考研数三真题与答案解析完整版Word下载.docx

考研数三真题与答案解析完整版Word下载.docx

《考研数三真题与答案解析完整版Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研数三真题与答案解析完整版Word下载.docx（25页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

D是圆域D（x,y）|x1的第k象限的部分，记

k

Ik（yx）dxdy，则

D

（）

（A）0

I（B）I20（C）I30（D）I40

【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知

I

k1

k（yx）dxdy2d（sincosrdr（sinsin）d

）

（k1）3

D22

3

sincos

|

所以

22

I1I0,I2,I4，应该选（B）．

４．设

a为正项数列，则下列选择项正确的是（）

n

（A）若

ana，则

n1

（1）

n1a收敛；

（B）若

（

na收敛，则

1）

ana；

（C）若

p

a收敛．则存在常数P1，使limnan存在；

（D）若存在常数P1，使

limna存在，则

a收敛．

【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D）正确，故应选（Ｄ）．

此小题的（A）（B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A），但少一

条件lima0，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，

选项（B）也不正确，反例自己去构造．

５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则

（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．

（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．

（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价．

（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．

【详解】把矩阵A，C列分块如下：

A1,2,,n,C1,2,,，由于ＡＢ＝Ｃ，

则可知（1,2,,）

ibi1bibinnin，得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的

122

列向量组线性表示．同时由于B可逆，即

ACB，同理可知矩阵A的列向量组可用矩阵

C的列向量组线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．应该选（B）．

1a1200

6．矩阵aba0b0相似的充分必要条件是

与矩阵

1a1000

（A）a0,b2（B）a0，b为任意常数

（C）a2,b0（D）a2，b为任意常数

2001a1200

【详解】注意矩阵0b0是对角矩阵，所以矩阵A=aba0b0相

0001a1000

似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．

1a1

EAaba（

2bba

（2）22

从而可知2b2a22b，即a0，b为任意常数，故选择（B）．

7．设X1,X2,X3是随机变量，且X1~N（0,1）,X~N（0,2）,X~N（5,3），

23

PiP2Xi2，则

（A）P1P2P3（B）P2P1P3

（C）P3P2P1（D）P1P3P2

X

【详解】若X~N（,2），则~N（0,1）

P2

（2）1，PP2X2P112

（1）1，

P

P2X2P

5

7

P3P13

（1）23

（1）0．

故选择（A）．

8．设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率分布分别为

X0123P

P1/21/41/81/8

Y-101

P1/31/31/3

则PXY2（）

（A）

12

（B）

8

（C）

6

（D）

【详解】

PXY2PX1,Y1PX2,Y0PX3,Y1

24

，故选择（C）．

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把

答案填在题中横线上）

9．设曲线yf（x）和yxx

在点1,0处有切线，则

lim

nf

n2

．

【详解】由条件可知f10,f'

（1）1．所以

f1f

（1）

nn2

limnflim2f

2n2

n2n

n22n

'

（1）2

10．设函数zzx,y是由方程zyxy

【详解】

z

确定，则|（1,2）

设Fxyzzyxy

,（），则

xx1

Fxx,yzzyzyyFxyzxzy，

（）l）,（,n,）（）（

当x1,y2时，z0，所以|（1,2）22ln2

lnx

11．dx

1

（1）2

lnx1lnx1

dxlnxd|dxln

12x

（1x1x1x1x（1

）1x）

ln2

12．微分方程0

yyy的通解为．

4

r，两个特征根分别为

【详解】方程的特征方程为0

解为2

y（C1Cx）e，其中C1,C2为任意常数．

1，所以方程通

13．设

Aa是三阶非零矩阵，A为其行列式，Aij为元素aij的代数余子式，且满足

ij

Aijaij0（i,j1,23），则A=．

T

【详解】由条件Aija0（i,j1,2,3）可知*0

AA，其中A*为A的伴随矩阵，从ij

而可知

A

T31

*

*AAA，所以A可能为1或0．

n,r（A）n

但由结论

*T

r（A）1,r（A）n1可知，AA*0可知r（A）r（A*）,伴随矩阵的秩只

0,r（A）n1

能为3，所以A1.

14．设随机变量X服从标准正分布X~N（0,1），则EXe2X．

E

2X

Xe

222

x（x2）（x2）

1xe

2x2

xeeedx（x22）e

2dx

dx

e

te

t

dt

E（X

2e

所以为

2e．

三、解答题

15．（本题满分10分）

当x0时，1cosxcos2xcos3x与

ax是等价无穷小，求常数a,n．

【分析】主要是考查x0时常见函数的马克劳林展开式．

2ox2

【详解】当x0时，（）

cxo1sx，

cos2

2ox2xox

x1（2x）（）12（），

19

2ox2x2ox

cos3x1（3x）（）1（），

所以

1cosxcos2xcos3x1（1

9

2ox2xoxxoxxox

222222

x（））（12（））（1（））7（

由于1cosxcos2xcos3x与

ax是等价无穷小，所以a7,n2．

16．（本题满分10分）

设D是由曲线

y，直线xa（a0）及x轴所转成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x3x

3x

轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若10VxVy，求a的值．

【详解】由微元法可知

25

aa

32

Vxydxxdxa；

00

V

47

y2xf（x）dx2xdxa；

07

由条件

10VxV，知a77．

y

17．（本题满分10分）

设平面区域D是由曲线x3y,y3x,xy8所围成，求

2．

dxdy

416

23x68x

22222

xdxdyxdxdyxdxdyxdxdyxdxdy．

xx

03

DD33

12

18．（本题满分10分）

Q

设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P60,（P

1000

是单价，单位：

元，Q是销量，单位：

件），已知产销平衡，求：

（1）该的边际利润．

（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义．

（3）使得利润最大的定价P．

（1）设利润为y，则6000

yPQ（600020Q）40Q，

边际利润为y'

40.

500

（2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．

经济意义为：

当P=50时，销量每增加一个，利润增加20．

20000

（3）令y'

0，得40.

Q20000,P60

1000019．（本题满分10分）

设函数fx在[0,）上可导，f00，且limf（x）2

，证明

（1）存在a0，使得fa1;

（2）对

（1）中的a，存在（0,a），使得

1

（）．

a

证明

（1）由于limf（x）2，所以存在X0，当xX时，有

f（x），

又由于fx在[0,）上连续，且f00，由介值定理，存在a0，使得fa1;

（2）函数fx在[0,a]上可导，由拉格朗日中值定理，

存在（0,a），使得

f（a）f（0）1

aa

20．（本题满分11分）

设

a

B

b

，问当a,b为何值时，存在矩阵C，使得ACCAB，并求出

所有矩阵C．

显然由ACCAB可知，如果C存在，则必须是2阶的方阵．设

C，

34

则ACCAB变形为

ax

即得到线性方程组

，要使C存在，此线性方程组必须有解，于是对方

程组的增广矩阵进行初等行变换如下

01a0010111

a10a101a00

|b，

1011100001a

01a0b0000b

所以，当a1,b0时，线性方程组有解，即存在矩阵C，使得ACCAB．

10111

此时，

01100

A|b，

00000

00000

111

所以方程组的通解为

x010

xCC，也就是满足ACCAB的矩阵

001

C为

1CCC

121

C，其中C1,C2为任意常数．

CC

21．（本题满分11分）

设二次型

f（x1,x,x）2（axaxax）（bxbxbx）．记

23112233112233

（1）证明二次型f对应的矩阵为2TT；

（2）若,正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为

2yy．

【详解】证明：

f（

x,x

x）

2（ax

11

ax

（bx

x,

a,a

b,

b

TT

所以二次型f对应的矩阵为

证明

（2）设A

TTT

2，由于1,0

2T

则222

A，所以为矩阵对应特征值12的特征

向量；

A22，所以为矩阵对应特征值21的特征向

量；

TTrrT

而矩阵A的秩（）

（2）

（2）（）2

rAr，所以30也是矩阵的

一个特征值．

故f在正交变换下的标准形为

22．（本题满分11分）

设X,Y是二维随机变量，X的边缘概率密度为

2x

3x,01

fX（x），在给定

0,

其他

Xx（0x1）的条件下，Y的条件概率密度为

3y

0yx,

fYy/x）．

（3

（1）求X,Y的联合概率密度fx,y；

（2）Y的的边缘概率密度f（y）

Y．

（1）X,Y的联合概率密度fx,y：

fx,yf（y/x）fX

Y

（x）

9y

0

x1,0y

Y：

fY（y）f（x,y）dxy

dx9

ln

y,0

23．（本题满分11分）

设总体X的概率密度为

（x;

）3

e,x0

，其中为为未知参数且大于零，

X1X2,X为来自总体X的简单随机样本．

（1）求的矩估计量；

（2）求的极大似然估计量．

（1）先求出总体的数学期望E（X）

x，E（X）xf（x）dxedx

02

令

E（X）XX，得的矩估计量

i

i1

（2）当x0（i1,2,n）

i时，似然函数为

L

ix

i1i

（）ee，

取对数，

nn

lnL（）2nln3lnx，

i1ii1

dlnL（）

令0

d

2n1

，得0

ixi

解得的极大似然估计量为．