全等三角形辅助线之截长补短与倍长中线原题+解析.docx

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全等三角形辅助线之截长补短与倍长中线原题+解析

全等三角形辅助线之截长补短与倍长中线

一．填空题（共1小题）

1．（2015秋•宿迁校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D．若BD：

DC=3：

2，点D到AB的距离为6，则BC的长是　　　　　　．

二．解答题（共10小题）

2．（2010秋•涵江区期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于D，求证：

AB=AC+CD．

3．如图，AD是△ABC中BC边上的中线，求证：

AD＜（AB+AC）．

4．（2013秋•藁城市校级期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．

（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：

DE=AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：

DE=AD﹣BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？

请你直接写出这个数量关系，不要证明．

5．已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由．

6．（2012秋•西城区校级期中）已知：

如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，F是CD中点，连BF交AC于点E，∠ABE+∠CEB=180°，判断BD与CE的数量关系，并证明你的结论．

7．（2010秋•丰台区期末）已知：

如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是△ABC内的一点，且AD=AC，若∠DAC=30°，试探究BD与CD的数量关系并加以证明．

8．已知点M是等边△ABD中边AB上任意一点（不与A、B重合），作∠DMN=60°，交∠DBA外角平分线于点N．

（1）求证：

DM=MN；

（2）若点M在AB的延长线上，其余条件不变，结论“DM=MN”是否依然成立？

请你画出图形并证明你的结论．

9．（2015春•闵行区期末）如图所示，在正方形ABCD中，M是CD的中点，E是CD上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：

AE=BC+CE．

10．已知：

如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE．求证：

BE+DF=AE．

11．（2010秋•巢湖期中）如图，CE、CB分别是△ABC、△ADC的中线，且AB=AC．求证：

CD=2CE．

全等三角形辅助线之截长补短与倍长中线

参考答案与试题解析

一．填空题（共1小题）

1．（2015秋•宿迁校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D．若BD：

DC=3：

2，点D到AB的距离为6，则BC的长是　15　．

【考点】角平分线的性质．

【专题】计算题．

【分析】作DE⊥AB于E，如图，则DE=6，根据角平分线定理得到DC=DE=6，再由BD：

DC=3：

2可计算出BD=9，然后利用BC=BD+DC进行计算即可．

【解答】解：

作DE⊥AB于E，如图，则DE=6，

∵AD平分∠BAC，

∴DC=DE=6，

∵BD：

DC=3：

2，

∴BD=×6=9，

∴BC=BD+DC=9+6=15．

故答案为15．

【点评】本题考查了角平分线的性质：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

二．解答题（共10小题）

2．（2010秋•涵江区期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于D，求证：

AB=AC+CD．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】利用已知条件，求得∠B=∠E，∠2=∠1，AD=AD，得出△ABD≌△AED（AAS），∴AE=AB．∵AE=AC+CE=AC+CD，∴AB=AC+CD．

【解答】证法一：

如答图所示，延长AC，到E使CE=CD，连接DE．

∵∠ACB=90°，AC=BC，CE=CD，

∴∠B=∠CAB=（180°﹣∠ACB）=45°，∠E=∠CDE=45°，

∴∠B=∠E．

∵AD平分∠BAC，

∴∠1=∠2

在△ABD和△AED中，

，

∴△ABD≌△AED（AAS）．

∴AE=AB．

∵AE=AC+CE=AC+CD，

∴AB=AC+CD．

证法二：

如答图所示，在AB上

截取AE=AC，连接DE，

∵AD平分∠BAC，

∴∠1=∠2．

在△ACD和△AED中，

，

∴△ACD≌△AED（SAS）．

∴∠AED=∠C=90，CD=ED，

又∵AC=BC，

∴∠B=45°．

∴∠EDB=∠B=45°．

∴DE=BE，

∴CD=BE．

∵AB=AE+BE，

∴AB=AC+CD．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；通过SAS的条件证明三角形全等，利用三角形全等得出的结论来求得三角形各边之间的关系．

3．如图，AD是△ABC中BC边上的中线，求证：

AD＜（AB+AC）．

【考点】全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．

【专题】计算题．

【分析】可延长AD到E，使AD=DE，连BE，则△ACD≌△EBD得BE=AC，进而在△ABE中利用三角形三边关系，证之．

【解答】证明：

如图延长AD至E，使AD=DE，连接BE．

在△ACD和△EBD中：

∴△ACD≌△EBD（SAS），

∴AC=BE（全等三角形的对应边相等），

在△ABE中，由三角形的三边关系

可得AE＜AB+BE，即2AD＜AB+AC，

∴AD＜（AB+AC）．

【点评】本题主要考查全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，能够熟练掌握．

4．（2013秋•藁城市校级期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．

（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：

DE=AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：

DE=AD﹣BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？

请你直接写出这个数量关系，不要证明．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

【专题】证明题．

【分析】

（1）利用垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，则根据互余得∠DAC+∠ACD=90°，再根据等角的余角相等得到∠DAC=∠BCE，然后根据“AAS”可判断△ADC≌△CEB，所以CD=BE，AD=CE，再利用等量代换得到DE=AD+BE；

（2）与

（1）一样可证明△ADC≌△CEB，则CD=BE，AD=CE，于是有DE=CE﹣CD=AD﹣BE；

（3）与

（1）一样可证明△ADC≌△CEB，则CD=BE，AD=CE，于是有DE=CD﹣CE=BE﹣AD．

【解答】

（1）证明：

∵AD⊥MN，BE⊥MN，

∴∠ADC=∠CEB=90°，

∴∠DAC+∠ACD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠BCE+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠BCE，

在△ADC和△CEB，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴CD=BE，AD=CE，

∴DE=CE+CD=AD+BE；

（2）证明：

与

（1）一样可证明△ADC≌△CEB，

∴CD=BE，AD=CE，

∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE；

（3）解：

DE=BE﹣AD．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：

判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．

5．已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】在CB上取点G使得CG=CD，可证△BOE≌△BOG，得BE═BG，可证△CDO≌△CGO，得CD=CG，可以求得BE+CD=BC．

【解答】解：

在BC上取点G使得CG=CD，

∵∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣60°）=120°，

∴∠BOE=∠COD=60°，

∵在△COD和△COG中，

，

∴△CODF≌△COG（SAS），

∴∠COG=∠COD=60°，

∴∠BOG=120°﹣60°=60°=∠BOE，

∵在△BOE和△BOG中，

，

∴△BOE≌△BOG（ASA），

∴BE=BG，

∴BE+CD=BG+CG=BC．

【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证CD=CG和BE=BG是解题的关键．

6．（2012秋•西城区校级期中）已知：

如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，F是CD中点，连BF交AC于点E，∠ABE+∠CEB=180°，判断BD与CE的数量关系，并证明你的结论．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【专题】探究型．

【分析】延长BF至点G，使FG=BF，连CG，证△GFC≌△BFD，∠CGF=∠FBD，CG=DB，求出∠CGF=∠CEG，推出CG=CE，即可得出答案．

【解答】结论：

BD=CE

证明：

延长BF至点G，使FG=BF，连CG，

∵F为CD中点，

∴CF=DF，

在△GFC和△BFD中

∴△GFC≌△BFD（SAS），

∴∠CGF=∠FBD，CG=DB，

又∵∠ABE+∠CEB=180°，∠CEG+∠CEB=180°，

∴∠CGF=∠CEG，

∴CG=CE，

∴BD=CE．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用．

7．（2010秋•丰台区期末）已知：

如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是△ABC内的一点，且AD=AC，若∠DAC=30°，试探究BD与CD的数量关系并加以证明．

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．

【专题】探究型．

【分析】作BE⊥BC，AE⊥AC，两线相交于点E，则四边形AEBC是正方形，由∠DAC=30°，得∠DAE=60°，由AD=AC，得AD=AE，所以，三角形AED是等边三角形，可得∠AED=60°，∠DEB=30°，

所以，△ADC≌△EDB，可得BD=CD；

【解答】解：

BD=CD．

证明：

作BE⊥BC，AE⊥AC，两线相交于点E，

∵△ABC是等腰直角三角形，即AC=BC，

∴四边形AEBC是正方形，

∵∠DAC=30°，

∴∠DAE=60°，

∵AD=AC，

∴AD=AE，

∴△AED是等边三角形，

∴∠AED=60°，

∴∠DEB=30°，

在△ADC和△EDB中，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴BD=CD．

【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，作辅助线构建正方形，通过证明三角形全等得出线段相等，是解答本题的基本思路．

8．已知点M是等边△ABD中边AB上任意一点（不与A、B重合），作∠DMN=60°，交∠DBA外角平分线于点N．

（1）求证：

DM=MN；

（2）若点M在AB的延长线上，其余条件不变，结论“DM=MN”是否依然成立？

请你画出图形并证明你的结论．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

【分析】

（1）在AD上截取AF=AM，证明△DFM≌△MBN即可；

（2）在AD的延长线上截取AF=AM，证明△DFM≌△MBN即可．

【解答】证明：

（1）如图1，在AD上截取AF=AM，

∵△ABD是等边三角形，

∴△AMF是等边三角形，

∴DF=MB，∠DFM=120°，

∵BN是∠DBA外角平分