∴t的取值范围是.
7．（2018·全国Ⅰ）记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________.
答案 －63
解析 ∵Sn＝2an＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，
∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1（n≥2），
即an＝2an－1（n≥2）．
当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.
∴数列{an}是首项a1＝－1，公比q＝2的等比数列，
∴Sn＝＝＝1－2n，
∴S6＝1－26＝－63.
8．在已知数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且当n≥2时，有＝1成立，则S2017＝________.
答案
解析 当n≥2时，由＝1，
得2（Sn－Sn－1）＝anSn－S＝－SnSn－1，
所以－＝1，又＝2，
所以是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以＝n＋1，故Sn＝，则S2017＝.
考点三 数列的综合应用
方法技巧
（1）以函数为背景的数列问题、可以利用函数的性质等确定数列的通项an、前n项和Sn的关系．
（2）和不等式有关的数列问题，可以利用不等式的性质、基本不等式、函数的单调性等求最值来解决．
9．已知函数f（x）＝x2＋ax的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线2x－y＋2＝0平行，若数列的前n项和为Sn，则S20的值为（ ）
A.B.
C.D.
答案 A
解析 因为f（x）＝x2＋ax，所以f′（x）＝2x＋a，又函数f（x）＝x2＋ax的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线2x－y＋2＝0平行，所以f′（0）＝a＝2，所以f（x）＝x2＋2x，所以＝＝，
所以S20＝
＝×＝.
10．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋bn＋c，等比数列{bn}的前n项和Tn＝3n＋d，则向量a＝（c，d）的模为（ ）
A．1B.
C.D．无法确定
答案 A
解析 由等差数列与等比数列的前n项和公式知，c＝0，d＝－1，所以向量a＝（c，d）的模为1.
11．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．
答案 64
解析 由已知a1＋a3＝10，a2＋a4＝a1q＋a3q＝5，
两式相除得＝，
解得q＝，a1＝8，
所以a1a2…an＝8n·1＋2＋…＋（n－1）＝，
抛物线f（n）＝－＋的对称轴为n＝＝，
又n∈N*，所以当n＝3或4时，a1a2…an取最大值为26＝64.
12．已知函数f（x）＝3|x＋5|－2|x＋2|，数列{an}满足a1<－2，an＋1＝f（an），n∈N*.若要使数列{an}成等差数列，则a1的取值集合为______________．
答案
解析 因为f（x）＝
所以若数列{an}成等差数列，则当a1为直线y＝x＋11与直线y＝－x－11的交点的横坐标，即a1＝－11时，数列{an}是以－11为首项，11为公差的等差数列；当f（a1）＝a1，即5a1＋19＝a1或－a1－11＝a1，即a1＝－或a1＝－时，数列{an}是以0为公差的等差数列，因此a1的取值集合为.
1．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，当整数n＞1时，Sn＋1＋Sn－1＝2（Sn＋S1）都成立，则S15等于（ ）
A．210B．211C．224D．225
答案 B
解析 当n＞1时，Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2，
∴an＋1＝an＋2，n≥2，∴an＋1－an＝2，n≥2.
∴数列{an}从第二项开始组成公差为2的等差数列，
∴S15＝a1＋（a2＋…＋a15）＝1＋×14＝211.
2．已知数列{an}满足：
an＋1＝an（1－2an＋1），a1＝1，数列{bn}满足：
bn＝an·an＋1，则数列{bn}的前2017项的和S2017＝________.
答案
解析 由an＋1＝an（1－2an＋1），可得－＝2，
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，
故＝1＋（n－1）×2＝2n－1，
所以an＝.
又bn＝an·an＋1＝＝，
所以S2017＝
＝×＝.
3．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________．
答案
解析 由题意，得a2－a1＝2，
a3－a2＝4，…，an－an－1＝2（n－1），n≥2，
累加整理可得an＝n2－n＋33，n≥2，
当n＝1时，a1＝33也满足，
∴＝n＋－1（n∈N*）．
由函数f（x）＝x＋－1（x＞0）的单调性可知，
的最小值为f（5），f（6）中较小的一个．
又f（6）＝，f（5）＝，∴min＝.
解题秘籍
（1）利用an＝Sn－Sn－1寻找数列的关系，一定要注意n≥2这个条件．
（2）数列的最值问题可以利用基本不等式或函数的性质求解，但要考虑最值取到的条件．
1．等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}的前6项和为（ ）
A．－24B．－3C．3D．8
答案 A
解析 由已知条件可得a1＝1，d≠0，
由a＝a2a6，可得（1＋2d）2＝（1＋d）（1＋5d），
解得d＝－2.
所以S6＝6×1＋＝－24.
2．（2017·浙江）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 方法一 ∵数列{an}是公差为d的等差数列，
∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d，
∴S4＋S6＝10a1＋21d，2S5＝10a1＋20d.
若d＞0，则21d＞20d，10a1＋21d＞10a1＋20d，
即S4＋S6＞2S5.
若S4＋S6＞2S5，则10a1＋21d＞10a1＋20d，
即21d＞20d，
∴d＞0.∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件．
故选C.
方法二 ∵S4＋S6＞2S5⇔S4＋S4＋a5＋a6＞2（S4＋a5）⇔a6＞a5⇔a5＋d＞a5⇔d＞0.
∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件．
故选C.
3．已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|等于（ ）
A．9B．15C．18D．30
答案 C
解析 由an＋1－an＝2可得数列{an}是等差数列，公差d＝2，又a1＝－5，所以an＝2n－7，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.
4．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
答案 D
解析 ＝＝＝＝＝＝7＋，
验证知，当n＝1,2,3,5,11时为整数．
5．在数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋…＋a等于（ ）
A．（2n－1）2B.
C．4n－1D.
答案 D
解析 设Sn为{an}的前n项和，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2n－1，当n≥2时，Sn－1＝2n－1－1，an＝2n－1－（2n－1－1）＝2n－1，a＝4n－1，当n＝1时，a1＝1也符合上式，所以a＋a＋…＋a＝＝.
6．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则等于（ ）
A．2B.
C.D．1或2
答案 B
解析 设S2＝k，则S4＝3k，
由数列{an}为等比数列（易知数列{an}的公比q≠－1），得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，
又S2＝k，S4－S2＝2k，
∴S6－S4＝4k，
∴S6＝7k，
∴＝
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