第一章 11 第1课时Word文档下载推荐.docx

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（3）、（6）为圆锥；

（4）、（10）为圆台；

（5）、（7）、（9）为棱柱；

（11）、（12）为球；

（13）、（16）为棱台；

（14）、（15）为棱锥.

共分七类.分别是：

棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球.

思考2　观察图

（2）（5）（7）（9）（13）（14）（15）（16）中组成几何体的每个面的特点，以及面与面之间的关系，你能归纳出它们有何共同特点吗？

答　组成几何体的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形.

小结　我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.

思考3　观察图

（1）（3）（4）（6）（8）（10）（11）（12）中组成几何体的每个面有何共同特点？

答　组成它们的面不全是平面图形，更多的是曲面.

小结　由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的轴.

探究点二　棱柱的结构特征

思考1　我们把下面的多面体取名为棱柱，据此你能给棱柱下一个定义吗？

你能指出上面棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点吗？

图1　　　　　　　　　图2

答　有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱.我们把棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.

图1棱柱的底面为六边形ABCDEF和A′B′C′D′E′F′；

棱柱的侧面有A′ABB′、B′BCC′等；

棱柱的侧棱有AA′、BB′、CC′等；

棱柱的顶点有A、B、C、D、E、F、A′、B′等.图2略.

思考2　棱柱上、下两个底面的形状大小如何？

各侧面的形状如何？

答　棱柱的两底面是全等的多边形，各侧面都是平行四边形.

例1　试判断下列说法是否正确：

（1）棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面；

（2）棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形.

解　

（1）错误.如长方体中相对侧面互相平行.

（2）正确.由棱柱的定义可知，棱柱的侧棱互相平行且相等，且各侧面都是平行四边形.

反思与感悟　概念辨析题常用方法：

（1）利用常见几何体举反例；

（2）从底面多边形的形状、侧面形状及它们之间的位置关系、侧棱与底面的位置关系等角度紧扣定义进行判断.

跟踪训练1　根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体名称：

（1）由6个平行四边形围成的几何体.

（2）由8个面围成，其中两个面是平行且全等的六边形，其余6个面都是平行四边形.

解　

（1）这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱.

（2）是六棱柱.

探究点三　棱锥的结构特征

思考1　我们把下面的多面体取名为棱锥，据此你能给棱锥下一个定义吗？

你能作图说明棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点吗？

答　有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体叫做棱锥.

多边形面叫做棱锥的底面或底，有公共顶点的各三角形面叫做棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.如图：

思考2　类比棱柱的分类，棱锥如何根据底面多边形的边数进行分类？

如何用棱锥各顶点的字母表示思考1中的三个棱锥？

答　底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中三棱锥又叫四面体.三个棱锥从左到右可分别表示为S－ABC，S－ABCD，P－ABCDE.

思考3　一个棱锥至少有几个面？

一个N棱锥分别有多少个底面和侧面？

有多少条侧棱？

有多少个顶点？

答　至少有4个面；

1个底面，N个侧面，N条侧棱，1个顶点.

例2　在如图所示的几何体中，四边形AA1B1B为边长为3的正方形，CC1＝2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，请你判断这个几何体是棱柱吗？

若是棱柱，指出是几棱柱.若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征.在立体图中画出截面.

解　

（1）∵这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面，∴这个几何体不是棱柱.

（2）在四边形ABB1A1中，在AA1上取E点，使AE＝2；

在BB1上取F点，使BF＝2；

连接C1E、EF、C1F，则过C1、E、F的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABC—EFC1，其侧棱长为2；

截去部分是一个四棱锥C1—EA1B1F.

反思与感悟　认识一个几何体，需要看它的结构特征，并且要结合它各面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它是由哪些几何体组成的组合体，并能用平面分割开.

跟踪训练2　若三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2，底面周长为9，求棱锥的高.（过顶点向底面作垂线，顶点与垂足的距离）

解　在底面正三角形中，边长为3，高为3×

sin60°

＝

，中心到正三角形顶点的距离为

×

，则棱锥的高为

＝1.

探究点四　棱台的结构特征

思考1　用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分形成另一个多面体，这样的多面体叫做棱台.那么棱台有哪些结构特征？

如何定义棱台的底面、侧面、侧棱、顶点呢？

答　有两个面是互相平行的相似多边形，其余各面都是梯形，每相邻两个梯形的公共腰的延长线共点.

原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，其余各面叫做棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点.

思考2　根据三棱锥、四棱锥、五棱锥……的定义，如何定义三棱台、四棱台、五棱台……？

如何用字母表示棱台？

答　由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……；

与棱柱的表示一样棱台也用上、下底面的各顶点的字母表示.

思考3　既然棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？

三者的关系如何？

当底面发生变化时，它们能否相互转化？

答　它们在结构上的相同点是：

它们都是由平面多边形围成的几何体，它们都有底面且底面都是多边形；

不同点是：

棱柱和棱台都有两个底面，而棱锥只有一个底面，棱柱的两个底面是全等的，棱台的两个底面是相似的；

能够相互转化，棱台是由棱锥截取得到的，棱台的上底面扩大，使上下底面全等，就是棱柱，棱台的上底面缩为一个点就是棱锥.

例3　有下列三个命题：

①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；

②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；

③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.

其中正确的有（　　）

A.0个B.1个

C.2个D.3个

答案　A

解析　本题主要考查台体的结构特征，关键是把握台体的特点.①中的平面不一定平行于底面，故①错；

②③可用反例去检验，如图所示，故②③错.

反思与感悟　一个棱台的基本特征是上、下底面平行且相似，侧棱延长后交于一点，这是判断几何体是否为棱台的依据.

跟踪训练3　已知四棱台的上底面、下底面分别是边长为4,8的正方形，各侧棱长均相等，且侧棱长为

，求四棱台的高.

解　如图，在截面ACC1A1中，A1A＝CC1＝

，

A1C1＝4

，AC＝8

过A1作A1E⊥AC交AC于点E.

在Rt△A1EA中，AE＝

（8

－4

）＝2

A1A＝

∴A1E＝

＝3，

即四棱台的高为3.

1.下列说法中正确的是（　　）

A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行

B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高

D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形

解析　棱柱的两底面互相平行，故A正确；

棱柱的侧面也可能有平行的面（如正方体），故B错；

立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；

由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形.但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错.

2.四棱柱有几条侧棱，几个顶点（　　）

A.四条侧棱、四个顶点B.八条侧棱、四个顶点

C.四条侧棱、八个顶点D.六条侧棱、八个顶点

答案　C

解析　四棱柱有四条侧棱、八个顶点（可以结合正方体观察求得）.

3.下列说法错误的是（　　）

A.多面体至少有四个面

B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形

C.长方体、正方体都是棱柱

D.三棱柱的侧面为三角形

答案　D

解析　由于三棱柱的侧面为平行四边形，故选项D错.

4.对棱柱而言，下列说法正确的序号是________.

①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形.②所有的棱长都相等.③棱柱中至少有2个面的形状完全相同.④相邻两个面的交线叫做侧棱.

答案　①③

解析　①正确.根据棱柱的定义可知；

②错误，因为侧棱与底面上棱长不一定相等；

③正确，根据棱柱的特征知，棱柱中上下两个底面一定是全等的，棱柱中至少有两个面的形状完全相同；

④错误，因为底面和侧面的交线不是侧棱.

[呈重点、现规律]

1.在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状.

2.各种棱柱之间的关系

（1）棱柱的分类

棱柱

（2）常见的几种四棱柱之间的转化关系

3.棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表：

名称

底面

侧面

侧棱

高

平行于底面的截面

斜棱柱

平行且全等的两个多边形

平行四边形

平行且相等

与底面全等

直棱柱

矩形

平行、相等且垂直于底面

等于侧棱

与底面全等　

正棱柱

平行且全等的两个正多边形

全等的矩形

棱锥

正棱锥

一个正多边形

全等的等腰三角形

有一个公共顶点且相等

过底面中心

与底面相似

其他棱锥

一个多边形

三角形

有一个公共顶点

棱台

正棱台

平行且相似的两个正多边形

全等的等腰梯形

相等且延长后交于一点

其他棱台

平行且相似的两个多边形

梯形

延长后交于一点

一、基础过关

1.五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有（　　）

A.20B.15

C.12D.10

解析

如图，在五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：

AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×

5＝10（条）.

2.棱台不具备的特点是（　　）

A.两底面相似B.侧面都是梯形

C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点

解析　由于棱锥的侧棱不一定相等，所以棱台的侧棱都相等的说法是错误的.

3.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（　　）

A.棱柱B.棱台

C.棱柱与棱锥的组合体D.不能确定

解析　形成的几何体前后两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，符合棱柱的定义.

4.若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是（　　）

A.1∶2B.1∶4

C.2∶1D.4∶1

答案　B

解析　由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积比为对应边之比的平方，故选B.

5.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为________cm.

答案　12

解析　因棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为

＝12（cm）.

6.在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图________.（填序号）

答案　①②

解析　由于③④中的图组不成四面体，只有①②可以.

7.如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？

如果不是，请说明理由；

如果是，指出底面及侧棱.

解　截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义.它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面.

EF，B′C′，BC是侧棱，截面BCFE左侧部分也是棱柱.

它是四棱柱ABEA′—DCFD′.

其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面.

A′D′，EF，BC，AD为侧棱.

二、能力提升

8.下图中不可能围成正方体的是（　　）

9.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________.（写出所有正确结论的编号）

①矩形；

②不是矩形的平行四边形；

③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；

④每个面都是等边三角形的四面体；

⑤每个面都是直角三角形的四面体.

答案　①③④⑤

解析　如图：

①正确，如图四边形A1D1CB为矩形；

②错误，任意选择4个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形或正方形，如四边形ABCD为正方形，四边形A1BCD1为矩形；

③正确，如四面体A1ABD；

④正确，如四面体A1C1BD；

⑤正确，如四面体B1ABD；

则正确的说法是①③④⑤.故答案为①③④⑤.

10.如图所示，对几何体的说法正确的序号为________.

①这是一个六面体.②这是一个四棱台.③这是一个四棱柱.④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到.⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.

解析　①正确，因为有六个面，属于六面体.

②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确.

③正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱.

④⑤都正确，如图所示.

11.如图所示的是一个三棱台ABC—A1B1C1，如何用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥.

解　过A1、B、C三点作一个平面，再过A1、B、C1作一个平面，就把三棱台ABC—A1B1C1分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A1—ABC，B—A1B1C1，A1—BCC1.

12.根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.

（1）由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形；

（2）由五个面围成，其中一个面是正方形，其它各面都是有一个公共顶点的全等三角形.

解　

（1）该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形，可满足每相邻两个面的公共边都相互平行，故该几何体是六棱柱.

（2）该几何体的其中一个面是四边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点，因此该几何体是四棱锥.

三、探究与拓展

13.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A、B、C重合，重合后记为点P.

问：

（1）折起后形成的几何体是什么几何体？

（2）这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？

（3）每个面的三角形面积为多少？

解　

（1）如图，折起后的几何体是三棱锥.

（2）这个几何体共有4个面，

其中△DEF为等腰三角形，

△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.

（3）S△PEF＝

a2，

S△DPF＝S△DPE＝

2a×

a＝a2，

S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝（2a）2－

a2－a2－a2＝

a2.