高中函数专题复习docWord下载.docx
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定义域、对应关系和值域
3,区间的概念
（1）区间的分类：
开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间;
4,映射的定义
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都冇唯一确定的元素y与Z对应，那么就称对应f：
ATr为从集合A到集合B的一个映射，记作“f：
ATb”
说明：
（1）这两个集合冇先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的.其中f表示具体的对应法则；
（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：
一是必有一个；
二是只有一个，也就是说有H.只有一个的意思。
例题：
下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？
（1）A=｛P|P是数轴上的点｝,B二R,对应关系f：
数轴上的点与它所代表的实数对应;
（2）A=｛P|P是平面直角体系中的点｝,B=｛（x,y）|xER,yeR｝,对应关系f：
平面直角体系中的点与它的坐标对应；
（3）A=｛三角形｝,B=｛x|x是圆｝,对应关系f：
每一个三角形都对应它的内切圆；
（4）A=｛x|x是新华中学的班级｝,B=｛x|x是新华中学的学生｝,对应关系f：
每一个班级都对应班里的学生。
注：
函数是一种特殊的映射！
即非空数集间的映射。
5,函数的表示方法
（1）解析法：
必须注明两数的定义域；
（2）图彖法：
是否连线；
（3）列表法：
选取的自变虽要冇代表性，应能反映定义域的特征。
6,函数定义域的求法
法则：
A,分式的分母不能为0；
B,偶次方根根号下不能为负；
C,对数的真数部分必须大于0,如果对数函数的底数中也含冇自变量，则底数大于0且不等于1;
D,指数函数的底数大于0且不等于1；
E,正切函数，余切函数，正割函数，余割函数，他们本身对定义域的限制；
F,由有限函数的四则运算得到的函数的，其定义域为这冇限个函数的定义域的交集;
G,由实际问题建立的隊I数，具定义域受具休条件限制。
例1,解不等式10g2[l+丄]V1
\兀一1丿
7,函数值域的求法
（1）配方法
例，求/（x）=22x+,-2x+24-3的值域。
（2）换元法
例，同上例
（3）判別式法
例，求函数沪肘的值域。
（4）利用均值不等式
X
例，求函数y=-f—的值域
yjX~\
（5）反函数法
r2_1
例1,求函数）U—的值域
F+1
例2,求函数y=（2x+2）2的值域
8,函数表达式的求法
（1）待定系数法：
在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例设/（兀）是一次函数,fi/[/（x）]=4x+3,求/（兀）
（2）配凑法：
已知复合函数/[§
（%）]的表达式，求/（兀）的解析式，f[gM]的表达式容易配成g（x）的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数/（x）的定义域不是原复合函数的定义域，而是g（x）的值域。
例已知/（x+-）=x2+-^（x>
0）,求/（兀）的解析式
XX
（3）换元法：
已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求/（兀）的解析式。
与配凑法一样，耍注意所换元的定义域的变化。
例已知/（J7+1）=兀+2伍，求/（%+1）
（4）代入法：
求已知函数关丁某点或者某条直线的对称函数时，般用代入法。
例已知：
函数y=x2+x与y=g（x）的图象关于点（-2,3）对称，求g（x）的解析式
（5）构造方程组法：
若已知的函数关系较为抽象简约，则町以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
例设/（兀）满足/a）—2/（b=兀,求/（兀）
例设/（兀）为偶函数,g（兀）为奇函数,又/（兀）+g（兀）试求/（兀）和g（%）的解析式X-}
（6）赋值法：
当题屮所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例已知：
/（0）=1,对于任意实数x、y,等式f（x-y）=f（x）-y（2x-y-^l）恒成立，
求f（x）o
（7）递推法：
若题屮所给条件含有某种递进关系，则町以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。
例设/（X）是定义在川+上的函数，满足/
（1）=1，对任意的自然数都冇
/（a）+/（b）=f（a+b）-ab,求/（x）
典型例题：
I,已知函数y=f（x）的定义域是[0,1],求函数g（兀）=/*（兀+。
）+于（兀-的定义域。
2,己知函数y=空二!
•的值域是{y|y<
0}u{y|y>
3},求此函数的定义域。
x-l
3'
函数尸忌尸的定义域是
4,己知a〉0且gl，若关于兀的方nlog.（x-3）-log,（x+2）-log,（x-1）=1有实根,求d的取值范围。
5,对于定义域为实数集R的函数/（对二一一@为常数），回答下而问题。
X1
（1）若/
（1）=—,贝iJq=；
（2）若函数的值域为{y|-4<
y<
l},求。
=?
6,已知/（3兀+1）=4兀+3,求/（兀）°
7,已知/（兀）为一次函数且/[/（x）]=4x-3,求/（x）o
10,/（兀）表示兀+1与x2-1—者中的较大者,求/（兀）的表达式。
11,求函数y二2兀一3—丁13—4兀的值域。
5（）r
12,设丿=旦罕（兀＞0）,求函数的最大值。
1+JT
13,
/（X）表示兀+1与兀2_1二者中的较大者,求/（兀）的表达式。
函数的单调性与奇偶性
知识要点
1,增函数
一般地，设函数y二f（x）的定义域为I,
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个口变量X],X2，当x,<
x2时，都有f（x,）<
f（x2）,那么就说f（x）在区间D上是增函数。
思考：
仿照增函数的定义说出减函数的定义。
①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
©
必须是对于区间D内的任意两个自变量Xj,X2；
当Xj<
X2时，总冇f（Xj）<
f（X2）0
2,函数的单调性定义
如果函数y=f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间：
3,判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
①任取X[,x2^D,.n.X|<
X2；
®
作差f（Xi）-f（x2）；
变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f（xj—f（X2）的正负）；
下结论（即指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）.
4,单调性的运算法则
A,设C为常数，A是函数/（兀）的一•个单调区间，贝I」
当C>
0时,0*（%）与/（对在A上单调性相同;
当CvO时，Cf（x）与/（x）在A上单调性相反。
B,A是函数/（兀）的一个单调区间,且在A上/（兀）H0,则丿匚与/（兀）的单调性相反。
f（x）
C,若于（对与g（x）在区间A上恒为正且均为递增函数则/（x）q?
（x）在A上也单调递增
D,复合函数的单调性：
设y二f（u）上=鸭（兀）且当代人时底B则复合函数的单调性/（0（兀））的单调性表示为：
若）=f（u）,u=y/（x）单调性相同，则歹=/（0（兀））为单
调增函数，否则为减函数。
5,偶函数
一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x,都有f（—x）=f（x）,那么f（x）就叫做偶函数.
仿照偶函数的定义给出奋函数的定义
a,函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
b,由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任
意一个X,则一X也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
c,/（X）若既是奇函数又是偶函数，则/（x）=0,反过来，不一定成立。
如/（x）=0（-l<
%<
2）就不是。
6,具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；
奇函数的图象关丁•原点对称。
典型例题
1,讨论函数在区间（-1,1）的单调性。
3,若不等式x2+or+l>
0对一切xg（0,1］成立，求a的最小值。
且x>
0吋,
4,已知十（兀）的定义域为R,且对任意的兀,y都有/（x+y）=/（x）/（y）,
/（x）>
1o求证：
函数y=/（x）在R上单调递增。
x2,（x>
1）
5,
已知分段函数/（兀）=|兀,（-1S51）,判断它的奇偶性。
_北~,（兀v_1）
7,定义在R上的偶函数/（x）满足：
对任意的xpx26（-8,0]（兀|工兀2），有
（兀2—兀|）./*（兀2）_•广（兀1）]>
0，则当nwN*,比较/（-/?
）,/（,?
+!
）的大小。
8,已知/（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（―,0）±
是单调递增函数，若
（2/+a+1）v/（3/_2a+1）,求实数g的取值范围。
2x
9,己知/（%）=—^（氏/?
）,讨论函数/（兀）的性质,并作出图像。
1H"
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