常微分方程教程Word格式文档下载.docx
《常微分方程教程Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常微分方程教程Word格式文档下载.docx（28页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
则（
x3
+ylnxy2=C.
3
８．（ax2+by2）dx+cxydy=0
P（x,y）=ax2+by2,则
（a,b和c为常数）Q（x,y）=cxy,
，即2b=c时，原方程为恰当方程=cy,所以当=2by,=
则ax2dx+（by2dx+cxydy）=0
ax3
+bxy2=C.
而当2b≠c时原方程不是恰当方程．
ss22s1
９．ds+2dt=0
tt
ss22s1解：
P（t,s）=,Q（t,s）=2,
P12sQ12sPQ
，即原方程为恰当方程,=2,=2,所以=
tsyxtt
ss2两边积分得：
=C．
t
10．xf（x2+y2）dx+yf（x2+y2）dy=0,其中f（）是连续的可微函数．
P（x,y）=xf（x2+y2）,Q（x,y）=yf（x2+y2）,则
，即原方程为恰当方程,=2xyf′,所以=2xyf′,=
∫
f（x2+y2）dx=C,
即原方程的解为F（x2+y2）=C（其中F为f的原积分）．
习题2-2
1.求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义的区域:
：
dyx2（１）=
dxy
=
原方程即为：
ydy=x2dx两边积分得：
3y22x3=C,
y≠0．
dyx2（２）=
dxy（1+x3）
x2
ydy=dx
1+x3
3y22ln+x3=C,（３）
y≠0,x≠1．
dy
+y2sinx=0dx
当y≠0时
原方程为：
+sinxdx=02y
1+（c+cosx）y=0．
又y=0也是方程的解，包含在通解中，则方程的通解为
1+（c+cosx）y=0．
（４）
=1+x+y2+xy2；
dx
dy1+y2
（1+x）dx
arctgy=x++c，
2x2
即y=tg（x++c）．
2
（５）
=（cosxcos2y）2dx
①当cos2y≠0时
原方程即为：
dy2
=（cosx）dx2
（cos2y）
2tg2y2x2sin2x=c．②cos2y=0，即y=（６）x
kππ
+也是方程的解.（k∈N）24
=y2dx
①当y≠±
1时原方程即为：
dyy2
dxx
arcsinylnx=c．②y=±
1也是方程的解.
dyxex
（７）．=
dxy+ey
解．原方程即为：
（y+ey）dy=（xex）dx
y2x2y
+e=+ex+c，
原方程的解为：
y2x2+2（eyex）=c.
2.解下列微分方程的初值问题．（１）sin2xdx+cos3ydy=0,y（=
ππ
23
cos2xsin3y
两边积分得：
+=c，即2sin3y3cos2x=c
；
因为y（=
ππ3
所以c=3.
所以原方程满足初值问题的解为：
2sin3y3cos2x=3．
（２）．xdx+yexdy=0，y（0）=1；
xexdx+ydy=0，
（x1）edx+dy=c，
因为y（0）=1，所以c=
1，2
2（x1）exdx+y2dy+1=0．（３）．
dr
=r，r（0）=2；
dθ
=dθ，两边积分得：
lnrθ=c，
r
因为r（0）=2，所以c=ln2，
lnrθ=ln2即r=2e．（４）．
θ
lnxdy
y
（1）=0;
=2
dx1+y
（1+y）dy=lnxdx,
y3
y++xxlnx=c,
因为y
（1）=0，所以c=1，
所以原方程满足初值为：
y++xxlnx=1
（５）．+x
=xy3，y（0）=1；
dyx=dx，
2y3+x
12
y=+x2+c，2
因为y（0）=1，所以c=，
2+x+
1
=3．2y
3.解下列微分方程，并作出相应积分曲线的简图．（１）．
=cosxdx
y=sinx+c．积分曲线的简图如下：
（２）．
=ay，（常数a≠0）；
①当y≠0时，
1dy
=dx积分得：
lny=x+c，
aay
即y=ceax
（c0）
②y=0也是方程的解．积分曲线的简图如下：
（３）．
=1y2；
1时，
1+ydy
积分得：
ln=2x+c，=dx
1y（1y2）
ce2x1
即y=2x．
ce+1
②y=±
1也是方程的解．积分曲线的简图如下：
（４）．
dy1
=yn，（n=,1,2）；
3dx
①当y≠0时，）n=
2时，原方程即为n=dx，3y
x+
11n
y=c．n1
=dxy
（c0）．
）n=1时，原方程即为
lny=x+c，即y=cex②y=0也是方程的解．积分曲线的简图如下：
4.跟踪：
设某A从xoy平面上的原点出发，沿x轴正方向前进；
同时某B从点开始跟踪A，即B与A永远保持等距b．试求B的光滑运动轨迹．
设B的运动轨迹为y=y（x）,由题意及导数的几何意义，则有
dyy
，所以求B的运动轨迹即是求此微分方程满足y（0）=b的解．=22dxbyb+b2+y21
解之得：
x=bln2y2．
2bb2y2
5.设微分方程
=f（y）（2.27），其中f（y）在y=a的某邻域（例如，区间dx
yaε）
内连续，而且f（y）=0y=a，则在直线y=a上的每一点，方程（2.27）的解局部唯一，
当且仅当瑕积分
证明：
（）
a±
ε
a
=∞（发散）．f（y）
首先经过域R1：
∞x+∞,aε≤ya和域R2：
∞x+∞,
ay≤a+ε内任一点（x0,y0）恰有方程（2.13）的一条积分曲线，它由下式确定
∫y
=xx0.（*）f（y）
这些积分曲线彼此不相交.其次，域R1（R2）内的所有积分曲线∫
dydy
=x+c都可由其中一条，比如∫=x+c0f（y）f（y）
沿着x轴的方向平移而得到。
因此只需详细考虑经过R1内某一点
（x0,aε）的积分曲线，它由（*）式确定.
若
∫aε
收敛，即存在x=x1，使得f（y）
=x1x0,f（y）
即所讨论的积分曲线当x=x1时达到直线y=a上点（x1,a）.由（*）式易看出，所论积分曲线在（x1,a）处与y=a相切，在这种情形下，经过此直线上的
（）一点就不只有一条积分曲线，与局部唯一矛盾，所以
发散.f（y）
若积分
发散，此时由（*）式易看出，所论的经过（x0,aε）的积分f（y）
曲线，不可能达到直线y=a上，而以直线y=a为渐近线，又注意到y=a也是（２.13）的积分曲线，所以（2.13）过（x0,aε）的解是唯一的.注：
对于R2内某点（x0,a+ε）完全可类似地证明.
6.作出下列微分方程积分曲线族的大致图形．（１）
．
dy=dx
y；
ylny=dx0
y≠0y=0
习题2-3
1.求解微分方程：
（１）
+2y=xex;
p（x）=2,q（x）=xex，
由公式得：
y=e2x（c+∫
xexe2xdx）=ce2x+xexex，
y=ce2x+xexex．（２）
+ytgx=sin2x；
p（x）=tgx,q（x）=sin2x，
∫p（x）dx=∫tgxdx=∫
sinxcosx=∫d（cosx）
cosx
=lncosx+c，y=e
lncosx
（c+∫sin2xe
dx）
=cosx（c+∫sin2x
）=cosx（c2cosx）=ccosx2cos2cosx
y=ccosx2cos2
x．
（３）x
dx+2y=sinx,y（π）=1π
dy2sinx
2sinxdx+xy=
x，则p（x）=x,q（x）=x，∫p（x）dx=∫2x=lnx2
+c，则有y=elnx2
（c+∫sinxlnx2
e）
x2（c+∫xsinxdx）
=1
2（cxcosx+sinx）因为y（π）=
π
，所以c=0．
原方程满足初值问题的解为：
y=1xcosx+1
2sinx．（４）
dx11x
2y=1+x，y（0）=1；
则有
p（x）=
1x1
,q（x）=1+xpxdx=（）ln∫2
1__+1
则y=e
1x12ln
x+1
（c+∫（1+x）e
1x+12ln
x1
（c+∫x21dx）x1
（c+∫x2dx）1x
x1
要求满足初值问题y（0）=1的解
只需求
（c+∫x2dx）
1x
x+111
（c+arcsinx+xx2）1x22
代入初值得c=1
所以满足初值问题的解为y=
（1+arcsinx+xx2）.1x22
2.将下列方程化为线性微分方程：
dyx2+y2（１）；
dx2y
令y=z，则原方程化为：
（２）
dz
=z+x2．dx
d__+y
dx1d__+y2
即解：
由原方程得：
，==x+y．
dyydyy
（３）3xy
+y3+x3=0；
dz1
=zx2．d__
dy1=+xtgy；
dxcosy
dy1siny
=+x
dxcosycosy
即
cosydydz=1+xsiny.令z=siny，则=xz+1．dxdx
a（s）ds
∫3.设y=φ（x）满足微分不等式y′+a（x）y≤0,（x≥0）．求证：
φ（x）≤φ（0）e0
（x≥0）
∫a（s）ds则有
将y′+a（x）y≤0两边同乘e0
a（s）dsa（s）dse∫0y′+e∫0a（x）y≤0
d（e∫0
φ（x））
≤0从０到x积分得：
a（s）dse∫0φ（x）≤φ（0），得证．
4.用常数变易法求解非齐次线性方程
+p（x）y=q（x）．dx
p（x）dx
的解，将其代入方程则有解：
设方程有形如y=c（x）e∫
p（x）dxp（x）dxdc（x）∫p（x）dx
ec（x）p（x）e∫+c（x）p（x）e∫=q（x）dx
p（x）dxdc（x）∫p（x）dx
即+c，e=q（x），则c（x）=∫q（x）e∫
p（x）dxp（x）dx
所以方程的解为y=e∫（q（x）e∫+c）.
5.考虑方程
+p（x）y=q（x），其中p（x）和q（x）都是以ω0为周期的连续函数．dx
试证：
（１）若q（x）=0，则方程的任一非零解以ω为周期p（x）的平均值
ω
p（x）dx=0．
（２）若q（x）≠0，则方程的有唯一的ω周期解≠0．试求出此解．
（１）设y=φ（x）是方程的任一非零解则y=ce
∫x0p（x）dx
且y=ce
∫x0p（x+w）dx
x+w
也是解e
e
=e
=e
∫xp（x）dx
∫0p（x）dx
=1∫0p（x）dx=0
（2）方程的通解为y=ce选择常数c使y（x）成为
+
∫0q（s）e
p（t）dt
∫s
ω周期函数，即y（x+w）=y（x）（*）
我们先来证明，要使（*）对所有x成立，其实只需对某一特定x（例如x=0）成立,即只需y（ω）=y（0）.事实上，由于y（x）是方程的解，且p（x+w）=p（x）q（x+w）=q（x），所以y（x+w）也是解.因此，函数u（x）=y（x+w）y（x）是相应齐次方程y′+p（x）y=0满足初始条件y（0）=0的解。
又因为此齐次方程的解或者恒等于０，或者恒不
等于０，所以u（x）=0，从而y（w）=y（0），由x的任意性，则有y（x+w）=y（x）。
∫p（x）dx+即ce0
w
∫0
q（s）e∫0ds=c.
p（x）dx∫0
q（x）edx.
wx
所以c=
1e∫0
6.连续函数f（x）在区间∞x+∞上有界，证明：
方程y′+y=f（x）在区间
∞x+∞有并且只有一个有界解．试求出这个解．并进而证明：
当f（x）还是以ω为
周期函数时，这个解也是以ω为周期的周期函数.
显然方程为一阶线性微分微分方程，由一阶线性微分微分方程解的求解公式得其解表达式为：
y=ce∫0
1dx
+∫f（s）e∫sds
0x0
，
=cex+∫f（s）e（sx）ds
因为f（x）有界，所以要使y有界，当且仅当c=从而原方程的唯一有界解为
∞
f（s）eds．
y=ce
+∫f（s）e
（sx）
ds=∫f（s）e
sx
ds+
f（s）e
ds=∫f（s）e（sx）ds．
下面说明当f（x）是以ω为周期函数时，这个解也是以ω为周期的周期函数．
y（x+ω）=∫
x+ω
∞x+ω
f（s）e（sxω）ds，令t=sω，则f（s）e（sxω）ds=
7.令空间H
f（t+ω）e（tx）dt=∫f（t）e（tx）dt=y（x），
所以此解为一周期函数．
．易知H0关于实数域,构成一个=｛f（x）｜f是以2π为周期的连续函数｝
线性空间.f∈H0，定义它的模f=max0≤x≤2πf（x）．证明H0是一个完备的空间．利用式（2.40）可以在空间H0中定义一个变换φ，它把f变成y．试证：
φ是一个从H0到H0的线性算子，而且它是有界的．
（１）先证H是一个完备的空间．设{fn（x）}是（H,）中的一个基本列.那么ε0,
00
N（ε）,m,nN（ε）有
fm（x）fn（x）=max0≤x≤2πfm（x）fn（x）ε
所以0x2π，fm（x）fn（x）ε（*），固定x∈[0,2π]，则{fn（x）}是基本的，从而limn→∞fn（x）存在，记为f0（x），在（）中令m→∞，得到f0（x）fn（x）ε，所以fn（x）一致收敛到f0（x），从而在H0中fn收敛到f0，所以定义的空间是完备的。
（２）证φ是一个线性有界算子。
①φ（c1f1+c2f2）=
e2aπ1x
11x+2πa（xs）x+2πa（xs）
=c12aπef（s）ds+cef2（s）ds122aπ∫∫__
e1e1
=c1φ（f1）+c2φ（f2）所以φ是一个线性算子。
x+2π
ea（xs）（c1f1+c2f2）（s）ds
②（f）=max0≤x≤2π
1e2aπ
∫1
ea（xs）f（s）ds
≤max0≤x≤2π≤f
1e
2aπ
ma__≤s≤x+2πf（s）ds∫x
ea（xs）ds
12aπe4aπ
=kf
e1a
所以φ是有界算子.
习题2-4
1.求解下列微分方程：
（１）y′=
2yx
2xy
du2u1
，+u=
dx2u
令y=ux，则原方程化为x
2udx1u12
，积分得：
=dulnlnu=lnx+c2
x1+u2u1
还原变量并化简得：
（yx）=c（x+y）3（２）y′=
2yx+5；
2xy4
2yx+5=0x=1
得
2xy4=0y=2
v=y+2，则有
由
令u=x1,
dv2vu
，由第一题的结果知此方程解为（vu）=c（u+v）3，=
du2uv
yx+3=c（x+y+1）3.（３）y′=
x+2y+1
2x+4y1
dvdyv+1
，=1+2=1+2
dxdx2v1
令v=x+2y，则即
dv4v+1
，此方程为变量分离方程，=
dx2v1
13
分离变量并积分得：
vln4v+=x+c，
28
8y4x3ln4x+8y+=c．
（４）y′=xyxy．
①当y≠0时，方程两边同时乘以2y3,则2y3y′=2x3+2xy2，令
dzx23
则由公式得：
z=ce+x2+1z=y，=2x
升级会员 