第1114届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题Word文件下载.docx
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问蚂蚁甲追上蚂蚁乙一共多少次？
（包括结束时刻）。
11.如图5,ABCD是矩形，BC=6cm,AB=10cm,AC和BD是对角线。
图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫过的立体的体积是多少立方厘米？
（n取3.14）
12.将一根长线对折后，再对折，共对折10次，得到一束线。
用剪刀将这束线剪成10等份,问：
可以得到不同长度的短线段各多少根？
三、解答下列各题，要求写出详细过程。
（每题15分，共30分）
13•华罗庚爷爷在一首诗文中勉励青少年：
“猛攻苦战是第一，熟练生成百巧来，勤能补拙
是良训，一分辛苦一分才。
”现在将诗文中不同的汉字对应不同的自然数，相同的汉字对应相同的自然数，并且不同汉字所对应的自然数可以排列成一串连续的自然数。
如果这28个
自然数的平均值是23,问“分”字对应的自然数的最大可能值是多少？
14.一根长为L的木棍，用红色刻度线将它分成m等份，用黑色刻度线将它分成n等份（m>
n）。
（1）设X是红色与黑色刻度线重合的条数，请说明：
X+1是m和n的公约数；
（2）如果按刻度线将该木棍锯成小段，一共可以得到170根长短不等的小棍，其中最长的
小棍恰有100根。
试确定m和n的值。
第十二届全国华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小学组）
（时间2007年4月21日10:
00〜11:
30）
（市）、区学校姓名考号
一、填空（每题10分，共80分）
1、华”、杯”、赛”三个字的四角号码分别是2440”、4199”和3088”，将华杯赛”的编码取为244041993088'
。
如果这个编码从左起的奇数位的数码不
变，偶数位的数码改变为关于9的补码，例如：
0变9，1变8等，那么华杯赛”新的编码是。
123
2、计算：
[20.75+（3.74—22）925]41.75=。
3、如图1所示，两个正方形ABC和DEF的边长都是整数厘米。
点E在线段CD
上,且CE<
D吕线段CF=5厘米，则五边形ABCF的面积等于方厘米。
10厘米
13121
—■■■■
4、将250、40、0.523、0.523、0.52从小到大排列，第三个数是。
5、图2a是一个密封水瓶的切面图，上半部为圆锥状，下半部为圆柱状，底
面直径都是10厘米，水瓶高度是26厘米，瓶中液面的高度为12厘米。
将水瓶倒置后，如图2b，瓶中液面的高度是16厘米，则水瓶的容积等于方厘米。
（取二=3.14，水瓶壁厚不计）
一列数是按以下条件确定的：
第一个是3,第二个是6,第三个是18，以后每一个数是前面所有数的和的2倍，则第六个数等于从这列数的第
数开始，每个都大于2007。
7、一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是111,这个自然数是
O
8、用一些棱长是1的小正方体码成一个立体，从上向下看这个立体，如图3,从正面看这个立体，如图4，则这个立体的表面积最多是。
二、简答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9、如图5,在三角形ABC中，点D在BCt,且/ABG=/ACB/ADC^ZDAQ
/DAB=21°
，求ZABC勺度数；
并且回答：
图中哪些三角形是锐角三角形。
10、李云靠窗坐在一列时速60千米的火车里，看到一辆有30节车厢的货车迎面驶来，当货车车头经过窗口时，他开始记时，直到最后一节车厢驶过窗口时，所记的时间是18秒。
已知货车车厢长15.8米，车厢间距1.2米，货车车头长10米问货车行驶的速度是多少？
11、图6是一个99的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格子的小九宫”格,其中，有一些小方格填有1至9的数字。
小青在第4列的空格中各填入了一个1至9的自然数，使每行、每列和每个小九宫”格内的数字都不重复，然后小青将第4列的数字从上向下写成一个9位数。
请写出这个9位数，并且简单说明理由。
12、某班一次数学考试，所有成绩得优的同学的平均分数是95分,没有得优的同学的平均分数是80分。
已知全班同学的平均成绩不少于90分，问得优的同学占全班同学的比例至少是多少？
、详答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）
括等边三角形）？
个正六边形的各顶点。
问图中共有多少个等腰三角形（包
14、圆周上放置有7个空杯子，按顺时针方向依次编号为1,2,3,4,5,6,7。
小明首先将第1枚白色棋子放入1号盒子，然后将第2枚白色棋子放入3号盒子，再将第3枚白色棋子放入6号盒子，，，，放置了第k—1枚白色棋子后，小明依顺时针方向向前数了k—1个盒子，并将第k枚白色棋子放在下一个盒子中，小明按照这个规则共放置了200枚白色棋子。
随后，小青从1号盒子开始，按照逆时针方向和同样的规则在这些盒子中放入了300枚红色棋子。
请回答：
每个盒子各有多少枚白色棋子？
每个盒子各有多少枚棋子？
答案
、填空
1.解：
偶数位自左至右依次为4、0、1、9、0、8,它们关于9的补码自左至右依次为
9、1,所以“华杯赛”新的编码是：
254948903981
8、0、
25
2.解:
0.5
3.解:
5、9、
原式=[20.75+1.24X1:
:
;
]-41.75=[20.75+0.125]-41.75=20.875-41.75=
CF=5，又CD和DF都是整数，根据勾股定理可知CE=3,DF=4,CD=7,
42+73+1x4x3
所以五边形ABCFG勺面积为：
j=16+49+6=71（平方厘米）
■■■■13121
0^2<
0523<
—<
—
4.解：
一.=0.524，胡=0.525，所以：
.11，第三小的
131
21
5.解：
如果将瓶中的液体取出一部分，使正立时高度为这时瓶中的液体刚好为瓶的容积的一半，的圆柱的体积，即瓶的容积是：
11厘米，则倒立时高度为15厘米,
所以瓶的容积相当于一个高22厘米（底面积不变）
3.14X
10>
X22=1727（立方厘米）
6，第三个是18,第四个是（3+6+18）X2=54,
6.解：
这列数的第一个是3,第二个是
第五个是（3+6+18+54）X2=162，第六个是（3+6+18+54+162）X2=486
设这列数的第一个为a,则第二个为2a,第三个为6a=2X3Xa,第四个为18a=2X「Xa,
第五个为54a=第六个为162a=2X二Xa,第n个为2x1'
Xa,因为a=3,所以第n
个数也可写作2X「「，即从第三个数起，每个数是前一个数的3倍。
2007-486>
3,而
2007-3V9,可知从第8个数起，每个数都大于2007.
7.解：
因为111是奇数，而奇数=奇数+偶数，所以所求数的最大约数与次大约数必为一奇一偶。
而一个数的最大约数是其自身，而一个数如有偶约数此数必为偶数，而一个偶数的次
大约数应为这个偶数的［，设这个次大约数为a,则最大约数为2a,a+2a=111，求得a
=37,2a=74,即所求数为74.
8.解：
根据所给视图，可画出这个立体的直观图如下：
可知，上下面积为8X2=16（平方厘米），前后面积为8X2=16（平方厘米），左右面积为8X2=16（平方厘米），此立体的表面积共48平方厘米.
二、简答下列各题
9.解：
I/DACFZADCFZC=，而/DAC=ZADC=ZB+21,/B=ZC,
•••3X/B+21°
=180°
•••/B=46°
/DAC=46°
+21°
=67°
/BAC=67°
=88°
•△ABC和△ADC都是锐角三角形.
10.解：
客车速度为
60千米/小时，18秒钟通过的路程为：
千二
=300（米）
货车长为（15.8+1.2）X30+10=520（米）
18秒钟货车通过的距离为520-300=220（米）
220x3600
货车速度为二二二=44（千米/小时）
11.解:
7
5
3
1
6
2
9
4
8
g
S
用（a,b）表示第a行第b列的方格，第4列已有数字1、2、3、4、5,第6行已有数字6、7、9，所以方格（6,4）=8;
第3行和第5行都有数字9,所以（7,4）=9;
正中的“小九宫”中已有数字7,所以只能是（3,4）=7;
此时，第4列中只余（5,4）,这一列只有数字6未填，所以（5,4）=6。
所以，第4列的数字从上向下写成的9位数是：
327468951.
12.解：
为使全班同学的平均分达到90分，需将2名得优的同学和1名没得优的同学匹配为
一组，即得优的同学至少应为没得优同学的2倍，才能确保全班同学的平均分不低于90分,
所以得优同学占全班同学的比例至少是：
.
三、详答下列各题
13.解：
bcd
首先按是否是等边三角形分类，图a、图b、图c中有3类等边三角形，红色的有6个，蓝
色的有6个，黄色的有2个，共14个等边三角形。
图d中有3类非等边的等腰三角形，绿色的有6个，紫色的有6个，棕色的有12个，共24个。
所以共有等腰三角形（包括等边三角形）为38个.
14.解：
依顺时针方向不间断地给这7个盒子编号，则1号盒子可有的号数为1、8、15、,7k+1;
2号盒子可有的号数为2、9、16、，7k+2;
;
7号盒子可有的号数为7、14、21、，7k+7
（k为整数）。
根据规则，小明将第1枚棋子放入1号盒子，将第2枚棋子放入3号盒子，将第3枚棋子放入6号盒子，将第4枚棋子放入10号即3号盒子，将第5枚棋子放入15号即1号盒子，将第6枚棋子放入21号即7号盒子，将第7枚棋子放入28号即7号盒子，按照这个规律，从第8枚棋子开始，将重复上述棋子放入的盒子，即第8枚放入1号盒子，第9枚放入3号盒
子，，，也就是每7枚棋子为一个周期。
并且这7枚棋子有2枚放入1号盒子，有2枚放入3号盒子，有2枚放入7号盒子，有1枚放入6号盒子，2、4、5号盒子未放入棋子。
各盒子中的白子数目如下表。
200=7X28+4,经过28次循环后，第197枚棋子放入1号盒子，第198枚棋子放入3号盒子，第199枚棋子放入6号盒子，第200枚棋子放入3号盒子。
在小青逆时针放子时，我们依逆时针方向给盒子不间断编号，同样地每7枚棋子为一个周期,
300=7X42+6,可以求出各盒子中的红子数目如下表。
盒子编号
白子
57
58
29
56
红子
86
85
43
棋子总数
143
101
115
第十三届“华罗庚金杯”少年组数学邀请赛决赛试卷（小学组）
姓名成绩
一•填空（每题体10分，共80分）
6401494014一
1.计算：
2-
3401434014--
2.林林倒满一杯纯牛奶，第一次喝了1，然后加入豆浆，将杯子斟满并搅拌均匀,
第二次，林林又喝了1，继续用豆浆将杯子斟满并搅拌均匀，重复上述过程，那
么第四次后，林林共喝了一杯纯牛奶总量的（用分数表示）。
3.图1是小明用一些半径为1厘米，2厘米，4厘米，和8厘米的圆，半圆，圆弧和一个正方形组成的一个鼠头图案，图中阴影部分的总面积为平方厘米。
4.悉尼与北京的时差是3小时，例如：
悉尼时间12:
00时，北京时间是9:
00。
某日，当悉尼时间9:
15时，小马和小杨分别乘机从悉尼和北京同时出发去对方
所在地，小马于北京时间19:
33分到达北京。
小马和小杨路途上所用时间之比
为7:
6,那么小杨到达悉尼时，当地时间是
5.将六个自然数14,20,33,117，143，175分组，如果要求每组中的任意两个数都互质，则至少需要将这些数分成组。
6.对于大于零的分数，有如下4个结论：
1两个真分数的和是真分数；
2两个真分数的积是真分数；
3一个真分数与一个假分数的和是一个假分数；
4一个真分数与一个假分数的积是一个假分数。
其中正确结论的编号是。
7.记A=1+3+7+15+,+1023,那么比A小的最大自然数是。
248161024
8.黑板上写着1至2008共2008个自然数，小明每次擦去两个奇偶性相同的数，
再写上它们的平均数，最后黑板上只剩下一个自然数，这个数可能的最大值和最小值的差是。
•解下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9.小李应聘某公司主任职位时，要根据下表回答主任的月薪是多少，请你回答这个问题。
职位
会计与出纳
出纳与秘书
秘书与主管
主管与主任
主任与会计
月薪和
3000元
3200元
4000元
5200元
4400元
10.请将四个4用四则运算符号、括号组成五个算式，使它们的结果分别等于5,
6，7，8，9。
11.图2中，ABC床口CGE是两个正方形，AG和CF相交与H,已知CH等于CF的三分之一，三角形CHG勺面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF勺面积。
12.设六位数abcdef满足fabcde-fabcdef，请写出所有的这样的六位数
三•解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）
13.
北一奥运会京-梦想成真
甲乙两人沿一个周长400米的环形跑道匀速前进，甲行走一圈需4分钟，乙行走一圈需7分钟，他们同时同地同向出发，甲走完10圈后，改为反向行走，出发后，每一次甲追上乙或和乙迎面相遇时，二人都击掌示意。
问：
当二人第15次击掌时，甲共走了多长时间？
乙走了多少路程？
14.右图是一个分数等式：
等式中的汉字代表数字1，2，3,
4，5，6，7，8和9,不同的汉字代表不同的的数字。
如果
“北”和“京”分别代表1和9.请写出“奥运会”所代表的所有的三位整数，并说明理由
一、填空
题号
9C806C9A寸9寸L$二/卜乂H般2・盘0LLdp<
99fefr----"
Lt,111
寸99CXI0LLLLLLL-—CXIL
9・6寸—LL
6m0L
1^0062—6
wsd
LOooCXI
co
CO
OCXI
s
T~
00
LO
CM
w
第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A（小学组）
（时间：
2009年4月11日10:
00~11:
30）
填空题（每小题10分，共80分）
200820072009200920082010
20082009-1
20092010-1
2009位数
（从左往右数）上的数字组
1.计算：
个。
2•如图1所示，在边长为1的小正方形组成的44方格图中，有25个格点，在以格点为顶点的直角三角形中，两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有
图1
.将七位数“1357924”重复写287次组成一个“13579241357924”删去这个数中所有位于奇数位
成一个新数，再删去新数中所有位于奇数位上的数字，按上述方法一直删下去直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数字是。
|
A\EB
4.
F图2
如图2所示，在由七个同样的小正方形组成的图形中，直线I将原图形分为面积相等的两部分，I与AB的交点为E,与CD的交点为F，若线段CF与线段AE的长度之和为91厘米，那么小C正方形的边长是米。
5.某班学生要栽一批树苗，若每个人分配k棵树苗，则剩下38棵；
若每个学生分配9棵树苗，则还差3棵，那么这个班共有学生。
6.已知三个合数A，B，C两两互质，且ABC=1101128，那么ABC的
◊
▽
☆
41?
37
最大值为。
3650
7.方格中的图形符号“◊”，“O”，“▽”，“☆”代表填入方格
内的数，相同的符号表示相同的数。
如图3所示，若第一列，第三列，第二行，第四行的四个数的和分别为36,50，41,37,则第三行的四个数的和是。
8.已知1+2+3+,,+n（n>
2）的和的个位数为3,十位数为0,则n的最小值为。
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9.六个分数1,,,,1,1的和在哪两个连续自然数之间?
23571113
10.2009年的元旦是星期四，问：
在2009年，哪几个月的第一天也是星期四?
哪几个月有5个星期日？
11.已知a,b,c是三个自然数，且a与b的最小公倍数是60,a与c的最小公倍数是270。
求b与c的最小公倍数。
12.在51个连续的奇数1,3,5,,,101中选取k个数，使得他们的和为1949,那么k的最大值是多少？
三、解答下列各题（每小题15分，共30分,要求写出详细解答过程）
13.如图4所示，在梯形ABCD中，AB//CD，对角线AC,BC相交于点0。
已知AB=5,CD=3,且梯形ABCD的面积为4,求三角形OAB的面积。
图4
14.在图5所示的乘法算式中，汉字代表1至9这9个数字，不同汉字代表不同的数字。
若“祝”字和“贺”字分别代表数字“4”和“8”，求出“华杯赛”所代表的整数。
祝贺华杯赛二第十四届
图5
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