上平面几何难题集锦.docx
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上平面几何难题集锦
八年级平面几何难题集锦
1.如图，已知等边△ABC，P在AC延长线上一点，以PA为边作等边△APE,EC延长线交BP于M，连接AM,求证：
（1）BP=CE；
（2）试证明：
EM-PM=AM.
2.点C为线段AB上一点，△ACM,△CBN都是等边三角形，线段AN,MC交于点E，BM,CN交于点F。
求证：
（1）AN=MB.
（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转一定角度，如图②所示，其他条件不变，
（1）中的结论是否依然成立？
（3）AN与BM相交所夹锐角是否发生变化。
3.已知，如图①所示，在和中，，，，且点在一条直线上，连接分别为的中点．
（1）求证：
①；②；
（2）在图①的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出
（1）中的两个结论是否仍然成立.
4.如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：
①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；
④DE=DP；⑤∠AOB=60°⑥CP=CQ⑦△CPQ为等边三角形．
⑧共有2对全等三角形⑨CO平分∠AOP⑩CO平分∠BCD
恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）．
5.已知：
如图，是等边三角形，过边上的点作，交于点，在的延长线上取点，使，连接．
（1）求证：
；
（2）过点作，交于点，请你连接，并判断是怎样的三角形，试证明你的结论．
6.如图，以的边、为边分别向外作正方形和正方形，连结，试判断与面积之间的关系，并说明理由．
7.在中，将绕点顺时针旋转角得交于点，分别交于两点．如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？
并证明你的结论；
A
B
C
D
E
F
8.如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：
∠ADC＝∠BDE．
9.如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。
直角三角尺的一条直角边
经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM
的平分线BF相交于点F.
⑴如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：
①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；
②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；
③请证明你的上述两猜想.
⑵如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N,
使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明
10.已知中，为边的中点，
绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、
当绕点旋转到于时（如图1），易证
A
E
C
F
B
D
图1
图3
A
D
F
E
C
B
A
D
B
C
E
图2
F
当绕点旋转到不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？
若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？
请写出你的猜想，不需证明．
11.已知AC求证:
AB=AC+BD.
12.等边△ABC，D为△ABC外一点，∠BDC=120°，BD=DC．∠MDN=60°射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N，
①当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系．
②当点M、N在边AB、AC上，且DM≠DN时，猜想①中的结论还成立吗？
若成立，请证明．
③当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM、NC、MN之间的数量关系．
13.如图1，BD是等腰的角平分线，.
（1）求证BC=AB+AD；
（2）如图2，于F，交延长线于E，求证：
BD=2CE；
14.已知，如图1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC。
求证：
∠BAD+∠BCD=180°。
15.如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，则∠B与∠ADC互补.为什么？
16.如图4，在△ABC中，BD=CD，∠ABD=∠ACD,求证AD平分∠BAC.
A
B
C
D
17.如图，在△ABC中∠ABC,∠ACB的外角平分线交P.求证:
AP是∠BAC的角平分线
18.如图在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC＋∠ABC＝180度，CE⊥AD于E，猜想AD、AE、AB之间的数量关系，并证明你的猜想，
19.如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：
OE=OD
20.如图所示，已知在△AEC中，∠E=90°，AD平分∠EAC，DF⊥AC，垂足为F，DB=DC，求证：
BE=CF
21.如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而
（1）中的其它条件不变，请问，你在
（1）中所得结论是否仍然成立？
若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
22.已知：
如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，且BD=CD，求证：
（1）△BDE≌△CDF
（2）点D在∠A的平分线上
23.如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC
24.已知：
如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。
（!
）求证：
BF=AC；
（2）求证：
CE=BF；
（3）CE与BC的大小关系如何？
试证明你的结论。
25.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC、CF，求证：
CA是∠DCF的平分线。
26.数学课上，张老师出示了问题：
如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：
AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：
取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：
如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？
如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：
如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？
如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
A
D
F
C
G
E
B
图1
A
D
F
C
G
E
B
图2
A
D
F
C
G
E
B
图3
27.△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：
AB+BP=BQ+AQ。
28.问题背景，如下命题：
①如图1,在正三角形ABC中,N为BC边上任一点,CM为正三角形外角∠ACK的平分线,若∠ANM=60°,则AN=NM
②如图2,在正方形ABCD中,N为BC边上任一点，CM为正方形外角∠DCK的平分线，若∠ANM=90°，则AN=NM
③如图3,在正五边形ABCDE中,N为BC边上任一点,CM为正五边形外角∠DCK的平分线,若∠ANM=108°,则AN=NM
任务要求：
⑴请你证明以上三个命题；
⑵请你继续完成下面的探索：
①如图4,在正（≥3）边形ABCDEF…中,N为BC边上任一点,CM为正边形外角∠DCK的平分线,问当∠ANM等于多少度时,结论AN=NM成立（不要求证明）.
②如图5,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=CD,N为BC延长线上一点,CM为∠DCN的平分线,若∠ANM=∠ABC,请问AN=NM是否还成立？
若成立,请给予证明；若不成立,请说明理由.
29.如图，在△ABC中，∠A=90°，D是AC上的一点，BD=DC，P是BC上的任一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F为垂足．求证：
PE+PF=AB．
30.如图，已知△ABC中，AB=AC=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过后，点P与点Q第一次在△ABC的
边上相遇？
（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）
31.已知：
在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的左侧作等腰直角△ADE，解答下列各题：
如果AB=AC，∠BAC=90°．
（i）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图甲，线段BD，CE之间的位置关系为（ii）当点D在线段BC的延长线上时，如图乙，i）中的结论是否还成立？
为什么？
32.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．
（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：
①BD=CF；②AC=CF+CD；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？
若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．
D
C
B
A
E
H
33.在△ABC中，AD⊥BC,BE⊥AC,D、E为垂足，AD与BE交与点H，BD=AD.求证：
BH=ACBE⊥AD
34.如图14-1，在△ABC中，BC边在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC．△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．
（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；
（2）将△EFP沿直线l向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将△EFP沿直线l向左平移到图14-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ．你认为
（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？
若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
35.如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：
①AF=DE；②AF⊥DE.（不需要证明）
（1）如图2，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足
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