精编国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务16试题及答案Word格式文档下载.docx
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一阶微分方程的初等解法中把微分方程的求解问题化为了积分问题，这类初等解法是，与我们生活中的实际问题密切相关的值得我们好好探讨。
在高阶微分方程中我们学习的线性微分方程，作为研究线性微分方程的基础，它在物理力学和工程技术，自然科学中时存在广泛运用的，对于一般的线性微分方程，我们又学习了常系数线性微分变量的方程，其中涉及到复值与复值函数问题，相对来说是比较复杂难憧的。
至于后而的非线性微分方程，其中包含的稳定性，定性基本理论和分支，混沌问题及哈密顿方程，非线性方程绝大部分的不可解不可积现象导致了我们只能通过从方程的结构来判断其解的性态问题，在这一章节中，出现的许多概念和方法是我们从未涉及的，章节与章节中环环相扣，步步深入，由简单到复杂，其难易程度可见一斑。
由此，常微分方程整体就是由求通解引出以后的知识点，以求解为基础不断拓展，我们所要学习的就是基础题解技巧，培养自己机制与灵活性，多反面思考问题的能力，敏锐的判断力也是不可缺少的。
形考任务2
初等积分法中的方程可积类型的判断
（1）
dr
（一阶线性非齐次微分）方程.题目2
（可降阶的高阶）方程
y=冷"
+2（》）'
（克莱洛）方程
j'
+2个+xy‘=0
（伯努利）方程
dxx
（一阶线性非齐次微分）方程题目6
顼+（矿）：
=0
（恰当导数）方程
dj_xi,
dx1-fx2
（变量可分离）方程
题目8
.T‘（x_lny"
）=1
（一阶隐式微分）方程
题目9
eldx-H（xe-十=0
（全微分）方程
题目10
（x+2y）dx一炒=0答：
（齐次微分）方程形考任务3
常微分方程学习活动3
第一章初等积分法的综合练习
本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点,重点复习，争取尽快掌握.
要求：
首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界而完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。
一、填空题
1.微分方程叫〃+「。
/）3—、"
=0是二阶微分方程.
的解所满足的积分方程是y=y0+^Xf{s,y）ds.yM=y0XQ
3.微分方程VInvdx+（x-Inv）dv=0是一一阶线性非齐次微分方程.（就方程可积类型而言）
4.微分方程+2v）dv=0是全微分方程.（就方程可积类型而言）
5.
微分方程均〃+0/）2+3/=0是恰当倒数方程.（就方程可积类型而言）
=x2siny的所有常数解是y=Att,*=0,±
1,±
2,・・・.
=』1-殳的常数解是_歹=±
1.
8.微分方程x2yf-y=x2ex的通解为孑=。
'
（工+。
）・
9.微分方程y=Xyf+-（yf）2的通解是y=Cx+-C\
22
10.一阶微分方程的一个特解的图像是二维空间上的一条曲线.
二、计算题
1.指出下列方程的阶数，是否是线性方程：
（1）^=y2+x2
dx
一阶，非线性
四阶，线性
（3）x+xx+x=t答：
三阶，非线性
2.用分离变量法求解下列方程：
（1）/=ex'
y
（2）tan^dx-cotxdy=0
（3）（乂2+声2炒=0
b⑴=-1
2.
（1）解通积分为e>
=e'
+C
（2）解当tanycotx。
0时，分离变量，两端取积分得
fA=f^L+lnk|Jtany」cotx
即ln（siny）=—ln（cosx）+In|c|
通积分为siny•cosx=C.
7T
另外，y=k7r,X=k7T+一是常数解，4=0,±
l,±
2,・・・.
注：
在方程求解时，求出显式通解或隐式通解（通积分）即可，常数解可以不求。
（3）解当x正0,孑。
0时，方程可变为三了&
=匕顼0
xy
11X
通积分为ln|x|—±
=—±
+ln|v|+C或-=Cex\
x*y
上式代入初值条件x=l,y=—l.
2_2
得C=一萨.于是初值问题解为-=・
3.解下列齐次线性微分方程
（1）（y2—2xy）dx4-x2dy=0
x
（2）xy-y=xtan—
（1）解显然x=0是方程的解.
当有0时，原方程可化为孚=一/：
2个令以"
，则原方程可化为
drxx
2
du2—dw—u+u
u+x—=—u+2iz,即—=
dxdrx
易于看出，u=0u-1是上面方程的解，从而y=xy=0是原方程的解.
当〃一/时，分离变量得，乎=虫.两端积分得Ini—|=ln|Gd（C^0）
-u+"
X|M-1|
将"
换成三，便得到原方程的解Cy=x（x-y）i（50）.
X
故原方程的通解为Cy=x（x-y）（C为任意常数）及*=0.
（2）解显然y=0是方程的解.
当y^o时，原方程可化为^=tany+y.令w=2,则原方程可化为
dxxxx
duHIIdutanu
m+x—=tsn〃+〃，叩—=.
dxdxx
易于看出，u=0是上式的解，从而y=0是原方程的解.
当u^O时，分离变量得，-^=—.两端积分得ln|sinw|=ln|q^（C^O）.将〃换成便得到原方程的解sin^=Cx（CrO）.故原方程的通解为sin^=
XXX
4.解下列一阶线性微分方程：
（1）xyf—2y=2x4
（2）yfytanx=secx
（1）解先解齐次方程x^=2y.其通解为y=Cx2.
用常数变易法，令非齐次方程通解为y=C（x）x2.
代入原方程，化简后可得Cf（x）=2x.・
积分得到C（x）=x2+C.
代回后即得原方程通解为j;
=Cx2+x4.
（2）解先解齐次方程—=-ytanx.其通解为y=Ccosx.
用常数变易法，令非齐次方程通解为v=C（x）cosx.
代入原方程，化筒后可得C（x）=—
cosX
积分得到C（x）=tanx+C.
代回后即得原方程通解为y=sinx+Ccosx.
5.解下列伯努利方程
（1）=o
（2）—+y=y2（cosx-sinx）dx
（1）解显然y=0是方程解.当y^O时，两端同除得
令Z=-^,代入有一玉+2定+x=0,它的解为Z=—L+Ce3'
2y33dx2
11⑵
于是原方程的解为—=一―+Ge'
、及V=0.
V2，夕
（2）解显然y=0是方程解.当y^O时，两端同除得
令z=—,彳弋入有z+（cosx-sinx）=0
ydx
它的解为z=Cex—sinxt
于是原方程的解-=Cex-sinx及y=0.
6.解下列全微分方程：
（1）e_>
dx-（2y+xev）dy=0
（2）（1-ysin2x）dx-ycos2xdy=0
（1）解因为华=-e"
=半，所以这方程是全微分方程，M（x,y）及N（x疗）在整个xQy平面都连续可微,
dyox
不妨选取Xo=0,%=0•故方程的通积分为
£
evdx-£
2j；
dy=C,
即xQ~y-y2=C.
（2）解因为—=2ysin2x=—i所以这方程是全微分方程，M（x,y）及N（x,y）在整个xQy平面都连
dydx
续可微，不妨选取X。
=0,为=o.故方程的通积分为
（i+/）dx-£
^=c,
即2x-y2cos2x=C.
7.求下列方程的积分因子和积分：
（1）（x2+y2+x）dx—xydy=0
（2）（x4+y4）dx—xy3dy=0
dMdN
（1）解因为@~—=-,与y无关，故原方程存在只含x的积分因子.
Nx
\-dx
由公式（1.58）得积分因子//（x）=ex,即/y（x）=x,
于是方程（疽+/+x）dx-xydy=0为全微分方程.取=0,yQ=0.于是方程的通积分为£
x（x2+j^24-x）dx=0.即3x4+4x3+6x2y2=C.
（2）解因为=与*无关，故原方程存在只含x的积分因子.解方程
dv1
由公式（L58）得积分因子〃（x）=e即z/（x）=—,
，x
1V3
于是方程—（x4+/）dr-^-dj；
=0为全微分方程.取x°
=l,为=0.于是通积分为
XX
「二（x4+/）dx-£
y3dy=Cr即/=4x4In|x|+Cr4.
8.求解下列一阶隐式微分方程
（1）y\2y-yr）=y2sin2x
（2）y,2—2yyf=y2（ex—1）
（1）解将方程改写为-y,2+2y,y=y2（l-cos2x）
即y2-2yyf4-y2=y2cos2x或3'
-y）?
=y2cos2x
解V=V土*cosx得通积分为：
InCy=x±
sinx,
又y=0是常数解.
（2）解y=0显然是方程的解,当y^O时，方程可变为
（£
）2_2（£
）=e"
-l,令U=u,
yyy
则上面的式子可变为
u2—2u=ex—1.解出〃得，u—1±
.即—=1±
V?
7.
对上式两端积分得到方程的通解为\ny=x±
14e+C
9.求解下列方程
⑴何”-yy=（/y+i
（2）^-（y）2+i=o
（1）解令y”=p,贝代入原式得即'
一p）2=p，2+l.
解出p得p=xp仕加”+1
这是克莱洛方程，通解为p=xC】土J1+C；
.即y"
=xC】±
〈l+C：
.
（2）解化简得0y）'
+l=O,即yyf=-x+C}求积分得——（―X+C］）24・
222
或J+（x—G）2=G.
三、证明题
方程
设函数p（x）,/（X）在［0,+00）上连续，且limp（x）=。
〉0,\f（xj<
h（%力为常数）.求证:
X->
+OCp1
yr+P（x）y=f（x）的一切解在［0,+oo）上有界.
2.设/（X）在［0,+8）上连续，Klim/（x）=0,求证：
-KO
孚+V=/（X）
OX
的一切解y（x）,均有limy（x）=0.
4<
C
1.证明设jcy（x）是方程任一解，且满足*（版）二坊，则
P（s）dsp（s）dsfP（J）dt
y（x）=y.e+e扁扁ds
由于limp（x）=a>
09所以对任意e>
0,存在七>
如使得*>
叫时有
0C
0<
a—£
<
p（x）<
a+£
令。
］=a-£
Iv（x）|<
|%|+9（1—/2（F）
/b
5+—
a
=M}
又在［苍，为］上*（x）有界设为跳,现取M=max（M},M2）
2.证明设y=v（x）是方程任一解，满足贝Xo）=Vo,该解的表达式为
取极限
四、应用题
「"
（s）e（Fds
J工0
"
=当+l
二0+«
1.按牛顿冷却定律：
物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比，已知空气温度为30°
c,而物体
在15分钟内由100°
c冷却到70V,求物体冷却到40°
c所需的时间.
2.重为100kg的物体，在与水平而成30。
的斜而上由静止状态下滑，如果不计磨擦，试求:
（1）物体运动的微分方程；
（2）求5s后物体下滑的距离，以及此时的速度和加速度.
1・解设物体在时刻t的温度为T=T（t）,由题意7（。
满足初值问题
亨=一"
一30）
7（0）=100
其中《为常数.
设物体冷却到40笆所需时间为4,于是由T（15）=70得
30+73-英=70
30+70e*=40
2.解取初始下滑点为原点，Ox轴正向垂直向下，设t时刻速度为v=v（Z）,距离为x=x。
），由题意满
足初值问题
*映3。
。
lv（0）=0
解得
«
=—«
5m/s1.
dt
再由、（。
）=崂。
解得=于是得到5秒后，x«
62.5mv«
25m/s,形考任务4
常微分方程学习活动4
第二章基本定理的综合练习
首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页而中点击“去完成”按钮进入相应网页界而完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。
1.方程也=ysin（x2+/）的任一非零解不能与x轴相交.
2・李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的充分条件・
3.方程yf+ysinx=e'
的任一解的存在区间必是（-°
°
+°
）.
4.一阶显式方程解的最大存在区间一定是开区间•
5.方程位=/+2满足解的存在唯一性定理条件的区域是XOY平面・
dx_
6.方程半=sinx・cosv满足解的存在唯一性定理条件的区域是_XOY平而.
=x2+siny满足解的存在唯一性定理条件的区域是XOY平而.
=JJ+1满足解的存在唯一性定理条件的区域是-一。
={（x,y）e/?
2y>
0）,（或不含x轴的上半平而）.
9.方程史=一咋七满足解的存在惟一性定理条件的区域是全平而.
drl+xz+yz
10.一个不可延展解的存在在区间一定定区间.
1.判断下列方程在怎样的区域上保证初值解存在且惟一？
（1）yr=x2+y2
（2）yf=x+siny
1.解（D因为/（乂,*）=工2+丁及疗）=2"
在整个XO*平面上连续，且满足存在唯一性定理条件，所以
在整个、0*平面上，初值解存在且唯一.
（2）因为v）=x+siny及/«
x,v）=cosw在整个xo*平而上连续，且满足存在唯一，性定理条件，所以在整个'
o*平面上，初值解存在且唯一.
2.讨论方程在怎样的区域中满足定理2.2的条件.并求通过（0,0）的一切解.
dr2
2.解因为方程f（x,y）=-^在整个x。
*平面上连续，f；
（x9y）=-^除x轴外，在整个xo*平而上有界，所
22/
3
以除x轴外在整个xo*平面上都满足定理2.1的条件.而后分离变量并积分可求出方程的通解为y=±
（x-c）a,x>
c,
其中c>
0.另外容易验证y=0是方程的特解.因此通过（0,0）的解有无穷多个，分别是:
\0,x<
c
3；
V=<
（x—c）2,x>
0,x<
3.
-（x-c）2,x>
3.判断下列方程是否有奇解？
如果有奇解，求出奇解.
（1）—=-Jy-x
（2）—=-x±
Jx2+2y
dxdx
3.解
（1）因为/（工疗）=五;
在半平而y>
x上连续，f；
（x9y）=/——当*=工时无界，所以如果存在
2Jy-x
奇解只能是*=X,但*=X不是方程的解，故方程无奇解.,_工21y2
（2）因为/3*）=7土Jx2+2y在‘V-一的区域上连续，y;
x时）=±
—当v=——时无界，所
2Jx2+2y2
以如果方程有奇解，则奇解只能是^=-—.显然y=-—是方程的解，是否为奇解还需要进一步讨论.为此先求
1
出方程的通解y=±
cx+-c2.由此可见对于x轴上点（0,0）,存在通过该点的两个解：
y=-一及y=0.故
y=-^-是奇解.
1.试证明：
对于任意的X。
及满足条件Ovyvl的允，方程—的解y=y（x）在（-oo,+oo）上存在.dx1+x+y
2.设f（x,y）在整个平面上连续有界，对夕有连续偏导数，试证明方程毕=/（毛力的任一解y=0（x）在区间dx
（一00,+00）上有定义.
3.设0（x）在区间（-oo?
+oo）上连续.试证明方程
的所有解的存在区间必为（-00,+00）・
4.在方程亲=/。
）伊。
）中，已知/*（*），伊'
（工）在（-8,+3）上连续，旦0（±
1）=0.求证：
对任意X。
和R|vl,
满足初值条件y（x（））=^0的解V（X）的存在区间必为（-00,+8）・
5.假设方程孚切在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且M（x）,歹2（对是定义在区间，上的两个解.求证：
若M（Xo）<
光（工0），x0gZ,则在区间,上必有y}（x）<
y2（x）成立.
6.设*（x）是方程
d2ydy
的非零解，其中p（x）,q（x）在（yo,+oo）上连续.求证：
当龄0）=0时，必有竺
K=x。
7.设/（*）在（YO,+00）上连续可微，求证：
对任意的工0丘（—0,+00）,bo|vl,方程
满足初值条件y（xQ）=yQ的解必在（yo,+8）上存在•
8.证明：
一阶微分方程
dy_siny
dx+1
的任一解的存在区间必是（yo,+q。
1.证明首先y=l和y=0是方程在（-oo,+o。
）的解.易知方程的右端函数满足解的延展定理以及存在唯一性
定理的条件.现在考虑过初值（Xo，%）（OV%V1）的解，根据唯一性，该解不能穿过宜线y=l和y=0.因此只有可能向左右两侧延展，从而该初值解应在（yo,+o>
）上存在.
2.证明不妨设|f（x,y）\<
M.V（x?
y）^R2.过点（书为）分别作直线
4：
V=Vo+"
（x_Xo）和‘2：
V=Vo_M（x_Xo）・
设过点（如Vo）的初值解为y=y（x）.因为|y（x0）|<
M,故在天）的某一右邻域内，积分曲线y=v（x）位于4之
下，％之上
下证曲线y=y（x\x>
x（）不能与直线«
相交.若不然，也>
x（）使得y（x}）=yQ^M（x}-x0）,且
y（x）<
y^M（x-x0）,x^（xQ9x}）i但由拉格郎日中值定理，3^g（x0?
x1）,使得"
（§
）=贝再）二-傀）=M.矛而一工0
盾.此矛盾证明曲线y=y（x\x>
xQ不能与直线4相交.同理可证，当x>
x0时，它也不能与匕相交.故当、>
不）时解曲线y=以>
）位于直线"
，£
之间•
同理可证，当x<
x0时，解曲线y=y（x）也位于直线4，£
之间.由延展定理，y=y（x）的存在区间为
（—00,00）o
3.证明由已知条件，该方程在整个斗y平而上满足解的存在唯一及解的延展定理条件.
显然*=±
1是方程的两个常数解.
任取初值（私处），其中工0e（-00,+oo）,|^0|<
1.记过该点的解为y=y（x）,由上面分析可知，一方而y=y（x）可以向平而无穷远处无限延展；
另一方而又上方不能穿过*=1,下方不能穿过y=-l,否则与惟一性矛盾.故该解的存在区间必为（-00,4-00）.
4.证明由已知条件可知，该方程在整个洌；
平而上满足解的存在惟一及延展定理条件，又存在常数解y=Att,A:
=0,±
2,•••.
对平而内任一点（x0,yQ）f若为=上勿，则过该点的解是y=k7r,显然是在（-oo,+oo）上有定义.
若为。
厩，则e{krc.（k+1）tt）,记过该点的解为y=y（x）,那么一方而解y=、（x）可以向平而的无穷远无限延展；
另一方而在条形区域{（x,^）|-oo<
x<
+oo,lcR<
y<
（k+1）冗
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