高考数学培优专题第12讲立体几何中球的综合问题.docx
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高考数学培优专题第12讲立体几何中球的综合问题
第十二讲立体几何中球的综合问题
A组
一、选择题
1.(2018年高考全国卷I)已知圆柱的上、下底面的中心分别为。
。
2,过直线的平
而截该圆柱所得的截而是面积为8的正方形,则该圆柱的表而积为()
【答案】B【解析】•:
过直线。
02的平面截该圆柱所得"的截而是面积为8的正方形,所以圆柱的高为2点,底而圆的直径为2点,所以该圆柱的表面积为2x/rx(J5y+2jI/rx2应=12)・故选B.
2.三棱柱ABC-A4G的各个顶点都在球O的球面上,且AB=AC=1,8C=五,CC、1
平面A8C。
若球。
的表面积为3万,则这个三棱柱的体枳是()
11
A.—B.—
63
C.-D.1
2
【答案】C
【解析】\'AB=AC=lBC=>/2,:
.ABlAC/.CC[l.平而ABC,三棱柱ABC-A^C.内接球。
,二。
为距形BCC^的中心,设球。
半径为r,则4江,=3况.二r=正,即OC=r=正,.•.三棱柱的高。
=2J/一('8C]=1,.•.三棱
22\U)
柱的体积^=5»吹•力=’xlxlxl=1,故选C。
22
3.球。
的球面上有四点S,A8,C,其中。
48,。
四点共而,AABC是边长为2的正三
角形,而S43_L面ABC,则棱锥S—43c的体积的最大值为()
A.去B.>/3C.2耳D.4
【答案】A
【解析】设球心和AA8C的外心为。
,延长CO交AB于点P,则由球的对称性可知PD±AB.继而由而548_1_而43c可得尸O_LAA8C所在的平面,所以尸。
是三棱锥的高;再由。
ARC四点共而可知。
是AABC的中心,故。
尸二个二r二至上,当三棱锥的体积最大时,其高为P。
=j(2£)2-(E)2=1,故三棱锥的体积的最大值为
—x^-x22x1=,应选A。
343
4.如图所示,直四棱柱ABC。
—A4GA内接于半径为3的半球。
,四边形A5CO为正方形,则该四棱柱的体枳最大时,43的长为()
A.1b.'2C.>/3d,2
【答案】D
【解析】设AB=x,则08==尤叫二:
一建,所以直四棱柱的体积为JIJ
V=x2J3--x2,令J3--X2=f,则%2=6—2/,则1/=(6—2〃)/=一2产+6,,故
V'=一6/+6=-6«-1)(1+1),所以当,=1时,即1=2时,体积V最大.故应选D.
5.在正三棱锥S—A8C中,〃是SC的中点,且AMJLS3,底面边长A3=2五,则
正三棱锥S-ABC的外接球的表而积为()
A.67B.12乃C.327rD.36万
【答案】B
【解析】根据三棱锥为正三棱锥,可证明出AC_LSB,结合SB_LAM,得到SBJ_平面SAC,因此可得SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直.最后利用公式求出外接圆的直径,结合球的表而积公式,可得正三棱锥S-ABC的外接球的表面积.
取AC中点,连接BN、SN,・.・N为AC中点,SA=SC,/.AC±SN,
同理AC_LBN,VSNABN=N,.・.AC_L平而SBX,
\・SBu平而SBX,AAC1SB,YSB_LAM且ACHAM=A,
...SBJ_平面SAC=>SB±SA且SB±AC,
•・•三棱锥S-ABC是正三棱锥,
ASA.SB、SC三条侧棱两两互相垂直.
•・•底面边长AB=2",侧棱SA=2,
•••正三棱锥S-ABC的外接球的直径为:
2R=2也,:
.R=6
••.正三棱锥S-ABC的外接球的表面积是S=4M?
2=i2/r,故选:
B.
二、填空题
6.(2017年天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正“方体的表面积为
18,则这个球的体积为.
■七心.9兀
【答案】—
2
【解析】设正方体边长为。
,则6/=18="=3,
l414279
外接球直径为2R==3,V=—成’=—兀x——=—7i.
3382
7.底面是同一个边长为。
的正三角形的两个三棱锥内接于同一个球,它们顶点的连线为球的直径且垂直于底而,球的半径为R。
设两个三棱锥的侧而与底面所成的角分别为。
、),
则tan(a+4)的值是。
……4框R
【答案】一二一.
3a
【解析】如下图所示,右图为左图的纵切面图.
故ZSDA和ZMDA即为二面角a和夕;
设SM交平而ABC于点P,易知P点在AD上,且为“IBC的重心.
SM=2R,AB=a,AD=a,PA=—x—a=-a,PD=-x—a=a,2323326
3n七I。
"tana+tan/7_PDPD_一P>SM一6一一4属
—叫]".第_]_叫竺一尸0』尸.加p一p02_P片一二且一3aPDPDII"T
8.已知三棱锥P—A3C的所有棱长都相等,现沿尸AP&PC三条侧棱剪开,将其表面展
开成一个平面图形,若这个平面图形外接圆的半径为27%,则三棱锥尸-ABC的内切球的表面积为:
【答案】3万
【解析】三棱锥P-43C展开后为等边三角形,设边长X,则」一=2・2而,则x=6贬sinA
因此三棱锥P—43C的棱长为3人,三棱锥P—A5C的高2行,设内切球的半径为,
PIO4x-xrxS.,HC=—S....cx2y/3,:
.r=—,求的表面积S=4%」=3万.
3am匕3Jl/ioco
9.已知球。
的表面上有P.A3.C四点,且两两互相垂直,若PA=PB=PC=u,求这个球的表面积和体积
解:
设过0.48的平面截球所得截面圆心为POI与球而另一交点为。
.因为P8_LPA,所以AS是圆O1的直径,且AS=Ja尸+BP,=、易.因为PCJA,PC1PB,所以PC_L平而PAB,又OO1平面PA8,所以OOJ/尸。
.如图,过OO].PC作平而a,则直线。
尸为平而a和平而以8的交线,点O]e尸。
,连
接CO,在圆O中・.・PC_LP£),/CPD为直角,所以CD为圆O的直径,设圆。
的半径为R,
在RtACPD中,CD=ylPC2^PD2=J3a,即2R=方。
,所以/?
=叵,所以2
5j,k=4成,=3加2“球=士冰'=—3
三、解答题
10.棱长为2°〃的正方体容器中盛满水,把半径为k?
〃的铜球放入水中刚好被淹没,然后再放入一个铁球,使它淹没水中,要使流出的水量最多,这个铁球半径应该为多大?
解:
过正方体对角线的截而图如图所示,
AC]=26.AO=V5,AS=AO-OS=Ot.设小球半径为r,
tanZCj/lC=—^=-J2
.・.AS=AQ[+O]S二6—1=扬+r解得厂=(2—石)。
月为所求.
11.过球而上一点P的三条弦PAPB,PC,满足ZAP8=N80C=NCPA=60°,
PA=PB=PC=&,求此球的表面积
解:
由题意知,四面体p-八质:
是球的内接正四而体.设P'是AABC的中心,则球心O在PP上.如图,连接OCPP,设球半径为x,则OP=OC=x,在自AOPC中,OP=PP-x而
PP'=^PC2-PC1=^6-(^xV6)2=2,故
33
OP=2-x,CP,2=2「.『=(2-x)2+2,X=-9表而积为S=4^x(-)2=9%
22
12.将半径为R的四个球,两两相切地放在桌面上,求上而一个球的球心到桌面的距离。
解:
设四个球心分别为ABC,D,则四而体A-BCD是棱长为2R的正四面体,如图所示,过A
作AHJ»面BCD与H,则H为4BCD的中心,连接BH并延长交
CD于M,连接AM.则BM_1CD,AMJ_CD且AM二的R,HM==R,
9rz
所以AH=—R,故上面一球的球心到桌而距离为3
B组
一、选择题
1.已知三棱锥P-A8C,在底面AA3C中,A8=l乙4=60,3C=Q,PA_L而
ABC.PA=26则此三棱锥的外接球的表而积为()
A.B.4/4C.D.16n
33
【答案】D
【解析】底而三角形内,根据正弦定理,可得AC=2,A32+8C2=AC)满足勾股定理,
ZABC=90°,24_L底而ABC,所以PA_L8C,那么BC_L平而PAB,所以8C_LPB,那么直角三角形24cpBC有公共斜边PC,所以三棱锥的外接球的球心就是PC的中点。
,PC是其外接球的直径,PC=4,所以外接球的表而积S=4成2=16乃,故选D.
2.如图,在菱形A8CD中,/84。
=60,A4=26,石为对角线8。
的中点,将
沿8。
折起到好瓦)的位置,若ZPEC=120,则三棱锥P—8CQ的外接球的表面积为
()
A.287B.32万C.16%D.12万
【答案】A
【解析】设M,N分别是等边三角形PBD、CBD的外心,则QN=1,NC=2画出图象如下
图所示,由图象可知,NMQN=120,NOQN=60,故ON=l♦tan60=,
r=oc=>]on2+nc2=VTT4
=币,外接球面积为4ttR2=4%•7=284.
3.已知三棱锥S-ABC,满足SA_LSB,SB±SC,SC1SA,且SA二SB二SC,若该三棱锥外接球的半径为#,Q是外接球上一动点,则点Q到平面ABC的距离的最大值为()
645/3
A.3B.2C.3D.3
【答案】D
【解析】因为三棱锥S-A3C中,SA±SB.SB±SC,SC±SA,且S4=S3=SC,所
以三棱锥的外接球即为以S4,S3,SC为长宽高的正方体的外接球,因为该三棱柱外接球的半径为6,所以正方体的对角线长为2行,所以球心到平而ABC的距离为%¥=£,所以点。
到平面ABC的距离的最大值为、行+4=¥,故选D.
4.已知从点尸出发的三条射线PA,PB,PC两两成60。
角,且分别与球。
相切于4,B,C三点.若球。
的体积为36兀,则。
,尸两点间的距离为()
(A)3>/2(B)3也(C)3(D)6
【答案】B
【解析】连接OP交平面ABC于。
',由题意可得:
A43C和M48为正三角形,所以
。
4=业丝=无竺.因为AO'_LP。
,OA±PA,所以—=—,所以33OAAO'
AD__
OP=OA--=6。
4.又因为球的体积为36万,所以半径。
4=3,所以。
0=36.AOf
二、填空题
5.(2017年新课标I卷)已知三棱锥S—A6C的所有顶点都在球。
的球而上,SC是球。
的直径.若平而SC4
_L平而SC8,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-A8C的体积为9,则球。
的表面积为
【答案】364
【解析】取SC的中点O,连接04,OB,
因为SA=AC,SB=BC,所以OA_LSC,OBISC
因为平面SAC_L平面SBC,所以平而。
4_L平面SBC
设。
4=>所以,所以球的表而积为
【解析】取SC的中点0,连接0A.0B,
因为£4=/C;S3=BC,所以04_LSC;08_LSC.
因为平面SAC_L平面SBC,所以Q4」平面SBC.
设Q4二1/『:
.球=;xSq5sc乂04=:
乂$■乂2yx/乂尸二:
尸
所以:
尸=9n'=3,所以球的表面积为4犷=36万
3
6.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积为止,那么3
这个三棱柱的体积是.
【答案】48>/3
【解析】由题意可得,球的半径为R=2,则正三棱柱的高为力=2R=4,底面正三角形中心到各边的距离为R=2,所以底面边长为46,从而所求三棱柱的体积为V=Sh=乎.(4行)2-4=4873.故正确答案为48JJ.
7.若圆锥的内切球与外接球的球心重合,且内切球的半径为1,则圆锥的体积为.【答案】3乃
【解析】过圆锥的旋转轴作轴截而,得AABC及其内切圆OQ和外切圆。
O?
且两圆同
圆心,即△ABC的内心与外心重合,易得△48C为正三角形,由题意。
。
1的半径为r=l,••.△ABC的边长为2—,.♦.圆锥的底面半径为JT,高为3,.•.V='x/rx3x3=3;r.
3
三、解答题
8.已知棱长为3的正四面体A-BCD,E,F分别是棱AB,AC上的点,且AF=2FC,BE=2AE,求四而体A-EFD的内切球的半径。
解:
如图所示,设四面体A-EFD的内切球半径为r,球心为0,连接0A,0E,0F,0D,则
K1-£FD=^O-AEF+VO-AFD+O-ADE+VO-EH)»四面体A-EFD的各面面积为
373
S^ED='=—,ADEF各边边长分别为
3
EF=V3,DF=DE=V7,
2
-V=_y
•・'A-EFD9vA-BCD
A-EFD=_MSseF+S^AFC+SAED+*^A£>EF)
.•.\2=1厂(\)+上1+2+±2),所以,=亚,故四面体A-EFD的内切球半径为2322448
V6
8
9.已知四面体P-ABC,PA=4,AC=2V7尸B=BC=2^/J/A_L而PBC,求四面体P-ABC的内切球与外接球面积的比。
解:
由题意,已知。
4J_而PBC,PA=4,AC=2J7,PB=BC=2JJ,如图,由勾股定理得,
43=2、厅,。
。
=2行,所以妙5。
为等边三角形,AABC为等腰三角形,等边三角形PBC
所在小圆的直径尸。
=二^=4,那么四而体P-ABC的外接球直径sin60
I1反
AD=2R=J16+16=4、/1,所以R=2、£,l/p_ABc=—Sy8「PA=—・j・12・4=4V5,
3
表面积5=12、行・4・2+空・12+128・5=168.设内切球半径为r,那么242
4V3=i-16V3r,所以故四面体P-ABC的内切球半径与外接球半径的比34
3
-4-=—.即表面积之比为2。
2拒1616
10.球与正四而体的六条棱都相切,则球与正四面体的体积比是多少?
解:
如图,设正四而体棱长为“,球半径为R,取AB中点E,CD中点F,连接AF,
BF,EF,则AF=BF=,:
环_LA3,同理可得2
石/_LCD,.•.石尸是AB,CD的公垂线段,则EF的长是
AB.CD的距离,
EF=ylAF-AE?
=l-a2--a2=—a,又由
V442
球与正四面体的六条棱相切,得EF是该球的直径,即
U4H34V23五3p口后
・・4=3"成=.乃.〒〃二右加7,又嚓四而体=77〃
11.已知正三棱锥P-ABC,点PAB工都在半径为的球面上,若PA,PB,PC两两垂直,求正三棱锥P-ABC外接球球心到截面ABC的距离◎
解:
把正三棱锥补成正方体,如图所示,可知外接球球心O为体对角线PD的中点,且PO=JL又P到平面ABC的距
离为/?
,VP-ABC=VB-APC,则
1.11.(2V2)2-//=l-i-2-2.2,,则球心O到
34323
截而ABC的距离为PO=介=E°
一、选择题
1.已知A,3,C三点都在以。
为球心的球面上,04,08,0。
两两垂直,三棱锥O—A5C
4
的体积为一,则球。
的表而枳为()3
【答案】B
【解析】设球的半径为R,由题意。
4=OB=OC=R,可得三棱锥0—ABC体枳,
411
—=—x—/?
2xR,解得R=2,则球的表面积为S=4/rR2=4/rx22=16万,故选B.
332
2.三棱锥尸一48c的四个顶点均在半径为2的球面上,且A8=8C=C4=2#,平面R48_L平而ABC,则三棱锥尸一43c的体积的最大值为()
A.4B.3C.4、/JD.3、/?
【答案】B
【解析】根据题意:
半径为2的球而上,且48=8。
=。
1=20,83。
为截面为大圆上三角形,
设圆形为。
,A3的中点为N,ON=J2・2-3=1,平面产48,平面482,二三棱
锥P—A5C的体积的最大值时,呐,48,9,平面4?
。
,08=jm=3,二三
棱锥P-ABC的体积的最大值为;x$x(26丫x=3.
3.己知四面体A8CD的一条棱长为。
,其余棱长均为2小,且所有顶点都在表面积为20乃的球面上,则。
的值等于()
A.36B.2x/5C.3&D,3
【答案】A
【解析】如图所示的四面体ABCQ中,设AC=a,其余的棱长均为2/,取BO的中点E,
连接AE,CE,则AE=CE=3,又所有顶点都在表面积为20乃的球面上,所以球的半径为R=B球心。
落在线段“上,且痔=,32_(.)2=,9_:
,在直角△OCF中,则O尸+R?
2=R\即(9—2一行)2+
(二)2=62,解得〃=3jJ,故选A.
4.在三棱锥A-3C。
中,AABC与4BCD都是边长为6的正三角形,平而ABCL平而BCD,则该三棱锥的外接球的体积为()
A.5yl\5nB.60kC.60JI5兀
D.20JU兀
【答案】D
【解析】取BC的中点为M,E、F分别是正三角形ABC和正三角形BCD的中心,。
是该三棱锥外接球的球心,连接AM、DM、OF、0E、0M>OB,则E、F分别在AM、DM上,OF«L平面BCD,OE_L平面ABC,OM±BC>AM_LBC,DM±BC,所以NAMD为二而角A—BC—D的平面角,因为平而ABC_L平面BCD,所以AM_LDX,又AM=DM=3j5,所以==,AM二石,所以四
3
边形OEMF为正方形,所以0M=y石,在直角三角形OMB中,球半径
0B=JOA/2+BM?
=J(、石尸+32=,所以外接球的体积为4"[力)-=20、/15兀,故
选D.
5.一个倒圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在容器内注入水,并放入一个半径为旷的铁球,这时水而恰好和球面相切.问将球从圆锥内取出后,圆锥内水平面的高是()
A."
【答案】B
【解析】
如图,作轴截面,设球未取出时,水而高FC=兀,球取出后,水而高阳=送.
:
AC=&,PC-»
则以工£为底面直径的圆锥容积为
一合笳代
二]我(遍吟:
・3尸二3支/,
3
/=7就••
球取出后,水而下降到E冷,水的体积为
匕uLoEH?
.尸H=工乜户Htan30RFH二上招・
女33,9
又‘2=小运专一嚏,则-rF=34三一二懑?
'
93
解得M=而八选B
6.已知三棱锥S—48C所有顶点都在球。
的球而上,且SC_L平面A8C,若
SC=AB=AC=\,ABAC=120°,则球。
的表而积为.
【答案】51
【解析】•••A8=l,AC=l,NB4C=120°,1-2x1x1x(—;)=Q,,三角
后
形ABC的外接圆直径2r=二八。
=2,/.r=l,丁SC_L平面力3cse=LzXQSC为sin120
等腰三角形,,该三棱锥的外接球的半径/?
=Ji+L=q,:
该三棱锥的外接球的表面
V42
积为S=4成2=5乃,因此,本题正确答案是:
5万.
7.三棱锥P—A3C中,A3=Z?
C=JTJ,AC=6,PC_L平面ABC,PC=2,则该三棱锥的外接球表面积为()
25D25「83卜83
A・7TB・7tC.—7rD.7T
3232
【答案】D
由余弦定理得
【解析】由题意得,在AA3C中,因为A3=8C=Ji5,AC=6
2,=鉴=金=当即T所以球的半径为A八明『卷'所以球可
的表面积为5=44/?
°=44乂一=—4,故选。
.
82
8
.半径为R的球内部装有4个半径相同的小球,则小球半径,的可能最大值为().
【答案】C
【解析】四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时,这些小球的半径最大,以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2人该正四而体的中心(外接球球心)就是大球的球心,该正四面体的高为
二、填空题
9.如图,三个半径都是10cm的小球放在一个半球面的碗中,小球的顶端恰好与碗的上沿处
于同于水平面,则这个碗的半径R是cm
1c105/27
【答案】10+——3
【解析】依题意可得碗的球心为o,半径为r.其它三个球的球心分别是q,ae.这四个点
构成了一个正三棱锥,其中侧棱表示两个球内切的圆心距关系.底面长为两个外切求的圆心距.所以。
。
LRT0.。
&=2。
.通过解直角三角形可得g。
+竽.故填
三、解答题
10.有三个球和一个正方体,第一个球与正方体各个面内切,第二个球与正方体各条棱相切,
第三个球过正方体各顶点,求三个球表而积的比。
解:
设正方体棱长为,,,则内切球半径上?
棱切球其直径为正方体各面的对
角线长,则凡=也〃;外接球直径为正方体的体对角线,故&=史〃,所以表而积之2-2
比为「:
(后尸:
(&)2=1:
2:
3。
11.如图所示,已知球0是棱长为1的正方体ABCD-A.B^D,的内切球,求平面ACD1截球0的截面积。
解:
根据正方体的几何特征知,平面AC2截球。
的截而是边长为、反的正三角形,且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形ACR三边的中点,故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积,由图得A4CR的内切圆的半
径为也tan3()o=、5,故所求的截面圆的面积是26
12.已知AB是球0的直径,CQ是球面上的两点,且D在以BC为直径的小圆上,如图所示,设此小圆所在平面为。
,
(1)求证:
平而ACB_L平而a;
(2)设AB与。
所成角为夕,过球半径0D且垂直于。
的截面截BC弦于E点,求AO石。
与经过点0,D的截面面积之比,并求。
为何值时,而积之比最大。
(1)证明:
连接球心。
与小圆圆心由球的性质知,
OQ_L圆面Oi,连接AC,在MAC中,显然有平行
等于白4。
因为_L圆而0「所以AC_L圆面01,又2
ACU而ACB,所以而ACB_L圆面0「即而ACBJ_平面a。
(2)因为而OED_L圆而O],面ACB_L圆而且而
ACBc而ODE=OE,故OE_L圆而,因为001_!
圆而01,所以0-E两点重合,即E为小