数学竞赛专题教案6年级工程问题教案Word下载.docx
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（5,3）】,20（天）153015
答:
乙队单独完成全部工程需要20天。
例2、甲乙两名打字员合作24天可以完成一份书籍。
现在由甲先打16天，然后乙再打12天，完成了这份书籍
3的。
已知甲每天比乙每天多打300个字，求这份书籍有多少个字?
5
3分析:
根据题意可将“甲先打16天，然后乙再打12天，完成了这份书籍的”转化成“两人合作12天，再由5
3甲打16-12=4（天），完成了书籍的”。
这样可以求出甲4天的工作量，即可求出甲的工作效率和乙的5
工效。
再根据工效差找到工效差的对应比率，即可求出单位“1”，书稿的总字数。
311,,解:
，,,,121612，，,,52440,,
111,,244060
11,300?
（）=36000（字）2440
共有36000个字。
1例3、甲、乙两个工程队共同完成一项工程需18天，如果甲队干3天、乙队干4天则完成工程的。
问甲、乙5两队独立完成该工程个需要多少天,
11分析;
如果甲队干3天、乙队干4天则完成工程的,看成甲乙合作做3天，乙接着做1天完成工程的55
11甲乙共同工作3天完成，，,3186
1111解;
乙一天干，乙独立完成所需要的时间1?
=30天,,305630
1111甲一天干。
甲独立完成所需要的时间1?
=45天,,45183045
甲需要45天，乙需要30天。
例4、一项工作，甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。
如果甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成
2
22这项工作的;
如果甲、乙合做3小时后，丙做6小时，也可以完成这项工作的。
如果由甲、丙合做，需几33
小时完成,
2分析:
将条件“甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的”组合成“甲工作4小时，甲、3
2乙、丙合做2小时可以完成这项工作的”，则求出甲的工作效率。
同理，运用“组合法”再求出3
丙的工作效率。
甲每小时完成这项工程的几分之几
211（,×
2）?
（6,2）,3612
丙每小时完成这项工程的几分之几
（6,3）,3618
甲、丙合做需完成的时间为:
1111?
（+）,7（小时）12185
1答:
甲、丙合做完成需要7小时。
例5、一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。
先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参
加一起修7天后全部完成。
如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，几天可以完成,分析:
将条件“先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成”组合成“甲、乙两队各修（4+7）
11天后，再由丙队单独修了7天才全部完成。
”就可以求出丙队的工作效率。
丙队每天修这条公路的
111【1,（+）】×
（4+7）,243040
三队合修完成时间为
（++）,10（天）243040
10天可以完成。
小结:
工程问题，工作效率往往隐藏在条件中，工作过程也较为复杂，要仔细梳理工作过程、灵活运用基
本数量关系。
涉及到具体数量的工程问题，关键要找到已知的具体数量与对应分率之间的关系，转化为分
数应用题来解答。
二、专题过关
81、甲、乙两队合做，20天可完成一项工程。
先由甲队独做8天，再由乙队独做12天，还剩这项工程的。
15
甲、乙两队独做各需几天完成,
2、一项工程，甲、乙合做8天完成。
如果先让甲独做6天，再由乙独做，完成任务时发现乙比甲多了3天。
乙独做这项工程要几天完成,
3
3、某工作，甲单独做要12天，乙单独做要18天，丙单独做要24天。
这件工作先由甲做了若干天，再由乙
接着做;
乙做的天数是甲3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙的2倍。
终于完成了这一工作。
问总共用
了多少天,
34、修一条公路，甲、乙两队合做6天可以完成。
先由甲队修5天，再由乙队修3天，还剩这条公路的没10
有修。
已知甲队每天比乙队多修20米。
这条公路全长多少米,
5、一项工程，甲、乙两队合做10天完成，乙、丙两队合做8天完成。
现在甲、乙、丙三队合做4天后，余下
1的工程由乙队独做5天完成。
乙队单独做这项工程需多少天可以完成,2
6、一件工作，甲、乙合做4小时完成，乙、丙合做5小时完成。
现在由甲、丙合做2小时后，余下的由乙6
小时完成。
乙独做这件工作需几小时才能完成,
7、一件工作，甲单独做12小时完成。
现在甲、乙合做4小时后，乙又用6小时才完成。
这件工作始终由甲、
乙合做几小时可以完成,
8、一项工程，甲、乙两队合做30天完成，甲队单独做24天后，乙队加入，两队又合做了12天。
这时甲队调
走，乙队又继续做了15天才完成。
甲队独做这项工程需要多少天,
答案:
811、乙:
1?
【（1,,×
8）?
（12,8）】,60天1520
11甲:
（,）,30天2060
4
12、1?
【（1,×
6）?
3】,12天8
1113、甲做的天数:
（+×
3+×
3×
2）,2天121824
总共的天数:
2+2×
3+2×
2,20天
3114、甲队每天修这条公路的（1,,×
（5,3）,10610
111这条公路全长多少米20?
【,（,）】,600米10610
11115、乙队每天能做全工程的【1,（×
4,×
4）】?
（5,4）,108215
1乙队单独做这项工程需要的时间1?
15天15
1116、乙队的工作效率【1,（×
2+×
2）】?
（6,2,2）,4520
1乙独做这件工作需要的时间1?
20小时20
117、乙每小时做这件工程的（1,×
4）?
（6+4）,1215
112甲、乙合做完成需要的时间1?
（+）,6小时12153
118、甲队的工作效率【1,×
（12+15）】?
（24,15）,3090
1甲队单独做需要的时间1?
90天90
三、学法提炼
1、专题特点:
“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径。
2、解题方法:
三个关系式:
工作量=工作效率×
工作时间，工作时间=工作量?
工作效率，工作效率=工作量?
工作时间
3、注意事项:
工程问题，工作效率往往隐藏在条件中，工作过程也较为复杂，要仔细梳理工作过程、灵活运用基本数量关系。
5
例1、一项工程，甲单独做需要12小时，乙单独做需要18小时。
若甲做1小时后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时……两人如此交替工作，问完成任务时需共用多少小时,
分析:
把2小时的工作量看做一个循环，先求出循环的次数。
1136?
需循环的次数为:
（+）=,7（次）12185
111?
7个循环后剩下的工作量是:
1-（+）×
7=121836
余下的工作两还需甲做的时间为:
?
=（小时）36123
11?
完成任务共用的时间为:
2×
7+=14（小时）33
例2、甲、乙两人合作加工一批零件，8天可以完成。
中途甲因事停工3天，因此，两人共用了10天才完成。
如果由甲单独加工这批零件，需要多少天才能完成,
解法一:
先求出乙的工作效率，再求出甲的工作效率。
最后求出甲单独做需要的天数。
17?
甲、乙同时做的工作量为×
（10-3）,88
71?
乙单独做的工作量为1,,88
乙的工作效率为?
3=824
甲的工作效率为,,82412
甲单独做需要的天数为1?
12（天）12
解法二:
从题中得知，由于甲停工3天，致使甲、乙两人多做了（10-8=）2天。
由此可知，甲3天的工作量相
当于这批零件的2?
8=1/4
3?
[（10-8）?
8]=12（天）或
[8?
（10-8）]=12（天）
甲单独做需要12天完成。
例2是特殊的工程题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这时我们就可以考虑运用一些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。
例3、一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天数完成。
如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60个不能完成。
已知甲、乙工作效率的比是5:
3。
甲、乙每天各做多少个,
由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。
根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下:
甲乙甲乙……甲乙甲
乙甲乙甲……乙甲乙剩60个
竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。
竖线右边可以看出，剩下的60个零件就是甲、乙工作效率的差。
6
甲每天做的个数为:
60?
（5-3）×
5=150（个）
乙每天做的个数为:
3=90（个）
甲每天做150个，乙每天做90个。
例4、一部书稿，甲单独打字要14小时完成，乙单独打字要20小时完成。
如果先由甲打1小时，然后由乙接着甲打1小时，再由甲接替乙打1小时，„„两人如此交替工作。
那么，打完这部书稿时，甲、乙二人共用了多少小时,
1117解:
甲、乙接替打，两小时（一轮）完成，，,1420140
173416小时完成8，,14035
341还剩，1,,3535
1122甲做用（小时），所以甲、乙共用小时。
,16351455
例5、有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。
原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成。
1如果按乙、丙、甲次序轮做。
比原计划多用0.5天;
如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用天。
已知甲单3独做13天完成。
且3个工程队的工效各不相同。
这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工,
由题意可以推出:
按甲、乙、丙次序轮做，能够的天数必定是3的倍数余1或余2。
如果是3的倍数，三种轮流方式完工的天数，必定相同。
如果按甲、乙、丙的次序轮流做，用的天数是3的倍数余1。
三种轮流方式做的情况可表示如下:
甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙，甲
1乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲，乙丙2
1丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙，丙甲3
21212从中可以退出:
丙=甲;
由于乙=甲,丙=甲,甲×
，又推出乙=甲;
与题中“三个工程队的工效32323
各不相同”矛盾。
所以，按甲、乙、丙的次序轮做，用的天数必定是3的倍数余2。
三种轮流方式用的天数必定如下所示:
甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙，甲乙
1乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲，乙丙甲2
1丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙，丙甲乙3
12由此推出:
丙=甲，丙=乙23
丙队每天做这项工程的×
=13226
123?
乙队每天做这项工程的?
=26352
7
1137?
甲、乙、丙合作完工需要的时间为1?
（++）=5（天）1326529
7答:
甲、乙、丙合作要5天完工。
9
首先要弄清一个循环周期的工作量，利用周期性规律，使貌似复杂的问题迅速地化难为易。
其次要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间，这样才能正确解答。
1、一项工作，甲单独完成要9小时，乙单独完成要12小时。
如果按照甲、乙;
甲、乙……的顺序轮流工作，
2每人每次工作1小时，完成这项工程的共要多少时间,3
32、一项工程，甲、乙合作12小时可以完成。
如果第一小时甲做，第二小时乙做，这样轮流交替做，也恰好5
1用整数小时完成。
如果第一小时乙做，第二小时甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多小时才能完3
成。
这项工程由甲独做几小时可以完成,
3、蓄水池有一跟进水管和一跟排水管。
单开进水管5小时灌满一池水，单开排水管3小时排完一池水。
现在池
内有半池水，如果按进水、排水;
进水、排水……的顺序轮流依次各开1小时，多少小时后水池的水刚好排
完,
4、一项工程，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流恰好用整数天完成。
如果第一天乙做，第二天甲做，
25这样交替轮流做要多天才能完成。
如果让甲、乙二人合作，只需2天就可以完成。
现在，由乙独做需要58
几天才能完成,
5、红星机械厂有1080个零件需要加工。
如果第一小时让师傅做，第二小时让徒弟做，这样交替轮流，恰好
8
整数小时可以完成。
如果第一小时让徒弟做，第二小时让师傅做，这样交替轮流，做到上次轮流完成时所
用的天数后，还剩60个不能完成。
如果让师、徒二人合作，只需3小时36分就能完成。
师、徒每小时各
能完成多少个,
6、一项工程，甲单独做要50天完工，乙单独做需60天完工。
现在，自某年的3月2日两人一起开工，甲每
52工作3天则休息1天，乙每工作5天则休息一天，完成全部工程的为几月几日,75
7、一项工程，甲工程队单独做完要150天，乙工程队单独做完需180天。
两队合作时，甲队做5天，休息2
天，乙队做6天，休息1天。
完成这项工程要多少天,
8、有一项工程，由三个工程队每天轮做。
原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好用整数天完成。
如果按乙、丙、
11甲次序轮做。
比原计划多用天;
已知甲单独做7天完成。
34
21124答案:
1、
（1）需循环的次数?
（+）,,339127
2111
（2）3个循环后剩下的工作量,（+）×
3,391212
113（3）最后由乙做的时间?
小时1294
33
（1）需要的总时间2×
3+,6小时44
2332、提示:
乙的效率是甲的1?
（1?
12×
）,21小时353,1+3
9
111153、
（1）需几个周期?
（,）×
3,,32354
1111
（2）3个周期后剩下的水,（,）×
3,23510
1119（3）需要的时间2×
3+1+（+）?
7小时105310
23534、提示:
乙的效率是甲的（1,）,1?
2×
）,7天5585,2+5
335、3小时36分,3小时师、徒效率和:
1080?
3,300个55
师傅每小时的个数:
（300+60）?
2,180个徒弟每小时的个数:
（300,60）?
2,120个6、提示:
把12天看作一个循环
1912天中甲的工作量×
（3+3+3）,5050
1112天中乙的工作量×
（5+5）,606
5291总共需要的天数?
（+）,275506
（12天减去最后休息的1天）12×
2,1,23天
52完成全部任务的为3月24日。
75
227、提示:
把7天看作一个周期1?
（×
5+×
6）,157×
15,1,104天33
8、提示:
按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3的倍数余2，否则与题意不符。
由此推出丙的效率
23是甲的，丙的效率也是乙的。
34
122
（1）丙的工作效率×
7321
238
（2）乙的工作效率?
21463
12817（3）甲、乙、丙三队合做的天数1?
（++）,2天7216323
1、专题特点:
在周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。
2、解题方法:
在周期工程问题中，解答时首先要弄清一个循环周期的工作量，其次要注意最后不满一个周期
的部分所需工作时间，这样才能正确解答。
3、注意事项:
周期工程问题意最后不满一个周期的部分所需工作时间
10
一、能力培养
例1、一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作,
解一:
9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是
（18-2×
3）?
3=4（天）.
解二:
甲与乙的工作效率之比是
6?
9=2?
3.
甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）.
例2、（“我爱数学杯”竞赛试题）有一项工程，甲乙两人合作了12天后，还剩下一部分工作没有完成。
如果将剩下的工作由甲单独完成则需要15天，而由乙单独完成则需要20天。
那么，这项工作由甲全部完成需要多少天?
从“如果将剩下的工作由甲单独完成则需要15天，而由乙单独完成则需要20天”这个条件中我们不难发现，甲15天的工作量等于20天的工作量，从而得知甲乙的工效之比。
解:
甲的工效:
乙的工效=20:
15=4:
完成同样的工作量的情况下，甲的时间:
乙的时间=15:
20=3:
12?
4×
3+12+15=36（天）
例3、
（1）加工一批零件，原计划每天加工20个，15天完成。
实际加工了3天后，引进了新的加工设备，效率比原来提高了20%，问实际完成工作比计划提前了多少天,
1
（2）加工一批零件，原计划15天完成。
实际加工了7天后，引进了新的加工设备，效率比原来提高了，7问实际完成工作比计划提前了多少天,
1（3）加工一批零件，原计划15天完成。
实际加工了一些天后，引进了新的加工设备，效率比原来提高了，4结果比计划提前2天完成任务，问引进新设备后又工作了多少天,
分析与解:
分段考虑，同样的工作，工作时间与工作效率成反比。
（1）还剩20×
（15,3）=240个零件需要完成;
每天完成20×
（1+20%）=24个;
还需要10天，提前:
15,3,10=2天
（2）效率之比与原来为8:
7，所以完成同样的工作需要的时间之比为7:
8;
7所以后面计划15,7=8天的工作量实际需要:
;
1577,，,，，8
提前了1天;
1（3）效率之比与原来为5:
4，所以完成同样的工作需要的时间之比为4:
5;
所以引进设备后时间提前了;
14天;
所以引进新设备后工作了天;
210,,108，,55
例4、（华杯赛初赛）师傅有两名徒弟，要加工一批零件，按加工零件数量的比例分配数额固定的一笔酬金。
如果师傅和徒弟甲一起加工，师傅应该得到3600元;
如果师傅和徒弟乙一起加工，师傅应该得到4500元。
已知
11
徒弟甲的工作效率是乙的两倍，那么如果三个人一起加工，师傅应该得到多少元,
两个方案的时间之比是3600:
4500=4:
5，第一个方案中甲的工作总量与第二个方案中乙的工作总量之比是（4×
2）:
5=8:
5，因此第一个方案中甲获得的报酬是
元，
师傅与甲的工作效率之比是3600:
2400=3:
2，
那么三个人的工效之比就是3:
2:
1，
三人合做师傅应得元。
能力点评
学法升华
知识收获
理解工作总量、工作时间、工作效率之间的关系。
理解工作总量看作单位“1”。
工程问题常用的解答方法:
算术方法、比例方法、方程解法。
能灵活用公式解实际工程应用问题。
二、方法总结
工作总量看作是单位“1”、
1工作效率看作是。
三、技巧提炼
“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径。
周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。
解答时，首先要弄清一个循环周期的工作量，利用周期性规律，使貌似复杂的问题迅速地化难为易。
课后作业
12
1、单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。
甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还
需多少天,
111,,剩下，150,，，,,,1001506,,
11乙队需要天。
,256150
2、一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可完成;
如果甲先做20天，那么乙接着做8天可完成。
如
果甲、乙合做，那么多少天可以完成,
解;
设甲效率a，乙效率b，
1,a,,5201ab，,,,30,,12081ab，,,,b,,,24
111,,113,，,甲乙合作需用天,,24303,,
133、一项工程，甲、乙两队合作需6天完成，现在乙队先做7天，然后甲队做4天，共完成这项工程的，如15
果把其余的工程交给乙队单独做，那么还要几天才能完成,
1311,,,，,,43乙效率，,,15615,,
131,,12,,,天。
,1515,,
4、某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成;
如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天,
111,,1286328,，,,,甲
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