高中数学必修二 专题21 随机抽样1文档格式.docx
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①有限性：
简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析
②逐一性：
简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作．
③不放回性：
简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算．
④等可能性：
简单单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样方法的公平性．
4．系统抽样
在抽样中当总体个体数___________时，可将总体分成___________的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取___________个体，得到所需的样本，这种抽样方法叫做系统抽样．
（2）步骤
一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可以按下列步骤进行系统抽样：
①先将总体的N个个体编号，有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等．
②确定分段间隔k，对编号进行分段．当
（n是样本容量）是整数时，取
．
③在第1段用简单随机抽样的方法确定第一个个体编号
④按照一定的规则抽取样本，通常是将
加上间隔k得到第2个个体编号
，再加k得到第3个个体编号
，依次进行下去，直到获取整个样本．
若
不是整数，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除．另外，系统抽样适用于总体容量较大，且个体之间无明显差异的情况．
5．分层抽样
一般地，在抽样时，将总体分成___________，然后按照___________，从各层独立地抽取一定数量的个体，将___________取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．
分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的．
6．三种抽样方法的区别和联系
三种抽样方法的特点及其适用范围如下表：
学！
%科网
抽样方法
共同点
特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
抽样过程中每个个体被抽到的可能性都相等
从总体中逐个抽取
样本容量较小
系统抽样
将总体平均分成若干部分，按事先确定的规则在各部分中抽取
在起始部分抽样时采用简单随机抽样
总体容量较大
分层抽样
将总体分成互不交叉的层，然后分层进行抽取
各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
K知识参考答案：
3．
（1）不放回相等
（2）①不多
4．
（1）较多均衡一个
5．互不交叉的层一定的比例各层
K—重点
简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的特点和一般步骤
K—难点
正确理解简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的区别和联系，灵活应用三种抽样方法抽样
K—易错
容易混淆三种抽样方法的适用条件，从而不能选择合适的方法进行抽样
1．简单随机抽样
要判断所给的抽样方法是否是简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机抽样的四个特点：
有限性、逐一性、不放回性、等可能性.
（1）总体是数值指标的全体，例如，要考察某班男生的身高，则总体为该班全部男生的身高数据，而不是该班的男生．
（2）个体是总体的一个元素，因此构成总体的每一个数值指标都为个体．
（3）样本是总体的一部分，因此样本中所含个体的数量不能超过总体的数量，样本中个体的来源为总体中的个体．
抽签法
（1）对于抽签法，注意：
①号签的大小、形状要完全相同.②抽签前需将号签搅拌均匀．
（2）抽签法的优点：
抽签法简单易行，当总体中的个体数不多时，使总体处于“搅拌均匀”的状态比较容易，这时，每个个体有均等的机会被抽到，从而能够保证样本的代表性
（3）抽签法的缺点：
①当总体中的个体数较多时，制作号签的成本就会增加，使得抽签的成本增加；
②）号签很多时，把它们搅拌均匀就比较困难，很难保证每个个体人选样本的等可能性，从而产生坏样本（即代表性差的样本）的可能性增加．
随机数表法
（1）对于随机数表法，注意：
①抽样过程中选定的初始数和读数的方向是任意的.②若用题中所给的编号，但编号位数不统一时，可在位数少的数前添加“0”来调整.③读数时应结合编号特点进行读取，如：
编号为两位，则两位、两位地读取；
编号为三位，则三位、三位地读取．
（2）随机数表的形成
随机数表由数字0，1，2，…，9组成，并且每个数字在表中各个位置出现的机会都是一样的（随机数表不是唯一的，只要符合各个位置出现各个数字的可能性相同的要求，就可以构成随机数表．常用的方法是通过随机数生成器，例如使用计算器或计算机的应用程序生成随机数的功能，可以生成一张随机数表，通常根据实际需要和方便使用的原则，将几个数组合在一起，如5个数一组，然后通过随机数表抽取样本）
（3）随机数表法的步骤
①编号．将N个个体编号，这里所谓的编号，实际上是编数字号码．
例如：
将100个个体编号成00，01，02，…，99，而不是编号成0，1，2，…，99．
此外，将起始号码选为00，而不是01，这样可使100个个体都可用两位数字号码表表示，便于运用随机数表取数．
②选定初始值（数）．为了保证所选数字的随机性，在查看随机数表前就指出开始数字的横、纵位置．
③选号．从选定的数字开始按照一定的方向读下去，得到的号码若不在编号中或已被选用，则跳过，直到选满n个为止．
④确定样本．按步骤③选出的号码从总体中找出与其对应的个体，组成样本．
（4）随机数表法的优缺点
优点：
简单易行，不论总体容量是多少都可以使用，它很好地解决了用抽签法当总体容量较大时制签难的问题．
缺点：
当总体容量很大，需要的样本容量也很大时，利用随机数表法抽取样本仍不方便．
【例1】某单位举办一场活动，共有50名志愿者参与了报名，现要从中随机抽出6人参加一项活动，请用抽签法进行抽样，并写出过程.
【答案】答案详见解析.
【解析】抽样过程：
第一步，将50名志愿者编号，号码为1，2，3，…，50.
第二步，将号码分别写在号签上.
第三步，将所有号签放入一个不透明的箱子中，充分搅匀.
第四步，依次不放回地抽取6次，并记录其编号，对应编号的志愿者参加活动.
【名师点睛】一个抽样试验能否用抽签法，关键看制作号签是否方便以及号签是否容易被搅拌均匀.
（1）用随机数表法抽取样本时，任选一个数作为开始，读数的方向可以向左，也可以向右、向上或向下，因此根据同一个随机数表所抽取的样本并不是唯一的．
（2）由于随机数表中各数出现的机会是相等的，因此利用随机数表法抽取的样本保证了个体被抽到的可能性是相等的．
（3）若个体的编号是三位数，则从随机数表中选定的数字开始，每次连续读取三个数为一个号码．
（4）由于需要编号，如果总体中的个体数目大多，采用随机数表法进行抽样就显得不太方便．
【例2】为了适应新高考改革，尽快推行不分文理科教学，对比目前文理科学生考试情况进行分析，决定从80名文科同学中抽取10人，从300名理科同学中抽取50人进行分析.由于本题涉及文科生和理科生的混合抽取，你能选择合适的方法设计抽样方案吗?
试一试.
【解析】文科生抽样用抽签法，理科生抽样用随机数表法，抽样过程如下：
（1）先抽取10名文科同学：
第一步，将80名文科同学依次编号为1，2，3，…，80；
第二步，将号码分别写在形状、大小均相同的纸片上，制成号签；
第三步，把80个号签放入一个不透明的容器中，搅拌均匀，每次从中不放回地抽取一个号签，连续抽取10次；
第四步，与号签上号码相对应的10名同学的考试情况就构成一个容量为10的样本.
（2）再抽取50名理科同学：
第一步，将300名理科同学依次编号为001，002，…，300；
第二步，拿出随机数表前先确定起始位置，并确定读数方向（可以向上、向下、向左或向右），然后每次读取三位，凡不在001~300范围内的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次下去，可以得到50个号码；
第三步，这50个号码所对应的同学的考试情况就构成一个容量为50的样本.
【名师点睛】利用随机数表法抽取个体时，关键是确定以表中的哪个数（哪行哪列）作为起点，以哪个方向作为读数的方向.学#%科网
2．系统抽样
解决系统抽样问题的关键步骤为：
（1）分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本.
（2）起始编号的确定应用随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．
【例3】某电视机厂每天生产1000台电视机，要求质检员每天抽取30台，检查其质量状况，请你设计一个调查方案．
【解析】我们可采用系统抽样，方案如下：
第一步，把一天生产的电视机分成30组，由于
的商是33，余数是10，所以每组有33台电视机，还剩10台，抽样间隔为33；
第二步，用简单随机抽样的方法从总体中抽取10台电视机，不进行检验；
第三步，将剩下的电视机进行编号，编号分别为0，1，2，…，989；
第四步，从第一组（编号为0，1，2，3，…，32）的电视机中按照简单随机抽样的方法抽取1台电视机，比如说其编号为k；
第五步，顺序地抽取编号分别为下面数字的电视机：
k+33，k+66，k+99，…，k+29×
33，这样总共抽取了30个样本，对这30个样本进行检验.
【名师点睛】系统抽样不一定就是等距离的抽样，即系统抽样只要按照一定的规则在每段内抽出一个样本即可，样本与样本之间的间隔距离可以不相等．
3．分层抽样
若总体中已经分成差异明显的几层，则适合用分层抽样法抽取样本.
对于分层抽样中的比值问题，求解时，常用的技巧为：
，总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比.
【例4】某校高一年级500名学生中，血型为O型的有200人，血型为B型的有125人，血型为AB型的有50人，血型为A型的有125人．为了研究血型与色弱之间的关系，要从中抽取一个容量为20的样本，应如何抽样？
请写出抽样过程．
【答案】答案详见解析．
【解析】应采用分层抽样法，具体步骤如下：
第一步，分层.按血型分为4层.
第二步，确定各层抽取的人数.
因为抽样比为
，所以从血型为O型的人中抽取
（人），
从血型为B型的人中抽取
从血型为AB型的人中抽取
从血型为A型的人中抽取
（人）．
第三步，按分层抽样抽取分别在4种血型的人中用简单随机抽样的方法抽取样本．
【名师点睛】在分层抽样中，确定抽样比是抽样的关键．
1．一个年级有16个班级，每个班级学生从1到50号编排，为了交流学习经验，要求每班编号为14的同学留下进行交流，这里运用的是
A．分层抽样B．抽签法C．随机数表法D．系统抽样
2．一个年级有12个班，每个班有50名同学，随机编号为1～50，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是
A．抽签法B．分层抽样法C．随机数表法D．系统抽样法
3．某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人，现用分层抽样方法抽取一个容量为30的样本，则各职称中抽取的人数分别为
A．5，10，15B．3，9，18C．5，9，16D．3，10，17
4．某学校有高级教师50人，中级教师125人，初级教师75人，为了解教师学习《十九大报告》的情况，使用分层抽样的方法，从中随机抽取50人进行调查，则中级教师被抽取的人数为
A．10B．15C．20D．25
5．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：
5：
7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n=
A．45B．54C．90D．126
6．为了分析高三年级的8个班400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩，决定在8个班中每班随机抽取12份试卷进行分析，这个问题中样本容量是
A．8B．400C．96D．96名学生的成绩
7．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性
A．与第n次有关，第一次可能性最大
B．与第n次有关，第一次可能性最小
C．与第n次无关，与抽取的第n个样本有关
D．与第n次无关，每次可能性相等
8．某中学高一年级560人，高二年级540人，高三年级520人，用分层抽样的方法抽取容量为81的样本，则在高一、高二、高三三个年级抽取的人数分别是
A．28、27、26B．28、26、24
C．26、27、28D．27、26、25
9．某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取90名学生进行家庭情况调查．经过一段时间后再次从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查，发现有20名同学上次被抽到过，估计这个学校高一年级的学生人数为
A．180B．400C．450D．2000
10．某校高三年级有1221名同学，现采用系统抽样方法抽取37名同学做问卷调查，将1221名同学按1，2，3，4，…，1221随机编号，则抽取的37名同学中，标号落入区间[496，825]的人数有
A．12人B．11人C．10人D．9人
11．某班有学生52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座位号3号，29号，42号的同学都在样本中，那么样本中还有一位同学的座位号是
A．16B．19C．24D．36
12．随着“银发浪潮”的涌来，养老是当下普遍关注的热点和难点问题，济南市创新性的采用“公建民营”的模式，建立标准的“日间照料中心”，既吸引社会力量广泛参与养老建设，也方便规范化管理，计划从中抽取5个中心进行评估，现将所有中心随机编号，用系统（等距）抽样的方法抽取，已知抽取到的号码有5号，23号和29号，则下面号码中可能被抽到的号码是
A．9B．12C．15D．17
13．某班有学生60人，将这60名学生随机编号为1–60号，用系统抽样的方法从中抽出4名学生，已知3号、33号、48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为
A．28B．23C．18D．13
14．高三（15）班共有学生60人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为5的样本，已知3号，15号，45号，53号同学在样本中，那么样本中还有一个同学座号不能是
A．26B．31C．36D．37
15．某市教育主管部门为了全面了解2017届高三学生的学习情况，决定对该市参加2017年高三第一次全国大联考统考（后称统考）的32所学校进行抽样调查；
将参加统考的32所学校进行编号，依次为1到32，现用系统抽样法，抽取8所学校进行调查，若抽到的最大编号为31，则最小的编号是
A．2B．1C．4D．3
16．用0，1，2，…，299给300名高三学生编号，并用系统抽样的方法从中抽取15名学生的数学成绩进行质量分析，若第一组抽取的学生的编号为8，则第三组抽取的学生编号为
A．20B．28C．40D．48
17．用系统抽样的方法从300名学生中抽取容量为20的样本，将300名学生从1–300编号，按编号顺序平均分组．若第16组应抽出的号码为232，则第一组中抽出的号码是
A．5B．6C．7D．8
18．某种饮料每箱装6瓶，库存23箱未开封的饮料，现欲对这种饮料进行质量检测，工作人员需从中随机取出10瓶，若采用系统抽样法，则要剔除的饮料瓶数是
A．2B．8C．6D．4
19．某初级中学有学生300人，其中一年级120人，二，三年级各90人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一，二，三年级依次统一编号为1，2，…300；
使用系统抽样时，将学生统一编号为1，2，…300，并将整个编号依次分为10段．如果抽得的号码有下列四种情况：
①7，37，67，97，127，157，187，217，247，277；
②5，9，100，107，121，180，195，221，265，299；
③11，41，71，101，131，161，191，221，251，281；
④31，61，91，121，151，181，211，241，271，300
关于上述样本的下列结论中，正确的是
A．②③都不能为系统抽样B．②④都不能为分层抽样
C．①④都可能为系统抽样D．①③都可能为分层抽样
20．某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
产品类别
A
B
C
产品数量（件）
1300
各层抽取件数
130
由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是___________件．
21．某校有高中生1200人，初中生900人，老师120人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为N的样本；
已知从初中生中抽取人数为60人，那么N=___________．
22．某地有居民100000户，其中普通家庭99000户，高收入家庭1000户．从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取100户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收人家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是___________%．
23．（2015•北京）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1800
青年教师
1600
合计
4300
A．90B．100C．180D．300
24．（2017•江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取___________件．
25．（2015•福建）某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为___________．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
11
12
13
14
15
16
17
18
19
23
3．【答案】B
【解析】根据分层抽样的定义和方法，抽取的各职称人数分别为30×
=3，30×
=9，30×
=18，故选B．
4．【答案】D
【解析】使用分层抽样的方法，从中随机抽取50人进行调查，则中级教师被抽取的人数为
×
50=25，故选D．
5．【答案】C
【解析】A种型号产品所占的比例为
，18
，故样本容量n=90．故选C．
6．【答案】C
【解析】在本题所叙述的问题中，400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩是总体，每班12名学生的数学成绩是样本，400是总体个数，96是样本容量，故选C．
9．【答案】C
【解析】设这个学校高一年级的学生人数为n，从高一年级的学生中随机抽取90名学生进行家庭情况调查，∵每个学生被抽到的概率是
，∴从中抽取100个，要抽到
，∴n=450，故选C．
10．【答案】C
【解析】使用系统抽样方法，从1221人中抽取37人，即从33人抽取1人．∴从区间[496，825]共330人中抽取10人．故选C．
11．【答案】A
【解析】样本间隔为52÷
4=13，则另外一个座位号为3+13=16，故选A．
12．【答案】D
【解析】5号，23号和29号，则样本间隔为29–23=6，∴样本第一个编号为5，11，17，23，29，
∴可能被抽到的试室号是17，故选D．
13．【答案】C
【解析】抽样间隔为15，故另一个学生的编号为3+15=18，故选C．
14．【答案】D
【解析】根据系统抽样的特征，号码间隔为60÷
5=12，①1～12中，3在①组；
②13～24中，15在②组；
③25～36中，是③组；
④37～48中，45在④组；
⑤49～60中，53在⑤组；
∴样本中还有一个同学应在③组，座号不能是37．故选D．
15．【答案】D
【解析】根据系统抽样法，总体分成8组，组距为
=4，若抽到的最大编号为31，则最小的编号是3．故选D．
18．【答案】B
【解析】由题意知：
23×
6=138，138÷
10=13余8，所以应先从138瓶中随机剔除8瓶．故选B．
19．【答案】D
【解析】在系统抽样中，将学生统一编号为1，2，…300，并将整个编号依次分为10段．则每一段的号码数为30．
①中数据为7，37，67，97，127，157，1
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