高考数学二轮复习难点211解析几何中的范围最值和探索性问题教学案理Word格式.docx

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单调递减，∴，即，∴

，∴，

即的求值范围为．

点评：

圆锥曲线中的最值与范围问题是高考中的常考题型，常与不等式、函数等知识结合在一起，涉及的知识点较多、难度较大．解题时可先建立关于某个参数的目标函数，再求这个函数的最值，常用的方法有以下几个：

①利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；

②利用基本不等式求出参数的取值范围；

③利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等.

2．圆锥曲线中最值问题

圆锥曲线中的最值问题是一类综合性强、变量多、涉及知识面广的题目，是解析几何中的难点问题，也是高考中的热点问题，这些问题形式多变.解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义和性质,而且要善于综合应用代数、平面几何、三角函数等相关知识.圆锥曲线最值问题常见的有两类：

一类是有关长度、面积的最值问题；

另一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题.圆锥曲线中最值问题，由于其能很好地考查学生对数学知识的迁移、组合、融会的能力，有利于提高学生综合运用所学知识分析、解决问题的能力．该类试题设计巧妙、命制新颖别致，常求特定量、特定式子的最值或范围．常与函数解析式的求法、函数最值、不等式等知识交汇，成为近年高考热点．解决圆锥曲线中最值问题的基本思想是借助几何知识，建立目标函数和建立不等关系，利用函数性质和不等式知识，以数形结合、转化的数学思想寻求解题思路.因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.

例2【贵州省贵阳市xx届12月月考】已知椭圆：

过点，，分别是椭圆的左、右焦点，以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线相切.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点的直线交椭圆于，，求内切圆面积的最大值和此时直线的方程.

（1）由条件可设处圆的方程，根据直线和圆相切得到，再根据点在椭圆上得到椭圆方程；

（2）由

，故求△面积的最大值即可，联立直线和椭圆方程，得到二次方程，根据弦长公式和点线距得到，分析单调性可求出最值.

这个题目考查了直线和椭圆的位置关系，以及椭园中的范围和最值问题，这是圆锥曲线中的一大考查题型；

在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：

①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

③利用基本不等式求出参数的取值范围；

④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：

一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；

二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题

（2）就是用的这种思路，函数单调性法求三角形面积最值的.

3．圆锥曲线中的探索性问题

探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求学生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题，它能很好地考查数学思维能力以及科学的探索精神.因此越来越受到高考的青睐．探索性问题实质上是探索结论的开放性问题.相对于其他的开放性问题来说，由于这类问题的结论较少（只有存在、不存在两个结论有时候需讨论），因此，思考途径较为单一，难度易于控制，受到各类考试的青睐.解答这一类问题，往往从承认结论、变结论为条件出发，然后通过特例归纳，或由演绎推理证明其合理性.探索过程要充分挖掘已知条件，注意条件的完备性，不要忽略任何可能的因素.探索性问题常见的命题是存在性问题，所谓存在性问题，就是判断满足某个（某些）条件的点、直线、曲线（或参数）等几何元素是否存在的问题．这类问题通常以开放性的设问方式给出，若存在符合条件的几何元素或参数值，就求出这些几何元素或参数值，若不存在，则要求说明理由．

例3．如图，已知抛物线：

，过焦点斜率大于零的直线交抛物线于、两点，且与其准线交于点．

（Ⅰ）若线段的长为，求直线的方程；

（Ⅱ）在上是否存在点，使得对任意直线，直线，，的斜率始终成等差数列，若存在求点的坐标；

若不存在，请说明理由.

（Ⅰ）因为直线过焦点，所以设直线，与抛物线方程联立，转化为，利用焦点弦长公式，，解得直线方程；

（Ⅱ）设，用坐标表示直线的斜率，若成等差数列，那么,代入

（1）的坐标后，若恒成立，解得点的坐标.

本题考查了直线与抛物线的位置关系问题，属于难题，对于本题的第二问，考查的是恒成立的问题，若存在，说明与直线无关，即与直线的斜率无关，可求得定点,解析几何中有很多未知量，要通过设直线，设点的坐标，再根据条件进行消元，从而化简，例如本题，通过设点的坐标表示斜率，再通过直线方程与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，通过消元得到点的坐标与直线斜率的关系，组合通过恒成立解决.此类问题命题背景宽，涉及知识点多，综合性强，探究平分面积的线、平分线段的线，或探究等式成立的参数值．常与距离、倾斜角、斜率及方程恒成立问题综合，形成知识的交汇．化解探索性问题的方法：

首先假设所探求的问题结论成立、存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题做出正面回答，如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答．在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具有明确结论的问题没有什么差别．

综上所述：

解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.综合题中常常离不开直线与圆锥曲线的位置，因此，要树立将直线与圆锥曲线方程联立，应用判别式、韦达定理的意识.解析几何应用问题的解题关键是建立适当的坐标系，合理建立曲线模型，然后转化为相应的代数问题作出定量或定性的分析与判断.常用的方法：

数形结合法，以形助数，用数定形.在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合（如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式）、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.避免繁复运算的基本方法：

可以概括为：

回避，选择，寻求.所谓回避，就是根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质等，从而避免化简方程、求交点、解方程等繁复的运算.所谓选择，就是选择合适的公式，合适的参变量，合适的坐标系等，一般以直接性和间接性为基本原则.因为对普通方程运算复杂的问题，用参数方程可能会简单；

在某一直角坐标系下运算复杂的问题，通过移轴可能会简单；

在直角坐标系下运算复杂的问题，在极坐标系下可能会简单，这就是“所谓寻求”.

2019-2020年高考数学二轮复习难点2.12推理与新定义问题教学案文

随着新课标的深入实施，素质教育要求不断提高，全国各地的高考试卷都相继推出了以能力立意为目标，以增大思维容量为特色，具有相当浓度和明确导向的创新题型脱颖而出，为高考试题增添了活力．纵观近年各地高考的创新题型，不难发现，推理与“新定义”型这种题目是高考试题的一大热点．所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有的知识、能力进行理解，并根据新的定义进行运算、推理、迁移的一种题型．这类题目具有启发性、思考性、挑战性和隐蔽性等特点，由于它构思巧妙，题意新颖，是考察学生综合素质和能力、挖掘学生潜力的较佳题型，因而它受到的青睐．

一．新定义

以新课标内容为背景，这种类型的问题很多，一般是以新课标教材内容为背景，给出某种新概念、新运算（符号）、新法则（公式）等，学生在理解相关新概念、新运算（符号）、新法则（公式）之后，运用新课标学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等寻求问题解决．纵观这几年的高考试题，可以发现，“新定义”型问题按其命题背景可分为三种类型：

以新课标内容为背景、以高等数学为背景、以跨学科为背景．现就相关类型作探讨：

1．新定义集合

所谓“新定义集合”，给出集合元素满足的性质，探讨集合中的元素属性，要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力．由于此类题目编制角度新颖，突出能力立意，突出学生数学素质的考查，特别能够考查学生“现场做题”的能力，并且在近几年高考模拟试题和高考试题中出现频繁出现．下面选取几例进行分类归纳，解题时应时刻牢记集合元素的三要素：

确定性，互异性，无序性．

例1．已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“理想集合”.给出下列4个集合：

①；

②；

③；

④.其中所有“理想集合”的序号是（）

A.①③B.②③C.②④D.③④

【答案】B

的点都能找到对应的点,使得成立，故正确；

③项由图象可得，直角始终存在，故正确；

④项，由图象可知，点在曲线上不存在另外一个点，使得成立，故错误；

综合②③正确，所以选B.

本题主要考查的是平面向量数量积的应用，元素与集合的关系，数形结合的思想，推理分析与综合运算能力，属于难题，此类新定义问题最主要是弄明白问题的实质是什么，对于此题而言，通过可得出就是在函数的曲线上找任意一个点都能找到一个点,使得成立，找到新定义的含义了，剩余的选项中都是我们所熟知的基本初等函数，可通过数形结合分析即可求解，所以对新定义的转化能力是解这类问题的关键.

2．新定义函数

例2．【xx湖南株洲两校联考】设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：

存在[a，b]⊆D（a＜b），使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称为“优美函数”，若函数为“优美函数”，则t的取值范围是（　　）

A.B.C.D.

【答案】D

定义新函数的定义域与值域相同，先判定函数的单调性，然后转化为函数方程根的情况，本题的关键也是能否转化为函数根的问题，然后求解.

例3．若函数在区间上，，，，，，均可为一个三角形的三边长，则称函数为“三角形函数”．已知函数在区间上是“三角形函数”，则实数的取值范围为（）

A．B．C．D．

【答案】A

本题主要考查了利用导数研究函数在闭区间上的最值，考查考生应用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答本题首先通过给出的定义把问题转化为函数的最值问题，通过导数研究其单调性，得到最小值，通过比较区间端点的函数值求出最大值，列出关于参数的不等式，进而求得其范围.

3．新定义数列

例4.【上海市静安区xx届质检】设数列满足：

②所有项；

③

．设集合，将集合中的元素的最大值记为．换句话说，是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值．我们称数列为数列的伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3．

（1）若数列的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3，请写出数列；

（2）设，求数列的伴随数列的前100之和；

（3）若数列的前项和（其中常数），试求数列的伴随数列前项和．

（1）根据伴随数列的定义求出数列；

（2）根据伴随数列的定义得：

，由对数的运算对分类讨论求出伴随数列的前100项以及它们的和；

（3）由题意和与的关系式求出，代入得，并求出伴随数列的各项，再对分类讨论，分别求出伴随数列的前项和．

（3）∵∴，当时，，∴，由得：

，∵使得成立的的最大值为，∴

，当时：

，当时：

，∴

本题考查数列的应用，着重考查对抽象概念的理解与综合应用的能力，观察、分析寻找规律是难点，是难题．

4．定义新运算型

例5．【四川省成都市xx届12月月考】定义一种运算，若，当有5个不同的零点时，则实数的取值范围是（）

已知函数零点（方程根）的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：

（1）直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

（3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题.

5．定义新法则型

例6．一个二元码是由0和1组成的数字串，其中称为第位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0），已知某种二元码的码元满足如下校验方程组：

其中运算定义为：

．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定等于．

根据二元码及新定义，分析新定义的特点，按照所给的数学规则和要求进行逻辑推理和计算求得.

【答案】．

本题以二元码为背景考查新定义问题，解决时候要耐心读题，并分析新定义的特点，按照所给的数学规则和要求进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的．对于新法则，关键在于找到元素之间的对应关系，我们可以借助图表等方法寻找它们之间的对应关系，利用对应关系列方程．

6．以高等数学为背景

本类型的题目通常是以高等数学符号、概念直接出现或以高等数学概念、定理作为依托融于初等数学知识中．此类问题的设计虽来源于高等数学，但一般是起点高，落点低，它的解决的方法还是运用中学数学的基本知识和基本技能．这要求学生认真阅读相关定义或方法，在充分理解题意的基础上，结合已有的知识进行解题．

例7．对于使成立的所有常数M中，我们把M的最大值－1，称为函数的“下确界”，若

的“下确界”为

A、8B、6C、4D、1

【思路分析】根据“下确界”的定义，将问题转化为求的最小值.

【解析】由且，，即，从而，由“下确界”的定义得“下确界”为８．

本题要充分理解题意，准确把握“下确界”的实质是什么？

从而转化求的最小值的问题，运用学过的知识，便能求出相应函数的最值．

3以跨学科为背景

本类型的题目，主要是介绍数学知识在其他学科或领域的运用，一般都会介绍运用时的知识背景、数学模型，因而题中文字、信息较多．学生必须准确地把握题意、理顺线索、分析相应数学模型与数学知识的内在联系，结合学生已有的知识和能力进行推理、运算．

例8．设数列A：

，,…（）.如果对小于（）的每个正整数都有＜，则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.

（1）对数列A：

-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；

（2）证明：

若数列A中存在使得>

，则；

（3）证明：

若数列A满足-≤1（n=2,3,…,N）,则的元素个数不小于-.

（1）关键是理解G时刻的定义，根据定义即可写出的所有元素；

（2）要证，即证中含有一元素即可；

（3）当时，结论成立.只要证明当时仍然成立即可.

数列的实际应用题要注意分析题意，将实际问题转化为常用的数列模型，数列的综合问题涉及到的数学思想：

函数与方程思想（如：

求最值或基本量）、转化与化归思想（如：

求和或应用）、特殊到一般思想（如：

求通项公式）、分类讨论思想（如：

等比数列求和，或）等.

由上各例可见，“新定义”型的问题，通常是选取合适的数学背景，把新定义、新运算、新符号等巧妙的融入高考试题中来，虽然它的构思巧妙、题意新颖、隐蔽性强，到处都体现出新意，但是，它考查的还是基本知识和基本技能，解题的关键在于全面准确理解题意，科学合理的推理运算．因此，“新题”不一定是“难题”，只有夯实基础，掌握好双基，以不变应万变才是我们取胜的法宝．

二．推理问题

最近几年,在高考数学命题中,在考查考生对基础知识掌握情况的同时,也逐渐加大了对学生综合应用能力的考查.合情推理创新题型的考查力度增大,要求考生在推理过程中具备独特的方法和技巧.这类题型在高考试题中的位置较为特殊,尤其是“类比推理”和“归纳推理”题型.

1．类比推理

类比推理是由两类对象具有某些类似特征和已知其中一类对象的某些特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理.类比推理在具体实施过程中，关键是找到两类对象之间可以确切表述的相似特征.然后，用一类对象的已知特征，去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想，最后检验这个猜想.它是数学的重要方法之一.要找到类比，往往需要一点想象力和创新精神，在高中阶段类比方向主要集中在等差数列与等比数列，平面几何与立体几何，平面向量与空间向量等.

例9．已知是的三边，若满足，即，为直角三角形，类比此结论：

若满足

时，的形状为________．（填“锐角三角形”，“直角三角形”或“钝角三角形”）．

本题考查解三角形、类比推理，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.首先判断得最大，则角最大，

，故该三角形为锐角三角形.

【答案】锐角三角形

类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起．当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比．一般来说，高考中的类比问题多发生在横向与纵向类比上，如圆锥曲线中椭圆与双曲线等的横向类比以及平面与空间中三角形与三棱锥的纵向类比等．

2．归纳推理

例10．观察如下数表的规律（仿杨辉三角：

下一行的数等于上一行肩上相邻两数的和）：

该数表最后一行只有一个数，则这个数是______.

本题主要考查了归纳推理委托，着重考查了由数表探究数列的规律，根据数字的排布规律，计算数表数列问题，以及等差数列的应用，考查了学生分析问题和解答问题的能力，对于归纳推理问题解答的关键在于根据给定的数表数列，寻找数字的排布规律，根据规律解答.

【答案】

归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察——归纳——猜想——证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．

由上各例可见，在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论.在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质.归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性.即合情推理的关键是寻求规律，明确已知结论的性质或特征.高考中此类问题的指向性很强，要得到正确结论的归纳或类比.