第24章圆导学案.docx

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第24章圆导学案

24．1.1圆第1课时

主备人：

姜继雷审核人：

审核时间：

一、【自主学习】

1．理解圆的定义：

（阅读教材P78图24.1-2和图24.1-3，并自己动手画圆，独立完成后，

小组讨论，完成下列填空）

1．圆的运动定义：

把线段OP的一个端点O，使线段OP绕着点O在旋转，另一端点P运动所形成的图形叫做圆，其中点O叫做，线段OP叫做.以O为圆心的圆记作.

2.圆的集合定义：

圆是到的点的集合.

3．与圆有关的概念

①弦：

连结圆上任意两点的叫做弦.

②直径：

经过的弦叫做直径.

③弧：

，弧分为：

半圆（所对的弧叫做半圆）、劣弧（小于的弧）和优弧（大于的弧）.

④同心圆：

相同，不相等的两个圆叫做同心圆.

⑤等圆：

能够互相的两个圆叫做等圆.

⑥等弧：

在或中，能够互相的弧叫做等弧.

2．同圆或等圆的性质：

在同圆或等圆中，它们的相等.

同圆或等圆的半径有什么性质？

二、【课堂合作探究】

1、到定点O的距离为2cm的点的集合是以为圆心为半径的圆.

2、已知⊙O中最长的弦为16cm，则⊙O的半径为________cm．

3、过圆内一点可以作出圆的最长弦_____条．

4、下列语句中，不正确的个数是（）

①直径是弦；②弧是半圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内任一定点可以作无数条直径．

A．1个B．2个C．3个D．4个

5、下列语句中，不正确的是（）

A．圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形

B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形

C．当圆绕它的圆心旋转89°57′时，不会与原来的圆重合

D．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个

6、等于

圆周的弧叫做（）

A．劣弧B．半圆C．优弧D．圆

7、如图，⊙O中，点A、O、D以及点B、O、C分别在一条直线上，图中弦的条数有（）

A．2条B．3条C．4条D．5条

8、以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（）

A．1个B．2个C．3个D．无数个

三、【课外拓展】

如图，在⊙O中，半径OC与直径AB垂直，OE=OF,则BE与CF的关系如何？

并说明理由。

24.1.2垂直于弦的直径第1课时

一、自主学习

（一）复习巩固判断：

1、直径是弦，弦是直径。

（）

2、半圆是弧，弧是半圆。

（）

3、周长相等的两个圆是等圆。

（）4、长度相等的两条弧是等弧。

（）

5、同一条弦所对的两条弧是等弧。

（）6、在同圆中，优弧一定比劣弧长。

（）

（二）自主探究请同学按下面要求完成下题：

如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．

（1）如图是轴对称图形吗？

如果是，其对称轴是什么？

圆是对称图形，其对称轴是任意一条过的直线．

（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？

为什么？

相等的线段：

相等的弧：

这样，我们就得到垂径定理：

垂直于的直径平分弦，并且平分弦所对的两条．

符号表式：

进一步，我们还可以得到结论：

平分弦（）的直径垂直于，并且平分弦所对的两条．

表达式：

（三）、归纳总结：

1．圆是图形，任何一条所在直线都是它的对称轴．

2．垂径定理

推论．

活动2：

垂径定理的应用

如图3，已知在中⊙O，弦

的长为8

，圆心

到

的距离（弦心距）为3

，求⊙O的半径.（分析：

可连结

，作

于

解：

（2）如图4，根据垂径定理和勾股定理，“半弦、半径、弦到圆心距”构成直三角形，则

的关系为，知道其中任意两个量，可求出第三个量.

归纳：

（1）辅助线的常用作法：

连半径，过圆心向弦作垂线段。

三、【课堂展示质疑与小结】

1、下列各图，能否得到AE=BE的结论？

为什么？

2、如图，在⊙

中，⊙

的半径的半径是5

圆心

到

的距离为3

.求弦AB的长。

3．已知⊙O的半径为5，弦AB=8，P是弦AB上任意一点，则OP的取值范围是_______．

4．如图2，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD=120°，OE=3厘米，则CD=___cm．

5．如图3，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于D，若AC=8cm，DE=2cm，则OD的长为________cm．

6．⊙O的直径是50cm，弦AB∥CD，且AB=40cm，CD=48cm，则AB与CD之间的距离为_______．

五、【课外拓展】

P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为____；最长弦长为___

24.1.2垂直于弦的直径第2课时

一、课前准备：

垂经定理内容：

1、⊙O的半径是5，P是圆内一点，且OP＝3，过点P最短弦的长是、最长弦的长为.

2、已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离（弦心距）为3厘米，则⊙O的半径为。

3、已知在⊙O中,弦AB长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径.

4、如图，在⊙O中,CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，EC、FD分别交直径AB于E、F两点，求证：

AE=BF。

二、合作探究

1、如图①，AB为⊙O的直径，E是

中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_____．

2、如图②，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）

①②③

3、如图③，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．

4、已知：

如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA=OB．求证：

AC=BD．

5、AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=8，求∠DAC的度数．

弧、弦、圆心角

一、自主学习

（一）复习巩固

（1）圆是轴图形，任何一条所在直线都是它的对称轴．

（2）垂径定理

推论．

（二）自主探究

如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做．

请同学们按下列要求作图并回答问题：

如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′将圆心角∠AOB绕圆旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？

为什么？

相等的弦：

；相等的弧：

结论：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的弦也．

符号表示：

同样，还可以得到：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，所对的弦也．

符号表示：

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，所对的也相等．

符号表示：

注：

同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也。

新|课|标|第|一|网

（三）、归纳总结：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的弦也．

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，所对的弦也．

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，所对的也相等．

二、【课堂合作探究】

1、如图，AB，CD是⊙O的两条弦。

⌒

⌒

（1）如果AB=CD，那么，

（2）如果AB=CD，那么，

（3）如果∠AOB=∠COD，那么，

（4）如果AB=CD，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，OE与OF相等吗？

为什么

2、如图，在⊙O中，AB=AC∠ACB=60°，求证：

∠AOB=∠BOC=∠AOC

3、如图，AB是⊙O的直径，

=

=

，∠COD=35°，求∠AOE的度数。

三、【课后练习】

1、如图所示，CD为⊙O的弦，在CD上截取CE=DF，连结OE、OF，并且它们的延长交⊙O于点A、B。

（1）试判断△OEF的形状，并说明理由；

（2）求证：

=

。

2、已知如图，AB是⊙O的直径，M.N是AO.BO的中点。

CM⊥AB,DN⊥AB,分别与圆交于C.D点。

求证：

=

。

24.1.4圆周角

一、【自主学习】

（一）圆周角的概念

如果顶点不在圆心而在圆上，则得到如左图的新的角∠ACB，它就是圆周角.（如右图）

定义：

归纳：

一个角是圆周角的条件：

①顶点；②两边都和圆　

（二）圆周角的定理

　问题：

1、圆周角的度数与什么有关系？

2、圆心与圆周角有几种不同位置关系？

（1）当圆心在圆周角的一边上时，圆周角与相应的圆心角的关系：

（演示图形）观察得知圆心在圆周角上时，圆周角是圆心角的一半.

（2）其它情况，圆周角与相应圆心角的关系：

当圆心在圆周角外部时（或在圆周角内部时）

归纳：

可以发现同弧所对的圆周角,并且它的度数恰好等于这条弧所对等于它所对圆心角的.

三、【课堂合作探究】

1、判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．

2、一条弧所对的圆周角有无数多个，而这条弧所对的圆周角的度数只有一个，但一条弦所对的圆周角的度数有两个．讨论交流为什么？

3、如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，∠ACB=40°，则∠AOB=__，∠OAB=_____。

4、如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，在这8个角中，有几对相等的角？

请把它们分别表示

5、如图，AB是⊙O的直径，∠BOC=120°，CD⊥AB，则∠ABD＝___________。

6、如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，∠BAC的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，则图中相等的圆周角有______________________。

四、【课外拓展】

如图，已知AB=AC，∠APC=60°，

（1）求证：

△ABC是等边三角形；

（2）若BC=4cm，求⊙O的面积．

24.1.4圆周角

（2）

一、【复习回顾】

1、圆周角定义：

_________________________________。

2、圆周角定理：

_________________________________。

3、如图，点A、B、C、D在⊙O上，若∠BAC=40°，

则

（1）∠BOC=°,理由是；

（2）∠BDC=°,理由是。

二、【自主学习】

1、如图,点A、B、C在⊙O上，

若BC是⊙O的直径,它所对的圆周角∠BAC是多少？

为什么？

若∠BAC=90°，弦BC经过圆心吗？

为什么？

由此，你能得出的结论是：

__________________________。

2．阅读教材p87最后一段：

如果一个多边形的顶点都在圆上，这个多边形叫做，这个圆叫做这个.

如图1，四边形

是⊙O的，⊙O是四边形

的.

2.圆内接四边形的对角之间有什么性质呢?

请你量一量图1中的两对对角,看看有什么规律?

规律:

圆内接四边形的对角

如图：

符号表示：

三、【课堂探究】

2.在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°，C是弧AB上一点，则∠ACB等于（）．

A．80°B．100°C．130°D．140

3.如图3，

是⊙O的直径，

则∠D等于（）

A.

B.

C.

D.

4.如图4，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于（）．

A．69°B．42°C．48°D．38°

5、如图,⊙O的直径AB为10cm，弦AC为６cm,∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC、AD、BD的长.

四【课后练习】

1、OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC。

求证：

∠ACB=2∠BAC。

2、如图，在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°,求∠A。

24.2.1点与圆的位置关系

一、【自主学习，基础过关】

（一）知识回顾，温故知新

1、圆的定义是

2、什么是两点间的距离：

（二）自学自悟，自主检测

⒈圆上所有的点到圆心的距离都等于.

⒉确定圆需要两个基本条件，一个是______，另一个是_____，其中，____确定圆的位置，______确定圆的大小.

3.点确定一条直线．

二、【合作探究，释疑解惑】

1．1．阅读教材p92，思考：

（1）平面上的一个圆把平面上的点分成部分，即点在圆、点在圆、点在圆.

（2）各部分的点与圆有什么共同特征？

自己画图验证一下，看看能得到什么规律？

2.点和圆的位置关系：

平面内，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，

则有三种位置关系：

（1）点P在⊙O外

______；

（2）点P在⊙O上

______；

（3）点P在⊙O内

______．

完成检测反馈1、2题

3、阅读教材p93“探究”内容，

思考：

（1）、平面上有一点A，经过已知A点的圆有几个？

圆心在哪里？

（2）、平面上有两点A、B，经过已知点A、B的圆有几个？

它们的圆心分布有什么特点？

（3）、平面上有三点A、B、C，经过A、B、C三点的圆有几个？

圆心在哪里？

结论：

_____

4、自学P94有关概念

有关概念：

（1）三角形的外接圆：

（2）三角形的外心：

思考：

1、三角形的外心是什么的交点？

2、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离。

【课堂合作探究】

1．若⊙A的半径为5,点A的坐标为（3,4）,点P的坐标为（5,8）,则点P的位置为（）

A.在⊙A内B.在⊙A上

C.在⊙A外D.不确定

2.⊙O的半径为3

，点O到点P的距离为

则点P（）

A.在⊙O外B.在⊙O内C.在⊙O上D.不能确定

3、判断下列说法是否正确

（1）任意的一个三角形一定有一个外接圆（）.

（2）任意一个圆有且只有一个内接三角形（）

（3）经过三点一定可以确定一个圆（）

（4）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等（）

4.下列说法正确的是（）

A．三点确定一个圆B．任意的一个三角形一定有一个外接圆

C．三角形的外心是它的三个角的角平分线的交点

D．任意一个圆有且只有一个内接三角形

5、已知⊙O的半径为4，OP＝3.4，则P在⊙O的。

6、已知点P在⊙O的外部，OP＝5，那么⊙O的半径r满足。

7、已知⊙O的半径为5，M为ON的中点，当OM＝3时，N点与⊙O的位置关系是N在⊙O的。

【课后练习】

1、正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A；点C在⊙A；点D在⊙A。

2、在

中，

，外心

到

的距离为

，则

外接圆的半径为.

3、如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC的外接圆半径。

4、如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，AD与三角形的外接圆交于点D，连接BD，求证：

DB=DC.

24.2．2直线与圆有关的位置关系

一、【复习回顾】

（一）知识回顾，温故知新（小组讨论完成）

回答问题：

如果设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，你用d与r之间的数量关系表示点P与⊙O的位置关系。

（二）自学自悟，自主检测

1、已知⊙P的半径为3，点Q在⊙P外，点R在⊙P上，点H在⊙P内，则PQ__3，PR____3,PH_____3

二、【自主学习】

（一）阅读教材自学教材P93---P942思考下列问题：

1、操作：

请你画一个圆，上、下移动直尺。

思考：

在移动过程中它们的位置关系发生了怎样的变化？

讨论：

①通过上述操作说出直线与圆有几种位置关系

②直线与圆的公共点个数有何变化？

2、完成基本概念：

（1）、直线和圆有公共点时，直线和圆相交，直线叫做圆的。

（2）、直线和圆有公共点时，直线和圆相切，直线叫做圆的；这个点叫做

（3）、直线和圆有公共点时，直线和圆相离。

（二）思考：

如何判断直线与圆的位置关系？

3、探索：

若⊙O半径为r，O到直线l的距离为d，则d与r的数量关系和直线与圆的位置关系：

①直线与圆dr，

②直线与圆dr，新课标第一网

③直线与圆dr。

（三）、归纳总结：

新课标第一网

1、直线与圆有＿＿＿种位置关系，分别是、、。

2、若⊙O半径为r，O到直线l的距离为d，则d与r的数量关系和直线与圆的

位置关系：

①直线与圆dr，

②直线与圆dr，③直线与圆dr。

三、【课堂探究】

1、设⊙O的半径为r，直线l到圆心O的距离为d，则有：

直线l和⊙O相交

；

直线l和⊙O相切

；直线l和⊙O相离

。

2、在Rt△ABC中，∠C=900，AC=3cm，AB=6cm，以点C为圆心，与AB边相切的圆的半径为。

3、已知⊙O的半径r=3cm，直线l和⊙O有公共点，则圆心O到直线l的距离d的取值范围是。

4、已知⊙O的半径是6，点O到直线a的距离是5，则直线a与⊙O的位置关系是。

5、圆O的直径4，圆心O到直线L的距离为3，则直线L与圆O的位置关系是（）

（A）相离（B）相切（C）相交（D）相切或相交

6、直线

上的一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线

与⊙O的位置关系是（）

（A）相切（B）相交（C）相离（D）相切或相交

四、【课后练习】

1、直角三角形ABC中，∠C=900，AB=10，AC=6，以C为圆心作圆C，与AB相切，则圆C的半径为（　　　）

（Ａ）８　　　　（Ｂ）４　　（Ｃ）９.6（D）4.8

2、在直角三角形ＡＢＣ中，角Ｃ＝９００，ＡＣ＝６厘米，ＢＣ＝８厘米，以Ｃ为圆心，为r半径作圆，当（１）r＝２厘米　，圆Ｃ与ＡＢ位置关系是，

（２）r＝4.8厘米　，圆Ｃ与ＡＢ位置关系是，

（３）r＝５厘米　，圆Ｃ与ＡＢ位置关系是。

3、已知圆Ｏ的直径是１０厘米，点Ｏ到直线Ｌ的距离为d.

（１）若Ｌ与圆Ｏ相切，则d＝_________厘米

（２）若d＝４厘米，则Ｌ与圆Ｏ的位置关系是_________________

（３）若d＝６厘米，则Ｌ与圆Ｏ有___________个公共点.

4、在RtΔABC中，∠C=90º，AC=4cm，BC=3cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？

为什么？

切线的判定定理、性质

【自主学习，基础过关】

知识回顾，温故知新（小组讨论完成）

1、点和圆的位置关系．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，

则有：

2、直线和圆的位置关系：

设⊙O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d，则有

【合作探究，释疑解惑】

（一）、探索直线与圆相切的另一个判定方法

如右图，⊙O中，直线l经过半径OA的外端，点A作且直线l⊥OA，

你能判断直线l与⊙O的位置关系吗？

你能说明理由吗？

理由：

结论：

__________________________________________

总结：

切线判定定理：

定理的符号语言：

（二）、思考探索；如图，直线l与⊙O相切于点A，OA是过切点的半径，直线l与半径OA是否一定垂直？

你能说明理由吗？

切线的性质定理：

定理的符号语言：

（三）、归纳总结：

1、判断直线与圆相切有哪些方法？

2、直线与圆相切有哪些性质？

【课堂检测】

活动：

新知应用

例1直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,

求证:

直线AB是⊙O的切线。

2、如图，点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过D作DE⊥OB于E，以DE为半径作⊙D，判断⊙D与OA的位置关系，并证明你的结论

四、【展示质疑与小结】

证明切线的方法：

1、已知直线与圆公共点明确：

作半径，证垂直．

2、直线与圆的公共点没有确定，作垂直，证半径．

五、【能力检测】

1、如图：

在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F。

求证：

直线DE是⊙O的切线

2、如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD＝∠ABC，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由。

直和圆位置关系学案（3）

一、自主学习

（一）复习巩固

1、三角形的外心：

2、角平分线的性质定理：

3、切线的判定定理：

4、切线的性质定理：

（二）自主探究

1、按探究要求，请同学们动手操作，思考24．2—12中，OB是⊙O的一条半径吗？

PB是⊙O的切线吗？

利用图形的轴对称性，说明圆中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？

2、什么叫切线长?

注意：

切线和切线长是两个不同的概念，切线是，不能度量；切线长是的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。

3、切线长定理：

从圆外一点可以引圆的两条，它们的切线长，这一点和圆心的连线两条切线的.

4、常用辅助线

   已知PA，PB切⊙O于A，B。

（1）                  

（2）                         （4）                         （3）

   图

（1）中，有什么结论？

   图

（2）中，连结AB，增加了什么结论？

图（3）中，再连结OP，增加了什么结论？

图（4）中，再连结OA，OB。

又增加了什么结论？

5、和三角形的各边都相切的圆

与三角形各边都的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条的交点，叫做三角形的内心。

注意：

“接”与“切”是说明三角形顶点和边与圆的关系，顶点都在圆上的叫做“接”，各边都与圆相切的叫做“切”。

（三）、归纳总结：

1、圆的切线长概念

2、切线长定理

3、三角形的内切圆及内心的概念

（四）课堂探究：

1、如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知PA=7cm，则△PCD的周长等于_________．

2、如图，PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，∠APB=30°，则

∠AOB=_________．

3、Rt在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则△ABC的内切圆的半径r=_________．

4、如图4，圆O内切Rt△ABC，切点分别是D、E、F，则四边形OECF是_______．

5、如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AB=2，BC=3，AC=1，且△ABC的面积为6．求内切圆的半径r．（提示：

内心为O,连接OA,OB,OC）

6、如图，△ABC中，∠A＝α°，O是△ABC的内心。

求证：

圆和圆位置关系学案

一、自主学习

（一）复习巩固

1.直线和圆有几种位置关系?

各是怎样定义的?

（设圆心到直线的距离为d，半径为r）

2.平面内点和圆的关系有多少种呢？

（设圆心与点的距离为d，半径为r）

（二）自主探究

1、古