）logaM－logaN　（3）NlogaM　（5）

知识点七

1．logax　x　（0，＋∞）

知识点八

y＝x　相同

知识点九

1．y＝xα　x

2．R　R　R　[0，＋∞）　{x|x≠0}　R　[0，＋∞）　R　[0，＋∞）　{y|y≠0}　奇函数　偶函数　非奇非偶　奇函数　增函数　递增　递减　增函数　递减　递减

题型分类示例

例1　D

例2　D

例3　10

解析　由题意可得f（3）＝23＋a＝18，得a＝10.

例4　B　[因为a2＋1－2a＝（a－1）2>0（a≠1），

所以a2＋1>2a.

由loga（a2＋1）

又loga2a<0＝loga1，所以2a>1⇒a>.

综上所述，

例5　B　[∵lga＋lgb＝0，∴lgab＝0，

即ab＝1.

A项，∵g（x）的定义域为{x|x>0}，

∴A错误；

B项，由图象知指数函数单调递增，

∴a>1，此时g（x）单调递增，满足条件；

C项，由图象知指数函数单调递减，

∴0

D项，由图象知指数函数单调递增，

∴a>1，此时g（x）单调递增，不满足条件．

故答案为B.]

例6　2

解析　由题意知m2－m－1＝1，

解得m＝2或－1，

当m＝－1时，幂函数f（x）＝x－3在（0，＋∞）上为减函数，不合题意，舍去；

当m＝2时，幂函数f（x）＝x3在（0，＋∞）上为增函数，满足题意，∴m＝2.

例7　－

解析　由题意，得f（x）＝lnx.

由于函数y＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象关于y轴对称，

可得g（x）＝f（－x）＝ln（－x），g（m）＝－1，

即ln（－m）＝－1，解得m＝－e－1＝－.

例8　解　

（1）f（）＝log3（）＝－5，

∴＝3－5，∴x＝＝＝38.

（2）①若a>1，则f（x）在（0，＋∞）上是增函数，

∴3a－1>a>1，解得a>1；

②若0

∴0<3a－1

综上，a的取值范围是（，）∪（1，＋∞）．

（3）由题意知，当0

logaa＝3loga2a，解得a＝；

当a>1时，loga2a＝3logaa，解得a＝.

∴a＝或.

例9　解　

（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（0）＝0，即a＋1＝0，解得a＝－1.

（2）f（x）＝－3x＋3－x，

设x1>x2≥0，

则f（x1）－f（x2）＝3x2－3x1＋3－x1－3－x2，

∵x1>x2≥0，∴－x1<－x2，

∴3x2<3x1，3－x1<3－x2，

即3x2－3x1<0,3－x1－3－x2<0，

∴f（x1）－f（x2）＝3x2－3x1＋3－x1－3－x2<0，