离散数学课后习题答案左孝凌版Word格式.docx

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离散数学课后习题答案左孝凌版Word格式.docx

四边形ABCD是平行四边形。

Q:

四边形ABCD的对边平行。

PQ

f)设P:

语法错误。

程序错误。

R:

停机。

(P∨Q)→R

(6)解:

a)P:

天气炎热。

正在下雨。

P∧Q

b)P:

湿度较低。

P∧R

c)R:

天正在下雨。

S:

湿度很高。

R∨S

d)A:

刘英上山。

B:

李进上山。

A∧B

e)M:

老王是革新者。

N:

小李是革新者。

M∨N

f)L:

你看电影。

M:

我看电影。

┓L→┓M

g)P:

我不看电视。

我不外出。

R:

我在睡觉。

P∧Q∧R

h)P:

控制台打字机作输入设备。

控制台打字机作输出设备。

1-3

(1)解:

a)不是合式公式,没有规定运算符次序(若规定运算符次序后亦可作为合式公式)

b)是合式公式

c)不是合式公式(括弧不配对)

d)不是合式公式(R和S之间缺少联结词)

e)是合式公式。

(2)解:

a)A是合式公式,(A∨B)是合式公式,(A→(A∨B))是合式公式。

这个过程可以简记为:

A;

(A∨B);

(A→(A∨B))

同理可记

b)A;

┓A;

(┓A∧B);

((┓A∧B)∧A)

c)A;

B;

(┓A→B);

(B→A);

((┓A→B)→(B→A))

d)A;

(A→B);

((A→B)∨(B→A))

(3)解:

a)((((A→C)→((B∧C)→A))→((B∧C)→A))→(A→C))

b)((B→A)∨(A→B))。

(4)解:

a)是由c)式进行代换得到,在c)中用Q代换P,(P→P)代换Q.

d)是由a)式进行代换得到,在a)中用P→(Q→P)代换Q.

e)是由b)式进行代换得到,用R代换P,S代换Q,Q代换R,P代换S.

(5)解:

你没有给我写信。

信在途中丢失了。

PQ

张三不去。

李四不去。

他就去。

(P∧Q)→R

c)P:

我们能划船。

Q:

我们能跑步。

┓(P∧Q)

d)P:

你来了。

他唱歌。

你伴奏。

P→(QR)

(6)解:

它占据空间。

它有质量。

它不断变化。

S:

它是物质。

这个人起初主张:

(P∧Q∧R)S

后来主张:

(P∧QS)∧(S→R)

这个人开头主张与后来主张的不同点在于:

后来认为有P∧Q必同时有R,开头时没有这样的主张。

(7)解:

上午下雨。

我去看电影。

我在家里读书。

我在家里看报。

(┓P→Q)∧(P→(R∨S))

我今天进城。

┓Q→P

你走了。

我留下。

Q→P

1-4

 

(4)解:

a)

R

Q∧R

P∧(Q∧R)

(P∧Q)∧R

T

F

T

F

所以,P∧(Q∧R)(P∧Q)∧R

b)

Q∨R

P∨(Q∨R)

P∨Q

(P∨Q)∨R

F F 

F 

   T

   F

所以,P∨(Q∨R)(P∨Q)∨R 

c)

P Q R

Q∨R

P∧(Q∨R)

P∧Q

P∧R

(P∧Q)∨(P∧R)

T T T

T T F

T F T

T F F

F T T

F T F

F F T

F F F

所以,P∧(Q∨R)(P∧Q)∨(P∧R) 

d)

Q

┓P

┓Q

┓P∨┓Q

┓(P∧Q)

┓P∧┓Q

┓(P∨Q)

所以,┓(P∧Q)┓P∨┓Q, 

┓(P∨Q)┓P∧┓Q

如表,对问好所填的地方,可得公式F1~F6,可表达为

P

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F1:

(Q→P)→R 

F2:

(P∧┓Q∧┓R)∨(┓P∧┓Q∧┓R)

F3:

(P←→Q)∧(Q∨R)

F4:

(┓P∨┓Q∨R)∧(P∨┓Q∨R)

F5:

(┓P∨┓Q∨R)∧(┓P∨┓Q∨┓R)

F6:

┓(P∨Q∨R)

(6)

P

Q

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

F

T

解:

由上表可得有关公式为

1.F 

2.┓(P∨Q) 

3.┓(Q→P) 

4.┓P

5.┓(P→Q) 

6.┓Q 

7.┓(PQ) 

8.┓(P∧Q)

9.P∧Q 

10.PQ 

11.Q 

12.P→Q

13.P 

14.Q→P 

15.P∨Q 

16.T

(7)证明:

a)A→(B→A)┐A∨(┐B∨A)

A∨(┐A∨┐B)

A∨(A→┐B)

┐A→(A→┐B)

b)┐(AB)┐((A∧B)∨(┐A∧┐B))

┐((A∧B)∨┐(A∨B))

(A∨B)∧┐(A∧B)

或┐(AB)┐((A→B)∧(B→A))

┐((┐A∨B)∧(┐B∨A))

┐((┐A∧┐B)∨(┐A∧A)∨(B∧┐B)∨(B∧A))

┐((┐A∧┐B)∨(B∧A))

┐(┐(A∨B))∨(A∧B)

(A∨B)∧┐(A∧B)

c)┐(A→B)┐(┐A∨B) 

A∧┐B 

d)┐(AB)┐((A→B)∧(B→A))

(A∧┐B)∨(┐A∧B)

e)(((A∧B∧C)→D)∧(C→(A∨B∨D)))

(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐C∨(A∨B∨D))

(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐(┐A∧┐B∧C)∨D)

(┐(A∧B∧C)∧┐(┐A∧┐B∧C))∨D

((A∧B∧C)∨(┐A∧┐B∧C))→D

(((A∧B)∨(┐A∧┐B))∧C)→D

((C∧(AB))→D)

f)A→(B∨C)┐A∨(B∨C) 

(┐A∨B)∨C 

┐(A∧┐B)∨C 

(A∧┐B)→C 

g)(A→D)∧(B→D)(┐A∨D)∧(┐B∨D)

(┐A∧┐B)∨D

┐(A∨B)∨D

(A∨B)→D

h)((A∧B)→C)∧(B→(D∨C))

(┐(A∧B)∨C)∧(┐B∨(D∨C))

(┐(A∧B)∧(┐B∨D))∨C

(┐(A∧B)∧┐(┐D∧B))∨C

┐((A∧B)∨(┐D∧B))∨C

((A∨┐D)∧B)→C

(B∧(D→A))→C

(8)解:

a)((A→B)(┐B→┐A))∧C

((┐A∨B)(B∨┐A))∧C

((┐A∨B)(┐A∨B))∧C

T∧C 

C

b)A∨(┐A∨(B∧┐B))(A∨┐A)∨(B∧┐B)T∨FT

c)(A∧B∧C)∨(┐A∧B∧C)

(A∨┐A)∧(B∧C)

T∧(B∧C)

B∧C

(9)解:

1)设C为T,A为T,B为F,则满足A∨CB∨C,但AB不成立。

 

2)设C为F,A为T,B为F,则满足A∧CB∧C,但AB不成立。

3)由题意知┐A和┐B的真值相同,所以A和B的真值也相同。

习题1-5

(1)证明:

a)(P∧(P→Q))→Q

(P∧(┐P∨Q))→Q 

(P∧┐P)∨(P∧Q)→Q 

(P∧Q)→Q

┐(P∧Q)∨Q 

┐P∨┐Q∨Q 

┐P∨T

b)┐P→(P→Q) 

P∨(┐P∨Q)

(P∨┐P)∨Q 

T∨Q

c)((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)

因为(P→Q)∧(Q→R)(P→R)

所以 

(P→Q)∧(Q→R)为重言式。

d)((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a))(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)

因为((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a))

((a∨c)∧b)∨(c∧a)

((a∨c)∨(c∧a))∧(b∨(c∧a))

(a∨c)∧(b∨c)∧(b∨a)

所以((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a))(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)为重言式。

(2)证明:

a)(P→Q)P→(P∧Q) 

解法1:

设P→Q为T 

(1)若P为T,则Q为T,所以P∧Q为T,故P→(P∧Q)为T

(2)若P为F,则Q为F,所以P∧Q为F,P→(P∧Q)为T

命题得证

解法2:

设P→(P∧Q)为F 

,则P为T,(P∧Q)为F 

,故必有P为T,Q为F 

,所以P→Q为F。

解法3:

(P→Q)→(P→(P∧Q))

┐(┐P∨Q)∨(┐P∨(P∧Q))

┐(┐P∨Q)∨((┐P∨P)∧(┐P∨Q))

所以(P→Q)P→(P∧Q)

b)(P→Q)→QP∨Q

设P∨Q为F,则P为F,且Q为F,

故P→Q为T,(P→Q)→Q为F,

所以(P→Q)→QP∨Q。

c)(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))R→Q

设R→Q为F,则R为T,且Q为F,又P∧┐P为F

所以Q→(P∧┐P)为T,R→(P∧┐P)为F

所以R→(R→(P∧┐P))为F,所以(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))为F

即(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))R→Q成立。

a)P→Q表示命题“如果8是偶数,那么糖果是甜的”。

b)a)的逆换式Q→P表示命题“如果糖果是甜的,那么8是偶数”。

c)a)的反换式┐P→┐Q表示命题“如果8不是偶数,那么糖果不是甜的”。

d)a)的逆反式┐Q→┐P表示命题“如果糖果不是甜的,那么8不是偶数”。

a)如果天下雨,我不去。

设P:

我不去。

P→Q

逆换式Q→P表示命题:

如果我不去,则天下雨。

逆反式┐Q→┐P表示命题:

如果我去,则天不下雨

b)仅当你走我将留下。

设S:

你走了。

我将留下。

R→S

逆换式S→R表示命题:

如果你走了则我将留下。

逆反式┐S→┐R表示命题:

如果你不走,则我不留下。

c)如果我不能获得更多帮助,我不能完成个任务。

设E:

我不能获得更多帮助。

H:

我不能完成这个任务。

E→H

逆换式H→E表示命题:

我不能完成这个任务,则我不能获得更多帮助。

逆反式┐H→┐E表示命题:

我完成这个任务,则我能获得更多帮助

(5)试证明PQ,Q逻辑蕴含P。

证明:

本题要求证明(PQ)∧QP,

设(PQ)∧Q为T,则(PQ)为T,Q为T,故由的定义,必有P为T。

所以(PQ)∧QP

由体题可知,即证((PQ)∧Q)→P是永真式。

((PQ)∧Q)→P

(((P∧Q)∨(┐P∧┐Q))∧Q)→P

(┐((P∧Q)∨(┐P∧┐Q))∨┐Q)∨P

(((┐P∨┐Q)∧(P∨Q))∨┐Q)∨P

((┐Q∨┐P∨┐Q)∧(┐Q∨P∨Q))∨P

((┐Q∨┐P)∧T)∨P

┐Q∨┐P∨P

┐Q∨T

P:

我学习 

Q:

我数学不及格 

R:

我热衷于玩扑克。

 

如果我学习,那么我数学不会不及格:

P→┐Q

如果我不热衷于玩扑克,那么我将学习:

┐R→P

但我数学不及格:

因此我热衷于玩扑克。

即本题符号化为:

(P→┐Q)∧(┐R→P)∧QR

证:

证法1:

((P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q)→R

┐((┐P∨┐Q)∧(R∨P)∧Q)∨R

(P∧Q)∨(┐R∧┐P)∨┐Q∨R

((┐Q∨P)∧(┐Q∨Q))∨((R∨┐R)∧(R∨┐P))

┐Q∨P∨R∨┐P

T 

所以,论证有效。

证法2:

设(P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q为T,

则因Q为T,(P→┐Q)为T,可得P为F,

由(┐R→P)为T,得到R为T。

故本题论证有效。

(7)解:

6是偶数 

7被2除尽 

5是素数

如果6是偶数,则7被2除不尽 

或5不是素数,或7被2除尽 

┐R∨Q

5是素数 

所以6是奇数 

┐P

(P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R┐P

((P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R)→┐P

┐((┐P∨┐Q)∧(┐R∨Q)∧R)∨┐P

((P∧Q)∨(R∧┐Q)∨┐R)∨┐P

((┐P∨P)∧(┐P∨Q))∨((┐R∨R)∧(┐R∨┐Q))

(┐P∨Q)∨(┐R∨┐Q)

T 

所以,论证有效,但实际上他不符合实际意义。

(P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R为T,

则有R为T,且┐R∨Q为T,故Q为T,

再由P→┐Q为T,得到┐P为T。

(8)证明:

a)P(┐P→Q) 

设P为T,则┐P为F,故┐P→Q为T

b)┐A∧B∧CC

假定┐A∧B∧C为T,则C为T。

c)CA∨B∨┐B

因为A∨B∨┐B为永真,所以CA∨B∨┐B成立。

d)┐(A∧B)┐A∨┐B 

设┐(A∧B)为T,则A∧B为F。

若A为T,B为F,则┐A为F,┐B为T,故┐A∨┐B为T。

若A为F,B为T,则┐A为T,┐B为F,故┐A∨┐B为T。

若A为F,B为F,则┐A为T,┐B为T,故┐A∨┐B为T。

命题得证。

e)┐A→(B∨C),D∨E,(D∨E)→┐AB∨C

设┐A→(B∨C),D∨E,(D∨E)→┐A为T,

则D∨E为T,(D∨E)→┐A为T,所以┐A为T

又┐A→(B∨C)为T,所以B∨C为T。

f)(A∧B)→C,┐D,┐C∨D┐A∨┐B

设(A∧B)→C,┐D,┐C∨D为T,则┐D为T,┐C∨D为T,所以C为F

又(A∧B)→C为T,所以A∧B为F,所以┐A∨┐B为T。

a)如果他有勇气,他将得胜。

他有勇气 

他将得胜

原命题:

P→Q 

逆反式:

┐Q→┐P表示:

如果他失败了,说明他没勇气。

b)仅当他不累他将得胜。

他不累 

他得胜

Q→P 

┐P→┐Q表示:

如果他累,他将失败。

习题 

1-6

a)(P∧Q)∧┐P(P∧┐P)∧Q┐(T∨Q)

b)(P→(Q∨┐R))∧┐P∧Q

(┐P∨(Q∨┐R))∧┐P∧Q

(┐P∧┓P∧Q)∨(Q∧┓P∧Q)∨(┓R∧┓P∧Q) 

(┓P∧Q)∨(┓P∧Q)∨(┓P∧┓R∧Q)

┓P∧Q

┐(P∨┐Q) 

c)┐P∧┐Q∧(┐R→P)

┐P∧┐Q∧(R∨P)

(┐P∧┐Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧P)

(┐P∧┐Q∧R)∨F

┐P∧┐Q∧R

┐(P∨Q∨┐R)

a)┐PP↓P

b)P∨Q┐(P↓Q)(P↓Q)↓(P↓Q)

c)P∧Q┐P↓┐Q(P↓P)↓(Q↓Q)

P→(┐P→Q) 

┐P∨(P∨Q)

┐P∨P 

(┐P↑┐P)↑(P↑P)

P↑(P↑P)

┐(┐P↓P)

┐((P↓P)↓P)

((P↓P)↓P)↓((P↓P)↓P)

P↑Q

┐(┐P↓┐Q)

┐((P↓P)↓(Q↓Q))

((P↓P)↓(Q↓Q))↓((P↓P)↓(Q↓Q))

(5)证明:

┐(B↑C)

┐(┐B∨┐C) 

┐B↓┐C

┐(B↓C)

┐(┐B∧┐C)

┐B↑┐C

联结词“↑”和“↓”不满足结合律。

举例如下:

a)给出一组指派:

P为T,Q为F,R为F,则(P↑Q)↑R为T,P↑(Q↑R)为F

故(P↑Q)↑RP↑(Q↑R).

b)给出一组指派:

P为T,Q为F,R为F,则(P↓Q)↓R为T,P↓(Q↓R)为F

故(P↓Q)↓RP↓(Q↓R).

(7)证明:

设变元P,Q,用连结词,┐作用于P,Q得到:

P,Q,┐P,┐Q,PQ,PP,QQ,QP。

但PQQP,PPQQ,故实际有:

P,Q,┐P,┐Q,PQ,PP(T)(A)

用┐作用于(A)类,得到扩大的公式类(包括原公式类):

P,Q,┐P,┐Q,┐(PQ),T,F,PQ(B)

用作用于(A)类,得到:

PQ,P┐PF,P┐Q┐(PQ),P(PQ)Q,P(PP)P,

Q┐P┐(PQ),Q┐QF,Q(PQ)P,QTQ,

┐P┐QPQ,┐P(PQ)┐Q,┐PT┐P,

┐Q(PQ)┐P,┐QT┐Q,

(PQ)(PQ)PQ.

因此,(A)类使用运算后,仍在(B)类中。

对(B)类使用┐运算得:

┐P,┐Q,P,Q,PQ,F,T,

┐(PQ),

仍在(B)类中。

对(B)类使用运算得:

PQ,P┐PF,P┐Q┐(PQ),P┐(PQ)┐Q,PTP,PF┐P,P(PQ)Q,

Q┐P┐(PQ),Q┐QF,Q┐(PQ)┐P,QTQ,QF┐Q,Q(PQ)P,

┐P┐QPQ,┐P┐(PQ)Q,┐PT┐P,┐PFP,┐P(PQ)┐Q,

┐Q┐(PQ)P,┐QT┐Q,┐QT┐Q,┐Q(PQ)┐P,

┐(PQ)T┐(PQ),┐(PQ)FPQ,┐(PQ)(PQ)F

TFF,T(PQ)PQ

F(PQ)┐(PQ)

故由(B)类使用运算后,结果仍在(B)中。

由上证明:

用,┐两个连结词,反复作用在两个变元的公式中,结果只能产生(B)类中的公式,总共仅八个不同的公式,故{,┐}不是功能完备的,更不能是最小联结词组。

已证{,┐}不是最小联结词组,又因为PQ┐(PQ),故任何命题公式中的联结词,如仅用{,┐}表达,则必可用{,┐}表达,其逆亦真。

故{,┐}也必不是最小联结词组。

(8)证明{∨},{∧}和{→}不是最小联结词组。

若{∨},{∧}和{→}是最小联结词,则

┐P(P∨P∨……)

┐P(P∧P∧……)

┐PP→(P→(P→……)

对所有命题变元指派T,则等价式左边为F,右边为T,与等价表达式矛盾。

所以{∨},{∧}和{→}不是最小联结词。

(9)证明{┐,→}和{┐,}是最小联结词组。

因为{┐,∨}为最小联结词组,且P∨Q┐P→Q

所以{┐,→}是功能完备的联结

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