所以f（x）的单调递减区间为，k∈Z.
答案：
D
10．先令函数y＝cosx的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再把图象沿x轴向左平移个单位，则所得图象对应的函数表达式为（ ）
A．y＝sin2xB．y＝－sin2x
C．y＝cosD．y＝cos
解析：
第一步变换后所得函数表达式是y＝cos2x，第二步变换后所得函数表达式是y＝cos＝cos＝－sin2x.
答案：
B
11．函数y＝3sin的单调递增区间是（ ）
A.（k∈Z）
B.（k∈Z）
C.（k∈Z）
D.（k∈Z）
解析：
由题意可得y＝－3sin，由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以原函数的单调递增区间是（k∈Z）．
答案：
C
12．化简cos2－cos2＝（ ）
A．－sinxB.sinx
C．－cosxD.cosx
解析：
cos2－cos2＝
.
＝
·＝
·＝
sin·sinx＝sin·sinx＝
－sin·sinx＝－sinx.
答案：
A
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）
13．设sin2α＝－sinα，α∈，则tan2α的值是________．
解析：
因为sin2α＝－sinα，所以2sinαcosα＝－sinα.
因为α∈，sinα≠0，
所以cosα＝－.
又因为α∈，所以α＝π，
所以tan2α＝tanπ＝tan＝tan＝.
答案：
14．（2014·陕西卷）设0<θ<，向量a＝（sin2θ，cosθ），b＝（cosθ，1），若a∥b，则tanθ＝________．
解析：
因为a∥b，所以sin2θ×1－cos2θ＝0，
所以2sinθcosθ－cos2θ＝0，因为0<θ<，所以cosθ>0，所以2sinθ＝cosθ，所以tanθ＝.
答案：
15．（2015·天津卷）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为________．
解析：
取，为一组基底，则＝－＝－，＝＋＋＝－＋＋＝－＋，
所以·＝·＝
||2－·＋||2＝
×4－×2×1×＋＝.
答案：
16．（2015·天津卷）已知函数f（x）＝sinωx＋cosωx（ω>0），x∈R.若函数f（x）在区间（－ω，ω）内单调递增，且函数y＝f（x）的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．
解析：
f（x）＝sinωx＋cosωx＝sin，
因为f（x）在区间（－ω，ω）内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，
所以f（ω）必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.
又ω－（－ω）≤，即ω2≤，所以ω2＝，所以ω＝.
答案：
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）已知|a|＝1，|b|＝，a与b的夹角为θ.
（1）若a∥b，求a·b；
（2）若a－b与a垂直，求θ.
解：
（1）因为a∥b，所以θ＝0°或180°，
所以a·b＝|a||b|cosθ＝±.
（2）因为a－b与a垂直，
所以（a－b）·a＝0，即|a|2－a·b＝1－cosθ＝0，
所以cosθ＝.
又0°≤θ≤180°，所以θ＝45°.
18．（本小题满分12分）已知角α的终边过点P.
（1）求sinα的值；
（2）求式子·的值．
解：
（1）因为|OP|＝＝1，
所以点P在单位圆上，
由正弦函数定义得sinα＝－.
（2）原式＝·＝＝，
由
（1）得sinα＝－，P在单位圆上，
所以由已知条件得cosα＝.
所以原式＝.
19．（本小题满分12分）如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
（1）若A，B两点的纵坐标分别为，，求cos（β－α）的值；
（2）已知点C是单位圆上的一点，且＝＋，求和的夹角θ.
解：
（1）设A，B，则x＋＝1，又x1>0，所以x1＝，所以A.
x＋＝1，又x2<0，所以x2＝－，
所以B.
所以sinα＝，cosα＝，sinβ＝，cosβ＝－，
所以cos（β－α）＝cosβcosα＋sinβsinα＝
×＋×＝.
（2）根据题意知||＝1，||＝1，||＝1，又＝＋，
所以四边形CAOB是平行四边形．
又||＝||，所以▱CAOB是菱形，
又||＝||＝||，所以△AOC是等边三角形，
所以∠AOC＝60°，所以∠AOB＝120°，
即与的夹角θ为120°.
20．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝2cosx·sin－sin2x＋sinx·cosx.
（1）当x∈时，求f（x）的值域；
（2）用“五点法”在下图中作出y＝f（x）在闭区间上的简图；
（3）说明f（x）的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变化得到？
解：
f（x）＝2cosx·sin－sin2x＋sinxcosx＝
2cosx－·sin2x＋sinxcosx＝sin2x＋cos2x＝2sin.
（1）因为x∈，所以≤2x＋≤，
所以－≤sin≤1，所以当x∈时，f（x）的值域为[－，2]．
（2）由T＝，得T＝π，列表：
x
－
2x＋
0
π
2π
2sin
0
2
0
－2
0
图象如图．
（3）法一：
由以下变换可得f（x）的图象：
先将y＝sinx的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的，最后将纵坐标伸长为原来的2倍．
法二：
由以下变换可得f（x）的图象：
先将y＝sinx的图象上各点的横坐标缩短到原来的，再将图象向左平移个单位，最后将纵坐标伸长为原来的2倍．
21．（本小题满分12分）（2015·广东卷）在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝（sinx，cosx），x∈.
（1）若m⊥n，求tanx的值；
（2）若m与n的夹角为，求x的值．
解：
（1）若m⊥n，则m·n＝0.
由向量数量积的坐标公式得sinx－cosx＝0，
所以tanx＝1.
（2）因为m与n的夹角为，所以m·n＝|m|·|n|cos，
即sinx－cosx＝，
所以sin＝.
又因为x∈，所以x－∈，
所以x－＝，即x＝.
22．（2015·重庆卷）（本小题满分12分）已知函数f（x）＝sin2x－cos2x.
（1）求f（x）的最小正周期和最小值；
（2）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．当x∈时，求g（x）的值域．
解：
（1）f（x）＝sin2x－cos2x＝sin2x－（1＋cos2x）＝sin2x－cos2x－＝sin－，
因此f（x）的最小正周期为π，最小值为－.
（2）由条件可知g（x）＝sin－.
当x∈时，有x－∈，
从而y＝sin的值域为，
那么y＝sin－的值域为.
故g（x）在区间上的值域是.
升级会员 