第1114届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题Word文件下载.docx

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第1114届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题Word文件下载.docx

问蚂蚁甲追上蚂蚁乙一共多少次?

(包括结束时刻)。

11.如图5,ABCD是矩形,BC=6cm,AB=10cm,AC和BD是对角线。

图中的阴影部分以CD为轴旋转一周,则阴影部分扫过的立体的体积是多少立方厘米?

(n取3.14)

12.将一根长线对折后,再对折,共对折10次,得到一束线。

用剪刀将这束线剪成10等份,问:

可以得到不同长度的短线段各多少根?

三、解答下列各题,要求写出详细过程。

(每题15分,共30分)

13•华罗庚爷爷在一首诗文中勉励青少年:

“猛攻苦战是第一,熟练生成百巧来,勤能补拙

是良训,一分辛苦一分才。

”现在将诗文中不同的汉字对应不同的自然数,相同的汉字对应相同的自然数,并且不同汉字所对应的自然数可以排列成一串连续的自然数。

如果这28个

自然数的平均值是23,问“分”字对应的自然数的最大可能值是多少?

14.一根长为L的木棍,用红色刻度线将它分成m等份,用黑色刻度线将它分成n等份(m>

n)。

(1)设X是红色与黑色刻度线重合的条数,请说明:

X+1是m和n的公约数;

(2)如果按刻度线将该木棍锯成小段,一共可以得到170根长短不等的小棍,其中最长的

小棍恰有100根。

试确定m和n的值。

第十二届全国华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小学组)

(时间2007年4月21日10:

00〜11:

30)

(市)、区学校姓名考号

一、填空(每题10分,共80分)

1、华”、杯”、赛”三个字的四角号码分别是2440”、4199”和3088”,将华杯赛”的编码取为244041993088'

如果这个编码从左起的奇数位的数码不

变,偶数位的数码改变为关于9的补码,例如:

0变9,1变8等,那么华杯赛”新的编码是。

123

2、计算:

[20.75+(3.74—22)925]41.75=。

3、如图1所示,两个正方形ABC和DEF的边长都是整数厘米。

点E在线段CD

上,且CE<

D吕线段CF=5厘米,则五边形ABCF的面积等于方厘米。

10厘米

13121

—■■■■

4、将250、40、0.523、0.523、0.52从小到大排列,第三个数是。

5、图2a是一个密封水瓶的切面图,上半部为圆锥状,下半部为圆柱状,底

面直径都是10厘米,水瓶高度是26厘米,瓶中液面的高度为12厘米。

将水瓶倒置后,如图2b,瓶中液面的高度是16厘米,则水瓶的容积等于方厘米。

(取二=3.14,水瓶壁厚不计)

一列数是按以下条件确定的:

第一个是3,第二个是6,第三个是18,以后每一个数是前面所有数的和的2倍,则第六个数等于从这列数的第

数开始,每个都大于2007。

7、一个自然数,它的最大的约数和次大的约数的和是111,这个自然数是

O

8、用一些棱长是1的小正方体码成一个立体,从上向下看这个立体,如图3,从正面看这个立体,如图4,则这个立体的表面积最多是。

二、简答下列各题(每题10分,共40分,要求写出简要过程)

9、如图5,在三角形ABC中,点D在BCt,且/ABG=/ACB/ADC^ZDAQ

/DAB=21°

,求ZABC勺度数;

并且回答:

图中哪些三角形是锐角三角形。

10、李云靠窗坐在一列时速60千米的火车里,看到一辆有30节车厢的货车迎面驶来,当货车车头经过窗口时,他开始记时,直到最后一节车厢驶过窗口时,所记的时间是18秒。

已知货车车厢长15.8米,车厢间距1.2米,货车车头长10米问货车行驶的速度是多少?

11、图6是一个99的方格图,由粗线隔为9个横竖各有3个格子的小九宫”格,其中,有一些小方格填有1至9的数字。

小青在第4列的空格中各填入了一个1至9的自然数,使每行、每列和每个小九宫”格内的数字都不重复,然后小青将第4列的数字从上向下写成一个9位数。

请写出这个9位数,并且简单说明理由。

12、某班一次数学考试,所有成绩得优的同学的平均分数是95分,没有得优的同学的平均分数是80分。

已知全班同学的平均成绩不少于90分,问得优的同学占全班同学的比例至少是多少?

、详答下列各题(每题15分,共30分,要求写出详细过程)

括等边三角形)?

个正六边形的各顶点。

问图中共有多少个等腰三角形(包

14、圆周上放置有7个空杯子,按顺时针方向依次编号为1,2,3,4,5,6,7。

小明首先将第1枚白色棋子放入1号盒子,然后将第2枚白色棋子放入3号盒子,再将第3枚白色棋子放入6号盒子,,,,放置了第k—1枚白色棋子后,小明依顺时针方向向前数了k—1个盒子,并将第k枚白色棋子放在下一个盒子中,小明按照这个规则共放置了200枚白色棋子。

随后,小青从1号盒子开始,按照逆时针方向和同样的规则在这些盒子中放入了300枚红色棋子。

请回答:

每个盒子各有多少枚白色棋子?

每个盒子各有多少枚棋子?

答案

、填空

1.解:

偶数位自左至右依次为4、0、1、9、0、8,它们关于9的补码自左至右依次为

9、1,所以“华杯赛”新的编码是:

254948903981

8、0、

25

2.解:

0.5

3.解:

5、9、

原式=[20.75+1.24X1:

:

;

]-41.75=[20.75+0.125]-41.75=20.875-41.75=

CF=5,又CD和DF都是整数,根据勾股定理可知CE=3,DF=4,CD=7,

42+73+1x4x3

所以五边形ABCFG勺面积为:

j=16+49+6=71(平方厘米)

■■■■13121

0^2<

0523<

—<

4.解:

一.=0.524,胡=0.525,所以:

.11,第三小的

131

21

5.解:

如果将瓶中的液体取出一部分,使正立时高度为这时瓶中的液体刚好为瓶的容积的一半,的圆柱的体积,即瓶的容积是:

11厘米,则倒立时高度为15厘米,

所以瓶的容积相当于一个高22厘米(底面积不变)

3.14X

10>

X22=1727(立方厘米)

6,第三个是18,第四个是(3+6+18)X2=54,

6.解:

这列数的第一个是3,第二个是

第五个是(3+6+18+54)X2=162,第六个是(3+6+18+54+162)X2=486

设这列数的第一个为a,则第二个为2a,第三个为6a=2X3Xa,第四个为18a=2X「Xa,

第五个为54a=第六个为162a=2X二Xa,第n个为2x1'

Xa,因为a=3,所以第n

个数也可写作2X「「,即从第三个数起,每个数是前一个数的3倍。

2007-486>

3,而

2007-3V9,可知从第8个数起,每个数都大于2007.

7.解:

因为111是奇数,而奇数=奇数+偶数,所以所求数的最大约数与次大约数必为一奇一偶。

而一个数的最大约数是其自身,而一个数如有偶约数此数必为偶数,而一个偶数的次

大约数应为这个偶数的[,设这个次大约数为a,则最大约数为2a,a+2a=111,求得a

=37,2a=74,即所求数为74.

8.解:

根据所给视图,可画出这个立体的直观图如下:

可知,上下面积为8X2=16(平方厘米),前后面积为8X2=16(平方厘米),左右面积为8X2=16(平方厘米),此立体的表面积共48平方厘米.

二、简答下列各题

9.解:

I/DACFZADCFZC=,而/DAC=ZADC=ZB+21,/B=ZC,

•••3X/B+21°

=180°

•••/B=46°

/DAC=46°

+21°

=67°

/BAC=67°

=88°

•△ABC和△ADC都是锐角三角形.

10.解:

客车速度为

60千米/小时,18秒钟通过的路程为:

千二

=300(米)

货车长为(15.8+1.2)X30+10=520(米)

18秒钟货车通过的距离为520-300=220(米)

220x3600

货车速度为二二二=44(千米/小时)

11.解:

7

5

3

1

6

2

9

4

8

g

S

用(a,b)表示第a行第b列的方格,第4列已有数字1、2、3、4、5,第6行已有数字6、7、9,所以方格(6,4)=8;

第3行和第5行都有数字9,所以(7,4)=9;

正中的“小九宫”中已有数字7,所以只能是(3,4)=7;

此时,第4列中只余(5,4),这一列只有数字6未填,所以(5,4)=6。

所以,第4列的数字从上向下写成的9位数是:

327468951.

12.解:

为使全班同学的平均分达到90分,需将2名得优的同学和1名没得优的同学匹配为

一组,即得优的同学至少应为没得优同学的2倍,才能确保全班同学的平均分不低于90分,

所以得优同学占全班同学的比例至少是:

.

三、详答下列各题

13.解:

bcd

首先按是否是等边三角形分类,图a、图b、图c中有3类等边三角形,红色的有6个,蓝

色的有6个,黄色的有2个,共14个等边三角形。

图d中有3类非等边的等腰三角形,绿色的有6个,紫色的有6个,棕色的有12个,共24个。

所以共有等腰三角形(包括等边三角形)为38个.

14.解:

依顺时针方向不间断地给这7个盒子编号,则1号盒子可有的号数为1、8、15、,7k+1;

2号盒子可有的号数为2、9、16、,7k+2;

;

7号盒子可有的号数为7、14、21、,7k+7

(k为整数)。

根据规则,小明将第1枚棋子放入1号盒子,将第2枚棋子放入3号盒子,将第3枚棋子放入6号盒子,将第4枚棋子放入10号即3号盒子,将第5枚棋子放入15号即1号盒子,将第6枚棋子放入21号即7号盒子,将第7枚棋子放入28号即7号盒子,按照这个规律,从第8枚棋子开始,将重复上述棋子放入的盒子,即第8枚放入1号盒子,第9枚放入3号盒

子,,,也就是每7枚棋子为一个周期。

并且这7枚棋子有2枚放入1号盒子,有2枚放入3号盒子,有2枚放入7号盒子,有1枚放入6号盒子,2、4、5号盒子未放入棋子。

各盒子中的白子数目如下表。

200=7X28+4,经过28次循环后,第197枚棋子放入1号盒子,第198枚棋子放入3号盒子,第199枚棋子放入6号盒子,第200枚棋子放入3号盒子。

在小青逆时针放子时,我们依逆时针方向给盒子不间断编号,同样地每7枚棋子为一个周期,

300=7X42+6,可以求出各盒子中的红子数目如下表。

盒子编号

白子

57

58

29

56

红子

86

85

43

棋子总数

143

101

115

第十三届“华罗庚金杯”少年组数学邀请赛决赛试卷(小学组)

姓名成绩

一•填空(每题体10分,共80分)

6401494014一

1.计算:

2-

3401434014--

2.林林倒满一杯纯牛奶,第一次喝了1,然后加入豆浆,将杯子斟满并搅拌均匀,

第二次,林林又喝了1,继续用豆浆将杯子斟满并搅拌均匀,重复上述过程,那

么第四次后,林林共喝了一杯纯牛奶总量的(用分数表示)。

3.图1是小明用一些半径为1厘米,2厘米,4厘米,和8厘米的圆,半圆,圆弧和一个正方形组成的一个鼠头图案,图中阴影部分的总面积为平方厘米。

4.悉尼与北京的时差是3小时,例如:

悉尼时间12:

00时,北京时间是9:

00。

某日,当悉尼时间9:

15时,小马和小杨分别乘机从悉尼和北京同时出发去对方

所在地,小马于北京时间19:

33分到达北京。

小马和小杨路途上所用时间之比

为7:

6,那么小杨到达悉尼时,当地时间是

5.将六个自然数14,20,33,117,143,175分组,如果要求每组中的任意两个数都互质,则至少需要将这些数分成组。

6.对于大于零的分数,有如下4个结论:

1两个真分数的和是真分数;

2两个真分数的积是真分数;

3一个真分数与一个假分数的和是一个假分数;

4一个真分数与一个假分数的积是一个假分数。

其中正确结论的编号是。

7.记A=1+3+7+15+,+1023,那么比A小的最大自然数是。

248161024

8.黑板上写着1至2008共2008个自然数,小明每次擦去两个奇偶性相同的数,

再写上它们的平均数,最后黑板上只剩下一个自然数,这个数可能的最大值和最小值的差是。

•解下列各题(每题10分,共40分,要求写出简要过程)

9.小李应聘某公司主任职位时,要根据下表回答主任的月薪是多少,请你回答这个问题。

职位

会计与出纳

出纳与秘书

秘书与主管

主管与主任

主任与会计

月薪和

3000元

3200元

4000元

5200元

4400元

10.请将四个4用四则运算符号、括号组成五个算式,使它们的结果分别等于5,

6,7,8,9。

11.图2中,ABC床口CGE是两个正方形,AG和CF相交与H,已知CH等于CF的三分之一,三角形CHG勺面积等于6平方厘米,求五边形ABGEF勺面积。

12.设六位数abcdef满足fabcde-fabcdef,请写出所有的这样的六位数

三•解答下列各题(每题15分,共30分,要求写出详细过程)

13.

北一奥运会京-梦想成真

甲乙两人沿一个周长400米的环形跑道匀速前进,甲行走一圈需4分钟,乙行走一圈需7分钟,他们同时同地同向出发,甲走完10圈后,改为反向行走,出发后,每一次甲追上乙或和乙迎面相遇时,二人都击掌示意。

问:

当二人第15次击掌时,甲共走了多长时间?

乙走了多少路程?

14.右图是一个分数等式:

等式中的汉字代表数字1,2,3,

4,5,6,7,8和9,不同的汉字代表不同的的数字。

如果

“北”和“京”分别代表1和9.请写出“奥运会”所代表的所有的三位整数,并说明理由

一、填空

题号

9C806C9A寸9寸L$二/卜乂H般2・盘0LLdp<

99fefr----"

Lt,111

寸99CXI0LLLLLLL-—CXIL

9・6寸—LL

6m0L

1^0062—6

wsd

LOooCXI

co

CO

OCXI

s

T~

00

LO

CM

w

第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A(小学组)

(时间:

2009年4月11日10:

00~11:

30)

填空题(每小题10分,共80分)

200820072009200920082010

20082009-1

20092010-1

2009位数

(从左往右数)上的数字组

1.计算:

个。

2•如图1所示,在边长为1的小正方形组成的44方格图中,有25个格点,在以格点为顶点的直角三角形中,两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有

图1

.将七位数“1357924”重复写287次组成一个“13579241357924”删去这个数中所有位于奇数位

成一个新数,再删去新数中所有位于奇数位上的数字,按上述方法一直删下去直到剩下一个数字为止,则最后剩下的数字是。

|

A\EB

4.

F图2

如图2所示,在由七个同样的小正方形组成的图形中,直线I将原图形分为面积相等的两部分,I与AB的交点为E,与CD的交点为F,若线段CF与线段AE的长度之和为91厘米,那么小C正方形的边长是米。

5.某班学生要栽一批树苗,若每个人分配k棵树苗,则剩下38棵;

若每个学生分配9棵树苗,则还差3棵,那么这个班共有学生。

6.已知三个合数A,B,C两两互质,且ABC=1101128,那么ABC的

41?

37

最大值为。

3650

7.方格中的图形符号“◊”,“O”,“▽”,“☆”代表填入方格

内的数,相同的符号表示相同的数。

如图3所示,若第一列,第三列,第二行,第四行的四个数的和分别为36,50,41,37,则第三行的四个数的和是。

8.已知1+2+3+,,+n(n>

2)的和的个位数为3,十位数为0,则n的最小值为。

二、解答下列各题(每题10分,共40分,要求写出简要过程)

9.六个分数1,,,,1,1的和在哪两个连续自然数之间?

23571113

10.2009年的元旦是星期四,问:

在2009年,哪几个月的第一天也是星期四?

哪几个月有5个星期日?

11.已知a,b,c是三个自然数,且a与b的最小公倍数是60,a与c的最小公倍数是270。

求b与c的最小公倍数。

12.在51个连续的奇数1,3,5,,,101中选取k个数,使得他们的和为1949,那么k的最大值是多少?

三、解答下列各题(每小题15分,共30分,要求写出详细解答过程)

13.如图4所示,在梯形ABCD中,AB//CD,对角线AC,BC相交于点0。

已知AB=5,CD=3,且梯形ABCD的面积为4,求三角形OAB的面积。

图4

14.在图5所示的乘法算式中,汉字代表1至9这9个数字,不同汉字代表不同的数字。

若“祝”字和“贺”字分别代表数字“4”和“8”,求出“华杯赛”所代表的整数。

祝贺华杯赛二第十四届

图5

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