人教版八年级数学第十一章 全等三角形教案Word格式.docx
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概念:
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
【教师活动】在纸版上任意剪下一个三角形,要求学生手拿一个三角形,做如下运动:
平移、翻折、旋转,观察其运动前后的三角形会全等吗?
【学生活动】动手操作,实践感知,得出结论:
两个三角形全等.
【教师活动】要求学生用字母表示出每个剪下的三角形,同时互相指出每个三角形的顶点、三个角、三条边、每条边的边角、每个角的对边.
【学生活动】把两个三角形按上述要求标上字母,并任意放置,与同桌交流:
(1)何时能完全重在一起?
(2)此时它们的顶点、边、角有何特点?
【交流讨论】通过同桌交流,实验得出下面结论:
1.任意放置时,并不一定完全重合,只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重合.
2.这时它们的三个顶点、三条边和三个内角分别重合了.
3.完全重合说明三条边对应相等,三个内角对应相等,对应顶点在相对应的位置.
【教师活动】根据学生交流的情况,给予补充和语言上的规范.
1.概念:
把两个全等的三角形重合到一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角.
2.证两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上,如果本图11.1─2△ABC和△DBC全等,点A和点D,点B和点B,点C和点C是对应顶点,记作△ABC≌△DBC.
【问题提出】课本图11.1─1中,△ABC≌△DEF,对应边有什么关系?
对应角呢?
【学生活动】经过观察得到下面性质:
1.全等三角形对应边相等;
2.全等三角形对应角相等.
(二)、随堂练习,巩固深化
课本P4练习.
【探研时空】
1.如图1所示,△ACF≌△DBE,∠E=∠F,若AD=20cm,BC=8cm,你能求出线段AB的长吗?
与同伴交流.(AB=6)
2.如图2所示,△ABC≌△AEC,∠B=30°
,∠ACB=85°
,求出△AEC各内角的度数.(∠AEC=30°
,∠EAC=65°
,∠ECA=85°
)
七、课堂小结
1.什么叫做全等三角形?
2.全等三角形具有哪些性质?
八、作业设计
课本P4习题11.1第1,2,3,
九、板书设计
把黑板分成左、中、右三部分,左边板书本节课概念,中间部分板书“思考”中的问题,右边部分板书学生的练习.
十、教学反思
11.2.1三角形全等的判定(SSS)
1.知识与技能
了解三角形的稳定性,会应用“边边边”判定两个三角形全等.
2.过程与方法
经历探索“边边边”判定全等三角形的过程,解决简单的问题.
3.情感、态度与价值观
培养有条理的思考和表达能力,形成良好的合作意识.
二、教材分析
1.作用与地位:
本节课主要内容是探索三角形全等的条件(SSS),及利用全等三角形进行证明.
2.重点:
掌握“边边边”判定两个三角形全等的方法.
3.难点:
理解证明的基本过程,学会综合分析法.
4.关键:
掌握图形特征,寻找适合条件的两个三角形.
三、资料收集
一块形状如图1所示的硬纸片,直尺,圆规.
(1)
(2)
四、授课类型:
采用“操作──实验”的教学方法,让学生亲自动手,形成直观形象.
(一)、设疑求解,操作感知
【教师活动】
(出示教具)
问题提出:
一块三角形的玻璃损坏后,只剩下如图2所示的残片,你对图中的残片作哪些测量,就可以割取符合规格的三角形玻璃,与同伴交流.
【学生活动】观察,思考,回答教师的问题.方法如下:
可以将图1的玻璃碎片放在一块纸板上,然后用直尺和铅笔或水笔画出一块完整的三角形.如图2,剪下模板就可去割玻璃了.
【理论认知】
如果△ABC≌△A′B′C′,那么它们的对应边相等,对应角相等.反之,如果△ABC与△A′B′C′满足三条边对应相等,三个角对应相等,即AB=A′B′,BC=B′C′,CA=C′A′,∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′.
这六个条件,就能保证△ABC≌△A′B′C′,从刚才的实践我们可以发现:
只要两个三角形三条对应边相等,就可以保证这两块三角形全等.
信不信?
【作图验证】
(用直尺和圆规)
先任意画出一个△ABC,再画一个△A′B′C′,使A′B′=AB,B′C′=BC,C′A′=CA.把画出的△A′B′C′剪下来,放在△ABC上,它们能完全重合吗?
(即全等吗)
【学生活动】拿出直尺和圆规按上面的要求作图,并验证.(如课本图11.2-2所示)
画一个△A′B′C′,使A′B′=AB′,A′C′=AC,B′C′=BC:
1.画线段取B′C′=BC;
2.分别以B′、C′为圆心,线段AB、AC为半径画弧,两弧交于点A′;
3.连接线段A′B′、A′C′.
【教师活动】巡视、指导,引入课题:
“上述的生活实例和尺规作图的结果反映了什么规律?
”
【学生活动】在思考、实践的基础上可以归纳出下面判定两个三角形全等的定理.
(1)判定方法:
三边对应相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”).
(2)判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明三角形全等.
【评析】通过学生全过程的画图、观察、比较、交流等,逐步探索出最后的结论──边边边,在这个过程中,学生不仅得到了两个三角形全等的条件,同时增强了数学体验.
(二)、范例点击,应用所学
【例1】如课本图11.2─3所示,△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架,求证△ABD≌△ACD.(教师板书)
【教师活动】分析例1,分析:
要证明△ABD≌△ACD,可看这两个三角形的三条边是否对应相等.
证明:
∵D是BC的中点,
∴BD=CD
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD(SSS).
【评析】符号“∵”表示“因为”,“∴”表示“所以”;
从例1可以看出,证明是由题设(已知)出发,经过一步步的推理,最后推出结论(求证)正确的过程.书写中注意对应顶点要写在同一个位置上,哪个三角形先写,哪个三角形的边就先写.
(三)、实践应用,合作学习
【问题思考】
已知AC=FE,BC=DE,点A、D、B、F在直线上,AD=FB(如图所示),要用“边边边”证明△ABC≌△FDE,除了已知中的AC=FE,BC=DE以外,还应该有什么条件?
怎样才能得到这个条件?
【教师活动】提出问题,巡视、引导学生,并请学生说说自己的想法.
【学生活动】先独立思考后,再发言:
“还应该有AB=FD,只要AD=FB两边都加上DB即可得到AB=FD.”
【教学形式】先独立思考,再合作交流,师生互动.
(四)、随堂练习,巩固深化
课本P8练习.
如图所示,AB=DF,AC=DE,BE=CF,BC与EF相等吗?
你能找到一对全等三角形吗?
说明你的理由.(BC=EF,△ABC≌△DFE)
1.全等三角形性质是什么?
2.正确地判断出全等三角形的对应边、对应角,利用全等三角形处理问题的基础,你是怎样掌握判断对应边、对应角的方法?
3.“边边边”判定法告诉我们什么呢?
(答:
只要一个三角形三边长度确定了,则这个三角形的形状大小就完全确定了,这就是三角形的稳定性)
课本P15习题11.2第1,2题.
把黑板平均分成三份,左边部分板书“边边边”判定法,中间部分板书例题,右边部分板书练习.
十、教学反思
11.2.2三角形全等判定(SAS)
1.知识与技能领会“边角边”判定两个三角形的方法.
2.过程与方法经历探究三角形全等的判定方法的过程,学会解决简单的推理问题.
3.情感、态度与价值观培养合情推理能力,感悟三角形全等的应用价值.
1.作用与地位:
本节课主要内容是探索三角形全等的条件(SAS),及利用全等三角形证明.
会用“边角边”证明两个三角形全等.
应用结合法的格式表达问题.
在实践、观察中正确选择判定三角形全等的方法.
三、资料收集直尺、圆规.
四、授课类型新授课
采用“操作──实验”的教学方法,让学生有一个直观的感受.
(一)、回顾交流,操作分析
【动手画图】
【学生活动】动手用直尺、圆规画图.
已知:
∠AOB.
求作:
∠A1O1B1,使∠A1O1B1=∠AOB.
【作法】
(1)作射线O1A1;
(2)以点O为圆心,以适当长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D;
(3)以点O1为圆心,以OC长为半径画弧,交O1A1于点C1;
(4)以点C1为圆心,以CD长为半径画弧,交前面的弧于点D1;
(5)过点D1作射线O1B1,∠A1O1B1就是所求的角.
【导入课题】
教师叙述:
请同学们连接CD、C1D1,回忆作图过程,分析△COD和△C1O1D1中相等的条件.
【学生活动】与同伴交流,发现下面的相等量:
OD=O1D1,OC=O1C1,∠COD=∠C1O1D1,△COD≌△C1O1D1.
归纳出规律:
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”).
【评析】通过让学生回忆基本作图,在作图过程中体会相等的条件,在直观的操作过程中发现问题,获得新知,使学生的知识承上启下,开拓思维,发展探究新知的能力.
【教学形式】操作感知,互动交流,形成共识.
(二)、范例点击,应用新知
【例2】如课本图11.2-6所示有一池塘,要测池塘两侧A、B的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点,连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE,那么量出DE的长就是A、B的距离,为什么?
【教师活动】操作投影仪,显示例2,分析:
如果能够证明△ABC≌△DEC,就可以得出AB=DE.在△ABC和△DEC中,CA=CD,CB=CE,如果能得出∠1=∠2,△ABC和△DEC就全等了.
证明:
在△ABC和△DEC中
∴△ABC≌△DEC(SAS)
∴AB=DE
想一想:
∠1=∠2的依据是什么?
(对顶角相等)AB=DE的依据是什么?
(全等三角形对应边相等)
【学生活动】参与教师的讲例之中,领悟“边角边”证明三角形全等的方法,学会分析推理和规范书写.
【教学形式】教师讲例,学生接受式学习但要积极参与.
【评析】证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题,常常通过证明这两个三角形全等来解决.
(三)、辨析理解,正确掌握
【问题探究】
我们知道,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?
为什么?
【教师活动】拿出教具进行示范,让学生直观地感受到问题的本质.
操作教具:
把一长一短两根细木棍的一端用螺钉铰合在一起,使长木棍的另一端与射线BC的端点B重合,适当调整好长木棍与射线BC所成的角后,固定住长木棍,把短木棍摆起来(课本图11.2-7),出现一个现象:
△ABC与△ABD满足两边及其中一边对角相等的条件,但△ABC与△ABD不全等.这说明,有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.
【学生活动】观察教师操作教具、发现问题、辨析理解,动手用直尺和圆规实验一次,做法如下:
(如图1所示)
(1)画∠ABT;
(2)以A为圆心,以适当长为半径,画弧,交BT于C、C′;
(3)连线AC,AC′,△ABC与△ABC′不全等.
【形成共识】“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件.
【教学形式】观察、操作、感知,互动交流.
课本P10练习第1、2题.
七、课堂小结
1.请你叙述“边角边”定理.
2.证明两个三角形全等的思路是:
首先分析条件,观察已经具备了什么条件;
然后以已具备的条件为基础根据全等三角形的判定方法,来确定还需要证明哪些边或角对应相等,再设法证明这些边和角相等.
八、布置作业,专题突破
课本P15习题11.2第3、4题.
把黑板分成左、中、右三部分,其中右边部分板书“边角边”判定法,中间部分板书例题,右边部分板书练习题.
11.2.3三角形全等判定(ASA、AAS)
一、教学目标
理解“角边角”、“角角边”判定三角形全等的方法.
经历探索“角边角”、“角角边”判定三角形全等的过程,能运用已学三角形判定法解决实际问题.
培养良好的几何推理意识,发展思维,感悟全等三角形的应用价值.
本节课主要内容是探索三角形全等的判定(ASA,AAS),及利用全等三角形的证明.
应用“角边角”、“角角边”判定三角形全等.
学会综合法解决几何推理问题.
把握综合分析法的思想,寻找问题的切入点.
投影仪、幻灯片、直尺、圆规.
四、授课类型新授课
五、教学方法
采用“问题教学法”在情境问题中,激发学生的求知欲.
(一)、回顾交流,巩固学习
【知识回顾】
(投影显示)
情境思考:
1.小菁做了一个如图1所示的风筝,其中∠EDH=∠FDH,ED=FD,将上述条件注在图中,小明不用测量就能知道EH=FH吗?
与同伴交流.
[答案:
能,因为根据“SAS”,可以得到△EDH≌△FDH,从而EH=FH]
2.如图2,AB=AD,AC=AE,能添上一个条件证明出△ABC≌△ADE吗?
[答案:
BC=DE(SSS)或∠BAC=∠DAE(SAS)].
3.如果两边及其中一边的对角对应相等,两个三角形一定会全等吗?
试举例说明.
【教师活动】操作投影仪,提出问题,组织学生思考和提问.
【学生活动】通过情境思考,复习前面学过的知识,学会正确选择三角形全等的判定方法,小组交流,踊跃发言.
【教学形式】用问题牵引,辨析、巩固已学知识,在师生互动交流过程中,激发求知欲.
(二)、实践操作,导入课题
【动手动脑】
问题探究:
先任意画一个△ABC,再画出一个△A′B′C′,使A′B′=AB,∠A′=∠A,∠B′=∠B(即使两角和它们的夹边对应相等),把画出的△A′B′C′剪下,放到△ABC上,它们全等吗?
【学生活动】动手操作,感知问题的规律,画图如下:
画一个△A′B′C′,使A′B′=AB,
∠A′=∠A,∠B′=∠B:
1.画A′B′=AB;
2.
在A′B′的同旁画∠DA′B′=∠A,
∠EBA′=∠B,A′D,B′E交于点C′。
探究规律:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”).
【知识铺垫】课本图11.2─8中,∠A′=∠A,∠B′=∠B,那么∠C=∠A′C′B′吗?
【学生回答】根据三角形内角和定理,∠C′=180°
-∠A′-∠B′,∠C=180°
-∠A-∠B,由于∠A=∠A′,∠B=∠B′,∴∠C=∠C′.
【教师提问】在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF(课本图11.2─9),△ABC与△DEF全等吗?
【学生活动】运用三角形内角和定理,以及“ASA”很快证出△ABC≌△EFD,并且归纳如下:
归纳规律:
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简与成AAS).
(三)、范例点击,应用所学
【例3】如课本图11.2─10,D在AB上,E在AC上,AB=AC,∠B=∠C,求证:
AD=AE.
【教师活动】引导学生,分析例3.关键是寻找到和已知条件有关的△ACD和△ABE,再证它们全等,从而得出AD=AE.
在△ACD与△ABE中,
∴△ACD≌△ABE(ASA)
∴AD=AE
【学生活动】参与教师分析,领会推理方法..
【教学形式】师生互动.
【教师提问】三角对应相等的两个三角形全等吗?
【学生活动】与同伴交流,得到有三角对应相等的两个三角形不一定会全等,拿出三角板进行说明,如图3,下面这块三角形的内外边形成的△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,但是它们不全等.(形状相同,大小不等).
课本P13练习第1,2题.
1.证明两个三角形全等有几种方法?
如何正确选择和应用这些方法?
2.全等三角形性质可以用来证明哪些问题?
举例说明.
3.你在本节课的探究过程中,有什么感想?
课本P15习题11.2第5,6,9,10题.
把黑板分成三部分,左边部分板书“角边角”、“角角边”判定法,中间部分板书例题、画图,右边部分板书练习.
11.2.4直角三角形全等判定(HL)
在操作、比较中理解直角三角形全等的过程,并能用于解决实际问题.
经历探索直角三角形全等判定的过程,掌握数学方法,提高合情推理的能力.
培养几何推理意识,激发学生求知欲,感悟几何思维的内涵.
本节课主要内容是探究直角三角形的判定方法.
理解利用“斜边、直角边”来判定直角三角形全等的方法.
培养有条理的思考能力,正确使用“综合法”表达.
判定两个三角形全等时,要注意这两个三角形中已经具有一对角相等的条件,只需找到另外两个条件即可.
投影仪、幻灯片、直尺、圆规.
五、教学方法
采用“问题探究”的教学方法,让学生在互动交流中领会知识.
(一)、回顾交流,迁移拓展
图1是两个直角三角形,除了直角相等的条件,还要满足几个条件,这两个直角三角形才能全等?
【教师活动】操作投影仪,提出“问题探究”,组织学生讨论.
【学生活动】小组讨论,发表意见:
“由三角形全等条件可知,对于两个直角三角形,满足一边一锐角对应相等,或两直角边对应相等,这两个直角三角形就全等了.”
【教学形式】分四人小组,合作、讨论.
【情境导入】如图2所示.
舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
(1)你能帮他想个办法吗?
(2)如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗?
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发现它们分别对应相等,于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”,你相信他的结论吗?
【思路点拨】
(1)学生可以回答去量斜边和一个锐角,或直角边和一个锐角,但对问题
(2)学生难以回答.此时,教师可以引导学生对工作人员提出的办法及结论进行思考,并验证它们的方法,从而展开对直角三角形特殊条件的探索.
【教师活动】操作投影仪,提出问题,引导学生思考、验证.
【学生活动】思考问题,探究原理.
做一做如课本图11.2─11:
任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°
,再画一个Rt△A′B′C′,使B′C′=BC,A′B′=AB,把画好的Rt△A′B′C′剪下,放到Rt△ABC上,它们全等吗?
【学生活动】画图分析,寻找规律.如下:
规律:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).
画一个Rt△A′B′C′,使B′C′=BC,AB=AB;
1.画∠MC′N=90°
。
2.在射线C′M上取B′C′BC。
3.以B′为圆心,AB为半径画弧,交射线C′N于点A′。
4.连接A′B′。
【例4】如课本图11.2─12,AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD,求证BC=AD.
【思路点拨】欲证BC=AD,首先应寻找和这两条线段有关的三角形,这里有△ABD和△BAC,△ADO和△BCO,O为DB、AC的交点,经过条件的分析,△ABD和△BAC具备全等的条件.
【教师活动】引导学生共同参与分析例4.
∵AC⊥BC,BD⊥BD,
∴∠C与∠D都是直角.
在Rt△ABC和Rt△BAD中,
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
∴BC=AD.
【学生活动】参与教师分析,提出自己的见解.
【评析】在证明两个直角三角形全等时,要防止学生使用“SSA”来证明.
(三)、随堂练习,巩固深化
课本P14第练习1、2题.
如图3,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方面的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DEF的大小有什么关系?
下面是三个同学的思考过程,你能明白他们的意思吗?
(如图4所示)
→△ABC≌△DEF→∠ABC→∠DEF→∠ABC+∠DEF=90°
.
有一条直角边和斜边对应相等,所以△ABC与△DEF全等.这样∠ABC=∠DEF,也就是∠ABC+∠DEF=90°
在Rt△ABC和Rt△DEF中,BC=EF,AC=DF,因此这两个三角形是全等的,这样∠ABC=∠DEF,所以∠ABC与∠DEF是互余的.
【教学形式】这个问题涉及的推理比较复杂,可以通过全班讨论,共同解决这个问题,但不需要每个学生自己独立说明理由,只要求学生能看懂三位同学的思考过程就可以了.
本节课通过动手操作,在合作交流、比较中共同发现问题,培养直观发现问题的能力,在反思中发现新知,体会解决问题的方法.