学年高中数学第1章常用逻辑用语113充分条件和必要条件学案湘教版选修21Word格式.docx
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△ABC是等腰三角形；
（4）p：
α>
β，q：
sinα>
sinβ.
【解】
（1）因为a＋b＝0⇒\a2＋b2＝0，反过来，若a2＋b2＝0⇒a＋b＝0，所以p是q的必要不充分条件．
（2）因为函数f（x）＝2x＋1⇒f（x）是增函数，但f（x）是增函数⇒\f（x）＝2x＋1，所以p是q的充分不必要条件．
（3）因为p⇒q且q⇒p，所以p是q的充要条件．
（4）取α＝150°
，β＝30°
，α>
β，但sin150°
＝sin30°
，即p⇒\q；
反之，sin60°
>
sin150°
，但60°
150°
不成立，则q
p，所以p是q的既不充分也不必要条件．
充分、必要、充要条件的判断方法
（1）定义法
若p⇒q，q
p，则p是q的充分不必要条件；
若p
q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；
若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件；
q，q
p，则p是q的既不充分也不必要条件．
（2）集合法
对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：
若A⊆B，则p是q的充分条件；
若A⊇B，则p是q的必要条件；
若A＝B，则p是q的充要条件；
若AB，则p是q的充分不必要条件；
若AB，则p是q的必要不充分条件．
（3）等价法
等价转化法就是在判断含有与“否”有关命题条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．
指出下列各题中，p是q的什么条件（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件）．
数a能被6整除，q：
数a能被3整除；
x2＞1，q：
x＞1；
△ABC有三个内角相等，q：
△ABC是正三角形；
|a·
b|＝a·
b，q：
a·
b＞0.
解：
（1）因为p⇒q，q
p，
所以p是q的充分不必要条件．
（2）因为p
q，q⇒p，
所以p是q的必要不充分条件．
（3）因为p⇒q，q⇒p，即p⇔q，
所以p是q的充要条件．
（4）因为a·
b＝0时，|a·
b，
所以“|a·
b”
“a·
b＞0”，即p
q.
而当a·
b＞0时，有|a·
b，即q⇒p.
充要条件的证明
证明：
关于x的一元二次不等式x2＋px＋q≤0的解集只有一个元素的充要条件是p2＝4q.
【证明】 命题中的条件为p2＝4q.
必要性：
解不等式x2＋px＋q≤0.
若Δ＝p2－4q>
0，则
不等式的解集为
，
不合题意．
若Δ<
0，则x2＋px＋q恒大于0，
原不等式的解集为空集，不合题意．
所以，不等式x2＋px＋q≤0的解集中只含有一个元素时，Δ＝p2－4q＝0，即p2＝4q.
充分性：
因为p2＝4q，
所以x2＋px＋q＝x2＋px＋
＝
≤0，
所以x＋
＝0，即x＝－
.
即原不等式的解集只有一个元素－
综上可得：
x2＋px＋q≤0的解集只有一个元素的充要条件是p2＝4q.
充要条件的证明策略
（1）要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．
（2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．
求证：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<
0.
证明：
（由ac<
0推证方程有一正根和一负根）
因为ac<
0，
所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式
Δ＝b2－4ac>
所以方程一定有两不等实根，
设为x1，x2，则x1x2＝
<
所以方程的两根异号．
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
（由方程有一正根和一负根推证ac<
0）
因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，
则由根与系数的关系得x1x2＝
0，即ac<
综上可知：
充分条件、必要条件、充要条件的应用
已知p：
－2≤x≤10，q：
1－m≤x≤1＋m（m＞0），若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【解】 p：
1－m≤x≤1＋m（m＞0）．
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，
故有
或
，解得m≤3.
又m＞0，所以实数m的取值范围为{m|0＜m≤3}．
1．若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
p：
因为p是q的充分不必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以AB.
所以
解不等式组得m＞9或m≥9，
所以m≥9，
即实数m的取值范围是m≥9.
2．本例中p、q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？
若存在，求出m的值；
若不存在，说明理由．
因为p：
若p是q的充要条件，则
，m不存在．
故不存在实数m，使得p是q的充要条件．
由条件关系求参数的取值（范围）的步骤
（1）根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系；
（2）根据集合端点或数形结合列方程或不等式（组）求解．
1.已知p：
－4＜x－a＜4，q：
（x－2）（x－3）＜0，若q是p的充分条件，则a的取值范围为________．
解析：
化简p：
a－4＜x＜a＋4，q：
2＜x＜3，
由于q是p的充分条件，
解得：
－1≤a≤6.
[－1，6]
2．若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．
因为x2＞1，
所以x＜－1或x＞1.
又因为“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件．
所以x＜a⇒x2＞1但x2＞1
x＜a.
如图所示：
所以a≤－1，
所以a的最大值为－1.
－1
1．充要条件的证明与探求
（1）充要条件的证明分充分性和必要性的证明．在证明时要注意两种叙述方式的区别：
①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；
②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．
（2）探求充要条件，也可先证出必要性，再证充分性；
如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．
2．充分条件、必要条件、充要条件的传递性
（1）若p是q的充分条件，q是s的充分条件，即p⇒q，q⇒s，则有p⇒s，即p是s的充分条件；
（2）若p是q的必要条件，q是s的必要条件，即q⇒p，s⇒q，则有s⇒p，即p是s的必要条件．
（3）若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．
1．设p：
实数x，y满足x>
1且y>
1，q：
实数x，y满足x＋y>
2，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
选A.若x>
1，则有x＋y>
2成立，所以p⇒q；
反之由x＋y>
2不能得到x>
1.所以p是q的充分不必要条件．
2．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
选A.若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a⊂α，b⊂β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．
反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．
3．设集合M＝{x|x＞2}，N＝{x|x＜3}，那么“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
选B.x∈M或x∈N即x∈M∪N，因为（M∩N）⊆（M∪N），所以“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的必要不充分条件．
4．设a，b是向量．则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
选D.取a＝－b≠0，则|a|＝|b|≠0，|a＋b|＝|0|＝0，|a－b|＝|2a|≠0，所以|a＋b|≠|a－b|，故由|a|＝|b|推不出|a＋b|＝|a－b|.
由|a＋b|＝|a－b|，得|a＋b|2＝|a－b|2，整理得a·
b＝0，所以a⊥b，不一定能得出|a|＝|b|，故由|a＋b|＝|a－b|推不出|a|＝|b|.故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．
5．函数f（x）＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是（ ）
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1D．m＝1
选A.当m＝－2时，f（x）＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以函数f（x）＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.
[A 基础达标]
1．若向量a＝（x，3）（x∈R），则“x＝4”是“|a|＝5”的（ ）
D．既不充分又不必要条件
选A.由x＝4知|a|＝
＝5；
反之，由|a|＝
＝5，得x＝4或x＝－4.故“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件，故选A.
2．若集合A＝{3，a2}，B＝{2，4}，则“a＝2”是“A∩B＝{4}”的（ ）
C．既是充分条件，又是必要条件
选A.若a＝2，则A＝{3，4}，可得A∩B＝{4}；
若A∩B＝{4}，则a2＝4，可得a＝±
2，所以“a＝2”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．
3．设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}为递增数列”的（ ）
选D.当数列{an}的首项a1＜0时，若q＞1，则数列{an}是递减数列；
当数列{an}的首项a1＜0时，要使数列{an}为递增数列，则0＜q＜1，所以“q＞1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．
4．若a∈R，则“a＝2”是“（a－1）（a－2）＝0”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
选A.由a＝2能得到（a－1）（a－2）＝0，但由（a－1）·
（a－2）＝0得到a＝1或a＝2，而不是a＝2，所以a＝2是（a－1）（a－2）＝0的充分而不必要条件．
5．下面四个条件中，使a>
b成立的充分而不必要的条件是（ ）
A．a>
b＋1B．a>
b－1
C．a2>
b2D．a3>
b3
选A.要求a>
b成立的充分不必要条件，必须满足由选项能推出a>
b，而由a>
b推不出选项．在选项A中，a>
b＋1能使a>
b成立，而a>
b时a>
b＋1不一定成立，故A正确；
在选项B中，a>
b－1时a>
b不一定成立，故B错误；
在选项C中，a2>
b2时a>
b也不一定成立，因为a，b不一定均为正值，故C错误；
在选项D中，a3>
b3是a>
b成立的充要条件，故D也错误．
6．不等式x2－3x＋2<
0成立的充要条件是________．
x2－3x＋2<
0⇔（x－1）（x－2）<
0⇔1<
x<
2.
1<
2
7．在△ABC中，“sinA＝sinB”是“a＝b”的________条件．
在△ABC中，由正弦定理及sinA＝sinB可得2RsinA＝2RsinB，即a＝b；
反之也成立．
充要
8．设p：
≤x≤1；
q：
（x－a）（x－a－1）≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
因为q：
a≤x≤a＋1，p是q的充分不必要条件，
解得0≤a≤
下列各题中，p是q的什么条件？
q是p的什么条件？
c＝0，q：
抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过原点；
0＜x＜3，q：
|x－1|＜2.
（1）c＝0⇒抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过原点；
抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过原点⇒c＝0.故p是q的充要条件，q是p的充要条件．
（2）0＜x＜3⇒|x－1|＜2，|x－1|＜2⇒－1＜x＜3
0＜x＜3.故p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
10．已知p：
x2－2x－3<
0，若－a<
x－1<
a是p的一个必要条件但不是充分条件，求使a>
b恒成立的实数b的取值范围．
由于p：
0⇔－1<
3，
－a<
a⇔1－a<
1＋a（a>
0）．
依题意，得{x|－1<
3}{x|1－a<
1＋a}（a>
0），
解得a>
2，
则使a>
b恒成立的实数b的取值范围是b≤2，即（－∞，2]．
[B 能力提升]
11．对于二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），下列结论正确的是（ ）
①Δ＝b2－4ac≥0是函数f（x）有零点的充要条件；
②Δ＝b2－4ac＝0是函数f（x）有零点的充分条件；
③Δ＝b2－4ac＞0是函数f（x）有零点的必要条件；
④Δ＝b2－4ac＜0是函数f（x）没有零点的充要条件．
A．①④B．①②③
C．①②③④D．①②④
选D.①Δ＝b2－4ac≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有实根⇔f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）有零点，故①正确．
②若Δ＝b2－4ac＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有实根，因此函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）有零点，故②正确．
③函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）有零点时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有实根，未必有Δ＝b2－4ac＞0，也可能有Δ＝0，故③错误．
④Δ＝b2－4ac＜0⇔方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实根⇔函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）无零点，故④正确．
12．下列各题中，p是q的充要条件的是______________．（填序号）
①p：
m＜－2或m＞6，q：
y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；
②p：
＝1，q：
y＝f（x）为偶函数；
③p：
cosα＝cosβ，q：
tanα＝tanβ；
④p：
A∩B＝A，q：
∁UB⊆∁UA.
对于①，q：
y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点⇔q：
Δ＝m2－4（m＋3）＞0⇔q：
m＜－2或m＞6⇔p.
对于②，当f（x）＝0时，q
p.
对于③，若α，β＝kπ＋
（k∈Z），
则有cosα＝cosβ，但没有tanα＝tanβ，p
对于④，p：
A∩B＝A⇔p：
A⊆B⇔q：
①④
13．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根关于a的充要条件．
当a＝0时，x＝－
符合题意．
当a≠0时，令f（x）＝ax2＋2x＋1，由于f（0）＝1＞0，
当a＞0时，－
0，若Δ＝4－4a≥0，
则a≤1，
即0＜a≤1时，f（x）有两个负实数根．
当a＜0时，因为f（0）＝1，Δ＝4－4a＞0恒成立，
所以方程恒有负实数根．
综上所述，a≤1为所求．
14．（选做题）已知集合p：
A＝
，q：
B＝{x||x－m|≥1}，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．
先化简集合A，由y＝x2－
x＋1，配方，
得y＝
＋
因为x∈
所以y∈
所以A＝
由|x－m|≥1，
解得x≥m＋1或x≤m－1.
所以B＝{x|x≥m＋1或x≤m－1}．
因为命题p是命题q的充分条件，
所以A⊆B.
所以m＋1≤
或m－1≥2，
解得m≤－
或m≥3.
故实数m的取值范围是
∪[3，＋∞）．
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