线性代数习题1Word格式文档下载.docx

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3

3/2

3/4

4/3

1」

4），=（1,1/2

1/3,

1/4

A100

■o0r

’02-2、

5、已知A=

021

，求A的伴随矩阵A*0（

3-30

32b

1—600』

11

10

的逆矩阵

00

00丿

001

01-1

1-10）

000

000」

•'

201、

广20—1、

A及A的逆矩阵A~o（A=

030

A，=丄

010

I102丿

-102」

矩阵

8

（1）设分块矩阵

iB

A可逆，其中A、

B分别为m

阶、

阶可逆矩阵,

的结果，

计算下列矩阵的逆矩阵

9、

10

（A*）亠

（0

5

-2

"

1A.

-BCA

B-

0丿

8

-16

-1

-22

43

-5

°

」

-、,3/2

时,

A6=E，

求A11o（

A11

阵A的逆矩阵

I-J3/2

1/2丿

A*

11、已知三阶方阵

3/2，求（（A*）T尸

5/2

（（a*）t）4at

detA

-4

-6

一4）

12、已知三阶方阵

1/2、

，求（（A*）J）T0（

1t1t

（（A*））T=^^AT=

3丿

J/2

3/2s

A二

13、求解矩阵方程

AX=B

广0

-T

z2

0^

广—19/2

-5/2、

B=

4

0（

7/2

-b

J

、、5

1>

其中A二

r1

-1、

A=

C3

0

勺

2、

订

求矩阵方程

14、设矩阵

X二B（E_A｝二

XA

15、已知A=

阶矩阵

满足A2

X=2E+AX,

求矩阵

-1/3

—4/3

.—4/3

1丿

X=2（A2_A）」

「1

-1'

16、已知A

=

，且A2-AB=E（其中E为三阶单位矩阵），求矩阵B

e

-1」

广

（B=A-A，=

0」

0，求矩阵B

1/11丿

‘1/20

17、设三阶方阵A、B满足关系式A，BA=5A+BA，其中A=01/6

L00

塔00、

（^5（A--E）-=010）

迎01/2』

19、已知3阶矩阵A=0

-20,满足关系A*BA=2BA-8E（其中A*为矩阵A的伴随矩

01」

‘200、

阵）。

求矩阵B。

（B=8（2A—AA*）°

=4（A+E）」=0—40）

002」

‘101"

201'

21、设矩阵A=

020

满足AB+E=A2+B，求矩阵BO（B=A+E=

101」

102」

广30O'

（X=（A」B—A）二BA」=0-11/2）

I。

1/2-1』

A*为A的伴随矩阵，求行列式（-2A厂1-3A*之

24、设A为三阶方阵，detA=-1

值。

（-3/8）

25、设：

•、：

、2、3、4是四维列向量，且A=I'

-'

2,3,4=4,

B=■-,2,3,4=1,求A+BO（40）

26、设*0、年、迄均为3维行向量，并且A=

2鸡

，已知IAI=6,

I2丿

B=1/2,求A-Bo

（1）

2100"

27、设矩阵A=1一200，求|a6Io（|A6I=IAI6=1012）

0040

0075」

28、设A是n阶方阵，ATA=E，且A=-1，求A+Eo（0）

2召

29、设矩阵A*为n阶矩阵A的伴随矩阵，求出11A*IAI的值。

（An“）

30、设A是四阶可逆矩阵，并且A=6，A*是矩阵A的伴随矩阵，求A*A、

IIA^A、A*A'

o（613、1/216、36）

31、计算下列行列式

（2）

n=

a

x…

a…

x

x—1

x+1

x-1

X+1

（1）D

x+（n-1

（3）

a1-b1

a1

a2

a2b2

a3

…

nT

n

---

an

b1

b2

bn

（5）

（6）

（7）

a3b3

（T）n“ab

iW

）a]（x-a）n-1）

（5a+b）（a-b））

anbn

，其中

n（n」）

（-1）k6（n-3）!

n其中a=1,i=1,2,…，n（（1xu

（Ibj（1J彳））

iTi^bi

（ai-1））

aj_1i

a11

1a1

（8）Dn=11a

111

1（（a+n—1）（a-1）n~）

a+b+2c

（9）

c

b+c+2a

c+a十2b

（2（a+b+c））

（10）

（-34）

a。

0…

_1…

（11）

■一

■-■

・・・

（n>

an_2

an4

2x

/ndn_2、

aox+a1x+…+a鸡x+an_1）

（12）

（13）

2-x

2+y

2-y

x+y

x-y

x—y

x—y

_y

（x2y2）

（16x2y2）

1-a

十

y

（14）D5

（-a））

i=0

1…

a1…

（15）

a2…

an-4_bnJ

an—bn

an…

a2-b2

an4anXan4

ananan

n（n3）

（（-1）=b1b2bn）

aibi0

0a2b2

bn00

0）

…00

anjbnj

…0an

（18）D5=

（665）

103

100

204

199

200

395

301

300

600

（19）

（2000）

32、设n阶行列式

Dn的元素aij满足aij=min（i,j）

求Dn的值。

（1

33、求出方程

丸-112

1九一23=0的根

23九一3

。

（_2,4-.3,^3）

xxy

34、当x、y满足什么条件时，可使行列式xyx=0

yxx

（y=-2x或y=x）

35、计算下列各值

（1）设行列式

-31

57

22

1-5

，又设

Aij

A中元素aij的代数余子式（i,j=1,

5、

（2）已知五阶行列式D5=det

=27,其中A41,A42,A43,A44,A45

是a4i,a42,a43,a44,a45的代数余子式，

求：

①A41+A42+A43的值；

②A44+A45的

（①-9;

②18）

36、设A=（a订）为n（n一3）阶非零实矩阵，且已知Aij=aij（i,j=1,2,…，n）,

其中Aij为该矩阵元素aij的代数余子式，求detA。

（1）

37、证明题

（1）设n阶矩阵A=2暮，其中a工aj（i丰j,i,j=1,2,…，n）。

求证：

an』

与A可交换的矩阵只能是对角矩阵。

（2）设A、B均为n阶矩阵，且满足A2=E，B2=E（E为单位矩阵），求证：

（AB）2=E

的充分必要条件是A与B可交换。

（3）证明：

若A为n阶可逆矩阵，且与矩阵B可交换，则A_1也与B可交换。

（4）设A和B都是数域F上的n阶矩阵，试证：

如果E-AB可逆，则E-BA也可逆，

且（E-BA）‘=E+B（E-AB）二A。

（5）设A为n阶可逆矩阵，并且A2=AE，证明：

A*=A。

（6）设A是一个n阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵，试证：

（A*）'

=（A，）*。

TT_1

（7）设A是n阶方阵，且AA=E，证明：

（A*）=（A*）。

（8）

设A是n阶可逆方阵，

将A的第i行与第j行对换后得到矩阵Bo

（1）证明B可逆；

求AB」。

（ABJ

=P（i,j）

-1…

证明

=xn+an」xn」+…+a1x+a0o

ao

a2■…

an_2

x怜」

（10）设三阶行列式D=

IajI,

且aj

的代数余子式为Aij（i,j=1,2,3）,证明：

aii

+x

a12+x

a13

33

a21

a22+x

a23

=D+x瓦瓦Aj

o

a32+x

a31

a33