课时达标检测合情推理与演绎推理.docx

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课时达标检测合情推理与演绎推理

课时达标检测（六十）合情推理与演绎推理

[练基础小题——强化运算能力]

1．

（1）已知a是三角形一边的长，h是该边上的高，则三角形的面积是ah，如果把扇形的弧长l，半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为lr；

（2）由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2，则

（1）

（2）两个推理过程分别属于（　　）

A．类比推理、归纳推理B．类比推理、演绎推理

C．归纳推理、类比推理D．归纳推理、演绎推理

解析：

选A　

（1）由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；

（2）由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选A.

2．“因为指数函数y＝ax是增函数（大前提），而y＝x是指数函数（小前提），所以y＝x是增函数（结论）”，上面推理的错误在于（　　）

A．大前提错导致结论错

B．小前提错导致结论错

C．推理形式错导致结论错

D．大前提和小前提都错导致结论错

解析：

选A　y＝ax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错误．

3．观察下列各式：

a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝（　　）

A．121B．123C．231D．211

解析：

选B　令an＝an＋bn，则a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝7，…，得an＋2＝an＋an＋1，从而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123.

4．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是________．

解析：

由题图知第1个图形的小正方形个数为1，第2个图形的小正方形个数为1＋2，第3个图形的小正方形个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋4，…，则第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n＝.

答案：

5．在平面几何中：

△ABC中∠C的角平分线CE分AB所成线段的比为＝.把这个结论类比到空间：

在三棱锥ABCD中（如图），DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到类比的结论是_____________________．

解析：

由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得＝.

答案：

＝

[练常考题点——检验高考能力]

一、选择题

1．给出下面类比推理（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：

①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；

②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；

③“a，b∈R，则a－b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0⇒a＞b”；

④“若x∈R，则|x|＜1⇒－1＜x＜1”类比推出“若z∈C，则|z|＜1⇒－1＜z＜1”．

其中类比结论正确的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

解析：

选B　类比结论正确的有①②.复数不能比较大小，③④错误．

2．已知“整数对”按如下规律排成一列：

（1,1），（1,2），（2,1），（1,3），（2,2），（3,1），（1,4），（2,3），（3,2），（4,1），…，则第60个“整数对”是（　　）

A．（7,5）B．（5,7）C．（2,10）D．（10,1）

解析：

选B　依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n＋1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，注意到＜60＜，因此第60个“整数对”处于第11组（每个“整数对”的和为12的组）的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：

（1,11），（2,10），（3,9），（4,8），（5,7），…，因此第60个“整数对”是（5,7）．

3．观察下列各式：

55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625，59＝1953125，……，则52016的末四位数字为（　　）

A．3125B．5625

C．0625D．8125

解析：

选C　55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625，59＝1953125，……，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m＋4k与5m（k∈N*，m＝5,6,7,8）的后四位数字相同，又2016＝4×502＋8，所以52016与58的后四位数字相同，为0625，故选C.

4．若数列{an}是等差数列，则数列{bn}也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为（　　）

A．dn＝

B．dn＝

C．dn＝

D．dn＝

解析：

选D　若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋（n－1）＝c·q，∴dn＝＝c1·q，即{dn}为等比数列，故选D.

5．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：

他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（　　）

A．289B．1024

C．1225D．1378

解析：

选C　观察三角形数：

1,3,6,10，…，记该数列为{an}，则a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…an＝an－1＋n.∴a1＋a2＋…＋an＝（a1＋a2＋…＋an－1）＋（1＋2＋3＋…＋n），∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝，观察正方形数：

1,4,9,16，…，记该数列为{bn}，则bn＝n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1225.

6．某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末（周六和周日）不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是（　　）

A．今天是周六B．今天是周四

C．A车周三限行D．C车周五限行

解析：

选B　因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E车明天可以上路，E车周四限行，所以今天不是周三；因为B车昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因为A，C两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四，选B.

二、填空题

7．对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，观察下列等式：

[]＋[]＋[]＝3，

[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝10，

[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝21，

……

按照此规律第n个等式的等号右边的结果为________．

解析：

因为[]＋[]＋[]＝1×3，[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝2×5，[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝3×7，……，以此类推，第n个等式的等号右边的结果为n（2n＋1），即2n2＋n.

答案：

2n2＋n

8．如果函数f（x）在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f.若y＝sinx在区间（0，π）上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．

解析：

由题意知，凸函数满足

≤f，

又y＝sinx在区间（0，π）上是凸函数，则sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝3sin＝.

答案：

9．设函数f（x）＝（x>0），观察：

f1（x）＝f（x）＝，

f2（x）＝f（f1（x））＝，

f3（x）＝f（f2（x））＝，

f4（x）＝f（f3（x））＝，

……

根据以上事实，由归纳推理可得：

当n∈N*且n≥2时，fn（x）＝f（fn－1（x））＝________.

解析：

根据题意知，各式中分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…，可知fn（x）的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n－1，故fn（x）＝f（fn－1（x））＝.

答案：

10.如图，将平面直角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签：

原点处标0，点（1,0）处标1，点（1，－1）处标2，点（0，－1）处标3，点（－1，－1）处标4，点（－1,0）处标5，点（－1,1）处标6，点（0,1）处标7，依此类推，则标签为20172的格点的坐标为________．

解析：

因为点（1,0）处标1＝12，点（2,1）处标9＝32，点（3,2）处标25＝52，点（4,3）处标49＝72，依此类推得点（1009，1008）处标20172.

答案：

（1009,1008）

三、解答题

11．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：

＝＋.在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？

并说明理由．

解：

如图所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴＝

＝＝.

又BC2＝AB2＋AC2，

∴＝＝＋.

猜想，在四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则＝＋＋.

证明：

如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.

∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，

∴AB⊥平面ACD.

∵AF⊂平面ACD，

∴AB⊥AF.

在Rt△ABF中，AE⊥BF，

∴＝＋.

∵AB⊥平面ACD，

∴AB⊥CD.

∵AE⊥平面BCD，

∴AE⊥CD.又AB∩AE＝A，

∴CD⊥平面ABF，

∴CD⊥AF.

∴在Rt△ACD中＝＋，

∴＝＋＋.

12．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；

②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；

③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；

④sin2（－18°）＋cos248°－sin（－18°）cos48°；

⑤sin2（－25°）＋cos255°－sin（－25°）cos55°.

（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

（2）根据

（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

解：

（1）选择②式，计算如下：

sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°

＝1－＝.

（2）三角恒等式为

sin2α＋cos2（30°－α）－sinα·cos（30°－α）＝.

证明如下：

sin2α＋cos2（30°－α）－sinα·cos（30°－α）

＝sin2α＋（cos30°cosα＋sin30°sinα）2－sinα·（cos30°cosα＋sin30°sinα）

＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α

＝sin2α＋cos2α＝.

课时达标检测（三十一）等比数列及其前n项和

[练基础小题——强化运算能力]

1．（2017·湖北华师一附中月考）在等比数列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝（　　）

A．1B．±1

C．2D．±2

解析：

选A　因为数列{an}是等比数列，所以a2a3a4＝a＝8，所以a3＝2，所以a7＝a3q4＝2q4＝8，所以q2＝2，则a1＝＝1，故选A.

2．（2017·安徽皖江名校联考）已知Sn是各项均为正数